大学数学概率论及试验统计第三版4-1

1、第四章：随机变量的数字特征，4.1数学期望和方差以及分布函数可以完整地描述随机变量的统计特征。但是，在一些实际问题中，有些问题并不需要全面研究随机变量的价值规律，而只需要了解随机变量的一些价值特征。在这一章中，我们主要讨论随机变量的常见数值特征：数学期望、方差和矩。举个例子，1分赌博问题(背景)，A和B有相同的赌博技巧，并且每个人支付100元用于赌博，并且同意前三场比赛的获胜者将会赢并且得到所有的200元。由于意外情况，当甲赢了2局，乙赢了1局时，必须停止赌博。如果你想分赌资，怎么公平分配？1.数学期望，分析，假设我们继续在两个游戏上赌博，结果如下：A，A，B，B，A赢了两个游戏，A赢了B赢了

2、，B赢了A赢了，B赢了两个游戏，A可以“期望”这个数字应该是，而B可以“期望”这个数字是，所以A期望如果随机变量X设置为：在A赢了两个游戏，B赢了一个游戏的前提下， 继续赌最后的赌金A，那么X的可能值是：概率分别是： 假设在相同的条件下，两个射手，甲和乙，瞄准目标，一个接一个地射击(命中次数是一个随机变量)。拍摄情况记录如下，拍摄问题记录在技术较好的示例2中。解A，平均投篮次数，A的技术更好。平均射击次数，假设两个射击者各射击N次，他们击中目标的射击次数大约是：“平均射击次数”等于可能射击次数与其概率乘积的累加，随机变量的数学期望(平均值)的定义：如果级数不是绝对收敛的，即级数发散，就说X的数

3、学期望不存在。关于定义的一些解释：(3)随机变量的数学期望不同于一般变量的算术平均。(1) E(X)是一个实数，不是一个变量，它是一个加权平均，它不同于一般平均，它本质上反映了随机变量X的可能值的真实平均值，也叫平均值。(2)级数和积分的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各阶的变化而变化。这一要求的原因是，数学期望是反映随机变量X的可能值的平均值，它不应该随着可能值的顺序而改变。假设随机变量X的算术平均值本质上反映了随机变量X的可能值的平均值，当随机变量X的所有可能值都是等概率分布时，X的期望值等于算术平均值。虽然有，收敛。然而，它不是绝对收敛的，所以x的数学期望不存在。如柯西分布，所以x的数学

4、期望不存在。随机变量x，即解决方案，因此，一般客户需要等待5分钟才能获得服务。随机变量函数的数学期望是：假设(1) X是一个离散的随机变量，它的分布率是，如果它是绝对收敛的，那么(2)假设X是一个连续的随机变量，它的密度是p(x)。如果积分是绝对收敛的，那么在例2中x的分布列表是3360。(2)x2的数学期望。解：二维随机变量数学期望的定义：二维随机变量函数的数学期望是：当它是离散的，当它是连续的，在例3中，让随机向量的分布列表是，X，Y，求的数学期望。例4设(X，Y)的联合密度函数为，求并求解：性质1设C为常数，然后E(C)=C，数学期望性质2设X为随机变量，C为常数，然后E(CX)=CE(

5、X)，性质3为任意两个，然后E(XY)=E(X)E(Y)，仅性质3和4被证明，随机变量是连续的。3.如果(X，Y)的概率密度是f (X，Y)，它的边际概率密度是fx(x)，fy(y)，那么有。4.因为x和y相互独立。因此，和也是相互独立的。证明：引入性质3，2，方差和方差，让随机变量的平均值为e X。事实上有两批灯泡的平均寿命为1000小时。方差是一个常用于反映随机变量离散程度的量。另一个例子是，两支枪，甲和乙，同时向一个目标发射10发炮弹，它们的着陆点远离目标，如下图所示。你认为哪支枪射击效果更好？由于乙炮的落点集中在中心附近，所以甲炮和乙炮的射击结果是一致的。假设X是一个随机变量，如果方差的定义是：它被称为X的方差。也称为均方差或标准差。方差是一个常用来反映随机变量X的离差的量，如果D(X)值大，则意味着X的离差大，E(X)的代表性差；如果D(X)的值很小，则意味着X的值相对集中，E(X)是一个有代表性的随机变量。方差的含义，随机变量方差的计算，(1)定义计算，证明，(2)公式计算，解，(3)让x和y相互独立，那么方差的性质，(1)只证明(3):1。两点分布，则有数学期望和方差的重要概率分布，2 .二项分布，那么有，让随机变量X服从参数为N和P的二项分布，它的分布规律是，3。泊松分布，那么有，所以，4。均匀分