第04章空间力系.ppt

1、第4章 空间力系,本章主要研究空间力系的平衡问题。空间力系的研究方法与平面力系的研究方法基本相同，只是在平面问题的基础上，将一些概念、理论加以引伸和推广。,力系中各个力的作用线不完全在同一平面内，此力系称为空间力系。,常见的空间力系有空间汇交力系、空间平行力系以及各个力的作用线既不完全汇交于一点也不完全平行的空间任意力系。,挂物支架中的D结点受空间汇交力系作用,三轮推车受空间平行力系作用,带轮传动轴受空间任意力系作用,4.1 力沿空间直角坐标轴的分解与投影,4.2 空间汇交力系的平衡,4.3 力对轴的矩力偶矩的矢量表示,4.4 空间任意力系的平衡,4.5 物体的重心,4.1.1 力沿空间直角坐

2、标轴的分解,4.1 力沿空间直角坐标轴的分解与投影,4.1.2 力在空间直角坐标轴上的投影,直接分解法,设力F 作用于O 点,取空间直角坐标系Oxyz 。,以力矢 为对角线作一个正平行六面体，则沿三个坐标轴Ox、Oy、Oz 的矢量 、 和 分别为力F 沿三个直角坐标轴方向的分力Fx、Fy和Fz,4.1.1 力沿空间直角坐标轴的分解,二次分解法,先将力F 分解为沿z轴方向以及在Oxy平面内的两个分力Fz 和 Fxy，然后再将力 Fxy分解为沿x 轴和y 轴方向的两个分力 Fx、Fy。,4.1.2 力在空间直角坐标轴上的投影,1直接投影法,已知力F 的作用线与空间直角坐标系的三个坐标轴 x、y、z

3、 正向的对应夹角、和,力F 在三个坐标轴上的投影分别为：,2二次投影法,已知力F 以及角度 和,力F 在 x、y、z 三个轴上的投影分别为：,通常和取锐角，投影Fx、Fy和Fz的正负号由直观判断,已知力F在x、y、z三个直角坐标轴上投影Fx、Fy和Fz，则该力的大小及方向余弦为,例 如图，在长方体上作用有三个力F1、F2、F3，其大小分别为F1=2kN，F2=1kN，F3=5kN。尺寸a=1m，试分别计算这三个力在坐标轴x、y、z上的投影。,解：力F1沿z 轴，故其在坐标轴x、y、z上的投影为:,F1x=0，F1y=0，F1z=2kN,F1=2kN，F2=1kN，F3=5kN， a=1m,F2

4、 在 x、y、z 轴上的投影可用直接投影法,力F3与x、y 轴之间的夹角不易求得,可用二次投影法计算其在 x、y、z 轴上的投影,F1=2kN，F2=1kN，F3=5kN， a=1m,4.2 空间汇交力系的平衡,与平面汇交力系相似，空间汇交力系也可以合成为一个合力，合力矢亦等于力系中各分力矢的矢量和，即,空间汇交力系平衡的充要条件与平面汇交力系相同，仍然是力系的合力矢等于零，即,空间汇交力系的合力矢在直角坐标轴 x、y、z 上的投影分别为,合力的大小为,空间汇交力系的平衡方程:,例 图示的OC 杆高为6m，在O 处受到水平向下20角的拉力F 作用，拉力的大小F15kN，C 处因埋置较浅，可视为

5、球铰支座。为保持OC 杆的垂直平衡状态，用OA、OB 两钢索固定如图。不计OC 杆自重，试求每根钢索的拉力和OC 杆所受的压力。,解：取结点O 为研究对象,列平衡方程,得,F15kN,解得,解得,4.3 力对轴的矩力偶矩的矢量表示,4.3.1 力对轴的矩的概念,4.3.2 合力矩定理,4.3.3 力对轴之矩的解析表达式,4.3.4 力偶矩的矢量表示,4.3.1 力对轴的矩的概念,力对轴的矩可以度量力使物体绕该轴转动的效应。,用力F 去开门，力F对门的转动效应可以用力F 对z 轴的力矩来度量，记为 ，也可以简写为 。,一个力对某轴的力矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于该轴与该平面的交点的

6、力矩。,力F 对z 轴的力矩为,力对轴的矩是代数量：从z轴正端沿z 轴看去， Fxy绕z 轴按逆时针转向转动，则取正号；反之，取负号。,此力矩取正号,此力矩取负号,力对轴的矩的单位：牛米（Nm） 或 千牛米（kNm）,力与轴平行（此时Fxy0）或力与轴相交（此时h0）这两种情形下，力对轴的矩等于零。,注意：,这两种情形可以合起来说：当力与轴共面时，力对该轴的矩为零。,4.3.2 合力矩定理,设有一空间力系F1、F2、Fn，其合力为FR，则合力FR对某轴z的矩等于其各分力对该轴的力矩的代数和，这就是空间力系的合力矩定理，其表达式为,合力矩定理给出了力系的合力和分力对同一个轴的矩之间的关系，常用来

7、简化力对轴的矩的计算。,4.3.3 力对轴之矩的解析表达式,设力F 在三个坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz，其作用点A的坐标为x、y、z,由空间力系的合力矩定理，得,同理可得其余两式。将此三式合并写为,注意：式中每一个量均需以代数值代入计算。,例 求图中力F 对三个坐标轴的力矩。已知F20N。,解：力F沿三个坐标轴的分力大小分别为,由合力矩定理可得力F对三个坐标轴的力矩分别为,4.3.4 力偶矩的矢量表示,在空间力系问题中，力偶对物体的作用效应由以下三个因素决定：,(1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶在作用面内的转向。,这三个因素称为力偶的三要素。,可以用一个矢量来表

8、示空间力偶的三要素，称为力偶矩矢，用M来表示。,矢量的大小表示力偶矩的大小，矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢量的指向按右手规则表示力偶的转动方向。,由于力偶可以在自身平面内任意移动，也可以在平行的平面内任意移动，而不改变它对刚体的作用效应，故力偶矩矢可以在空间任意平行移动，它是一个自由矢量。,4.4 空间任意力系的平衡,物体在空间任意力系作用下处于平衡状态时，必定既不发生移动，也不发生转动，也就是说，物体沿三个坐标轴的方向都不能发生移动，同时，物体绕三个坐标轴也都不发生转动。,这就要求力系中所有各力在三个坐标轴的每一轴上投影的代数和都要等于零，以及力系中的各力对三个坐标轴的力矩的代数和

9、也都要分别等于零，即,空间任意力系平衡的充要条件为：力系中所有各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，对三个坐标轴的力矩的代数和也分别等于零。,顺便指出：空间任意力系的平衡方程除三投影式和三力矩式的基本形式外，还有四力矩形式、五力矩形式和六力矩形式，与平面任意力系一样，对投影轴和力矩轴都有一定的限制条件。,空间任意力系的平衡问题，有六个独立平衡方程，可以求解六个未知量。,在应用平衡方程时，可自行建立使求解方程式简便的投影轴和力矩轴。选投影轴与较多的未知力垂直，使这些力在轴上的投影为零；选力矩轴与较多未知力的作用线平行或相交，使这些力对该轴的力矩等于零。这样可尽量减少每个方程中的未知量，最好做

10、到一个方程求解出一个未知量，以免求解联立方程。,空间平行力系平衡方程,设物体受空间平行力系作用，令z轴与这些力平行，则各力在x、y轴上的投影都等于零。又因为各力都与z轴平行，故各力对z轴的力矩也都等于零。因而有,故空间平行力系只有三个平衡方程，即,例 图所示的小车，自重FP8kN，作用于E点，荷载FP110kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的反力。,x,y,z,A,B,C,D,E,O,F,P,F,P1,1.2m,0.2m,0.2m,2m,0.6m,0.6m,解: 以小车为研究对象,列平衡方程,解得,FD5.8 kN FB7.8 kN FA4.4kN,例 如图所示悬臂刚架ABC，A端固定在

11、基础上，在刚架的C点和D点分别作用有水平力F1和F2，在BC段作用有集度为q的均布荷载，已知h，H，l，略去刚架的自重，试求约束反力。,B,F,1,A,D,C,F,2,x,y,q,h,l,H,解：选取刚架ABC为研究对象,刚架受空间一般力系作用。,列平衡方程并求解,解出的负值表示该约束反力或约束反力偶的实际方向与受力图中假设的方向相反。,例 图中皮带轮的半径r=200mm, R=250mm, 距离a=0.5m, b=1m。轮C上两边胶带水平,其拉力F2=2F1=5kN；轮D上两边胶带与铅垂线夹角均为=30,其大小为F3=2F4。不计轮和轴自重,试求在平衡状态下胶带拉力F3、F4及轴承A、B的约

12、束反力。,解：取传动轴连同带轮为研究对象,胶带拉力F1、F2、F3、F4和A、B轴承反力 FAx、FAy、FBx、Fby 组成一个空间任意力系，其受力如图所示。,连同已知条件：,解得,4.5 物体的重心,4.5.1 重心的概念,4.5.2 物体的重心位置,4.5.3 确定物体重心的几种实用方法,物体的重力是指地球对物体的吸引力。可将物体看作由无数微小的体积所组成，物体各微小体积的重力可以视为互相平行且垂直于地面的空间平行力系。该力系的合力作用点就是物体的重心。,4.5.1 重心的概念,物体的重心在工程实际中具有重要意义，它的位置直接影响物体的平衡和稳定。,我国古代的宝塔，越往下面积越大，以增加

13、建筑物的稳定性与合理性；起重机的重心位置若超出某一范围，就会发生倾倒事故；转动机械，如通风机和水泵等，它们的转动部分的重心若不在转动轴线上，就会产生强烈的振动，从而造成各种不良后果。所以确定重心的位置是很重要的。,4.5.2 物体的重心位置,设物体的重力为FP，在图示的直角坐标系Oxyz中，其重心C 的坐标为xC、yC、zC。,根据合力矩定理 (对y 轴),物体内任一微小部分的重力为 FPi，其作用点Ci的坐标为xi、yi 、zi。各微小部分的重力之和就是整个物体的重力，其大小FP= FPi。,利用坐标轮换的方法，可得,从而得到物体重心坐标的基本公式：,对于均质物体,其密度为常量，设任一微小部

14、分的体积为Vi，整个物体的体积为VVi，则有,代入重心坐标的基本公式中，消去g，得到,均质物体的重心位置与物体的重量无关，只决定于物体的几何形状和尺寸。 此式所决定的C点就是物体的几何中心，称为物体的几何形体的形心。可见均质物体的重心和形心是相重合的。,令Vi趋近于零，在极限情况下，均质物体的重心公式可写成积分形式，即,均质等厚度的薄壳或薄板，以A表示壳或板的表面面积，Ai表示任一微小部分的面积，与上面求均质物体重心的方法相同，可求得均质薄壳或薄板的重心或形心C的位置坐标公式为,其积分形式为,4.5.3 确定物体重心的几种实用方法,1查表法,对于一些简单形状的均质物体（或几何形体），其重心（或

15、形心）的位置可查阅有关工程手册,表41 简单均质物体重心的位置,2对称判别法,凡对称的均质形体，其重心必在其对称面、对称轴或对称中心上。,一些对称形体,3形体组合法,有些形体虽然比较复杂，但是它们往往可以看成是由一些简单的形体或有规则的形体所组成，而这些形体的形心通常可以直接求出或查表得到，于是整个形体的形心就可用形心坐标公式求得。这种方法也称为分割法。 如果在规则形体上切去一部分，则在分割时，可以认为原来形体是完整的，然后再加上切去的部分，但是必须把切去部分的体积或面积取为负值。,例 求图示均质等厚度U 形薄板的重心位置，图中尺寸单位：mm。,140,25,15,60,25,140,25,15,60,25,60,解：建立