高斯投影及高斯平面直角坐标系.ppt

1、第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系,2,3.1 地图投影概述,3.1.1 地图投影的意义与实现,由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关系,因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方法，对应于不同的投影。,3,3.1.2 地图投影变形及其表述,1、投影长度比、等量纬度及其表示式,长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。,投影平面上微分长度：,椭球面上微分长度：,4,3.1.2 地图投影变形及其表述,上式中,q为等量纬度，计算公式为,引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。,3.1.2

2、地图投影变形及其表述,上式中,q为等量纬度，计算公式为,引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。,6,3.1.2 地图投影变形及其表述,上式中,q为等量纬度，计算公式为,引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。,7,3.1.2 地图投影变形及其表述,引入等量纬度后，投影公式为：,求微分，得：,其中：l = L - L0,8,3.1.2 地图投影变形及其表述,根据微分几何，其第一基本形式为：,其中：,9,3.1.2 地图投影变形及其表述,则，长度比公式为：,将 代入上式，得：,10,3.1.2 地图投影变形及其表述,当A=0或180 ，得经

3、线方向长度比：,当A = 90或270 ，得纬线方向长度比：,要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G，则长度比可表示为：,11,3.1.2 地图投影变形及其表述,长度比与1之差，称为长度变形，即：,vm0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。,12,3.1.2 地图投影变形及其表述,2、主方向和变形椭圆,主方向：在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交，则这两个方向称为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。,对照第一基本形式，得：,且：,13,3.1.2 地图投影变形及其表述,代入长度比公式，得：,若使：,使长度比为极值的方向：,由三角公式得：,14,3.1.

4、2 地图投影变形及其表述,由此得，长度比极值为：,将三角展开式代入得：,因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：,15,3.1.2 地图投影变形及其表述,不难得出下列关系：,16,3.1.2 地图投影变形及其表述,若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：,17,3.1.2 地图投影变形及其表述,3、方向变形与角度变形,某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有：,由三角公式，得：,显然，当 +1 = 90或 270 时，方向变形最大,18,3.1.2 地图投影变形及其表述,若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：,顾及：,解得最大变形方向

5、为：,19,3.1.2 地图投影变形及其表述,两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：,显然，当 +1 = 90、 + 1 = 270 或 +1 = 270、 + 1 = 90 时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：,20,3.1.2 地图投影变形及其表述,4、面积比与面积变形,椭球面上单位圆面积为 ，投影后的面积为ab，则面积变形为：,21,3.1.3 地图投影的分类,1、按投影变形的性质分类 (1). 等面积投影 a b = 1 (2). 等角投影 a = b (3). 等距离投影 某一方向的长度比为1。,22,3.1.3 地图投影的分类,2、按采用的投影面和投影方式分类,(1).

6、 方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定条件将椭球面上的物投影到平面上。,23,3.1.3 地图投影的分类,(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影)、或相割(割圆柱投影) 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。 割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。,24,3.1.3 地图投影的分类,横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影：用于小比例尺投影，将地球视为圆球， 投影圆柱体斜切于圆球进行投影。 (

7、3). 圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。,25,3.1.3 地图投影的分类,26,习 题,1. 给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。 2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。 3. 变形主方向有什么性质？ 4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？ 5. 地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？,27,3.2 正形投影与高斯-克吕格投影,3.2.1 正形投影的概念和投影方程 长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足条件E = G, F = 0

8、，即：,由第二式解得：,1,28,3.2.1 正形投影的概念和投影方程,代入第一式，得：,考虑到导数的方向，开方根得：,2,3,29,3.2.1 正形投影的概念和投影方程,其反函数也是复变函数，可以写成：,30,3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质,高斯-克吕格投影的条件： 1. 是正形投影 2. 中央子午线不变形,31,3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质,高斯投影的性质：1. 投影后角度不变 2. 长度比与点位有关，与方向无关 3. 离中央子午线越远变形越大,为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。

9、,32,3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质,33,3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质,中央子午线在平面上的投影是 x 轴，赤道的投影是 y 轴，其交点是坐标原点。 x 坐标是点至赤道的垂直距离； y 坐标是点至中央子午线的垂直距离，有正负。 为了避免 y 坐标出现负值，其名义坐标加上 500 公里。 为了区分不同投影带中的点，在点的Y坐标值上加带号N 所以点的横坐标的名义值为 y = N1000000+500000+y,34,3.3 高斯投影坐标正算和反算公式,3.2.1 高斯投影正算公式,因正形投影的导数与方向无关，将投影点坐标在H点展开，得：,35,3.3.1 高斯投影正算公式

10、,因此，高斯投影级数展开式可表示为：,其各阶导数为：,36,3.3.1 高斯投影正算公式,将导数代入展开式，虚实分开后，得到高斯投影正算公式如下：,37,3.3.1 高斯投影正算公式,为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：,38,3.3.2 高斯投影反算公式,在中央子午线投影成的x轴上取点 Xf = x，该点称为底点，用子午弧长反算公式求得底点的纬度 Bf 和相应的等量纬度qf ，以底点为展开点进行级数展开，得：,39,3.3.2 高斯投影反算公式,相应的各阶导数为：,40,3.3.2 高斯投影反算公式,代入级数展开式，虚实分开得：,4,41,3.3.2 高斯投影反算公式,将大地纬度展开

11、成等量纬度的级数式,其中：,5,42,3.3.2 高斯投影反算公式,由 式，得：,4,43,3.3.2 高斯投影反算公式,将各系数代入上式，得纬度 B 的反算公式：,44,3.3.2 高斯投影反算公式,为便于编程计算，可将反算公式改写成如下形式：,45,3.3.2 高斯投影反算公式,利用高斯投影的正反算公式，亦可进行不同投影带坐标的换带计算。其计算步骤如下： 1. 根据高斯投影坐标 x, y，反算得纬度B和经度差l； 2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度 L = L0 +l； 3. 根据换带后新的中央子午线经度L0 ，计算相应的经差： 4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x，y。,

12、46,习 题,1. 高斯投影的条件是什么？ 2. 简述高斯投影投影正算公式的推导； 3. 已知某点的坐标：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 计算：1). 该点的3 带和6 带带号； 2). 该点的3 带高斯投影坐标并反 算检核；,47,3.4 平面子午线收敛角和长度比,3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式,沿平行圈纬度不变，求微分得：,48,3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式,对高斯投影公式求偏导数，得：,49,3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式,代入上式，得：,将 展开成 tg 的级数，得：,50,3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式,由此可见，

13、是经差的奇函数，在 x 轴为对称轴，东侧为正，西侧为负。 子午线收敛角在赤道为0，在两极等于经差 l，其余点上均小于经差 l 。,51,3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式,子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式。,P点沿与y轴平行方问微分变动到P点，子午线收敛角可表示为：,沿y坐标的微分，得：,52,3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式,代入子午线收敛角公式，得：,由高斯投影反算公式求出偏导数，得：,53,3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式,代入上式子午线收敛角计算公式，得：,将 展开成 tg 的级数，得：,54,3.4.2 长度比计算公式,由高斯投影长度比的定义式，得：,

14、将前面的偏导数代入上式，得：,开方后得出以大地坐标表示的长度比公式：,55,3.4.2 长度比计算公式,为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式，反解高斯投影的 y 坐标正算公式，得：,对上式求平方和四次方，得：,56,3.4.2 长度比计算公式,代入用大地坐标表示的长度比公式，得：,顾及：,代入上式，得：,可见，长度比是y坐标的偶函数，且只与y坐标有关。,57,3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角,3.5.1 高斯投影的距离改化,椭球面上的大地线投影到高斯平面上为曲线，与平面上两点相连的直线相比， 其微分线段间的差异极小，可表示为：,其中：,58,3.5.1 高斯投影的距离改化,此弧线与

15、直线间的最大偏角即为方向投影改化，本为二次小项,故此相对长度差异仅为4次项,相对于距离测量的最高精度亦可忽略,因此可认为：,用辛卜生公式数值积分得：,59,3.5.1 高斯投影的距离改化,将长度比公式 代入上式，得：,60,3.5.1 高斯投影的距离改化,距离改化S可表示为：,其中：,在城市及工程应用中测边离中央子午线不会超过45公里，则距离改化公式可进一步简化为：,61,3.5.2 高斯投影方向改化,1、高斯投影曲线的形状 高斯投影曲线的形状向 x 轴弯曲，并向两极收敛。,62,3.5.2 高斯投影方向改化,2、高斯投影方向改化,保角投影前后角度相同，即：,63,3.5.2 高斯投影方向改化

16、,将球面角超计算公式代入上式，得：,因方向值顺时针方向增加，考虑其正负号后，方向改化公式可表示如下：,上式具有0.1 的计算精度，适用于三、四等控制网的方向改化计算。改化公式中的曲率半径可足够近似地取6370km,64,3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式,65,习 题,1. 已知某点的坐标：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 计算：1). 该点的3 带高斯投影后的中央子午 线收敛角； 2). 该点的3 带高斯投影的长度比。 2. 已知起始点坐标：x3 = 3239387.624 m y3 = 40446822.368m 起始平面方位角T31=1923708

17、.51， 距离S31=7619.245m，各方向观测值如下： 13：00000.00 23：00000.00 31： 00000.00 12：2571747.71 21：395112.50 32：372636.65 将上述边长和方向归算到高斯平面上。,66,3.6 通用横轴墨卡托投影,3.6.1 墨卡托投影,墨卡托投影为等角割圆柱投影，圆柱与椭球面相割于B0的两条纬线，投影后不变形。,特性：等角航线在投影平面上为直线。因此，该投影便于在航海中应用。,67,3.6.2 通用横轴墨卡托投影,简称为UTM，与高斯投影相比，仅仅是中央子午线的尺度比为0.9996，其投影公式如下：,68,3.6.2 通

18、用横轴墨卡托投影,长度比和子午线收敛角计算公式。,69,3.6.2 通用横轴墨卡托投影,通用横轴墨卡托投影的反算步骤： 1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标； 2. 再利用高斯投影反算公式，计算大地纬度和经度。,70,3.6.2 通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较,71,3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球,局部区域中常采用地方独立坐标系，其高斯坐标以往并非由经纬度求得，而是直接将边长投影到边长归算的高程基准面（投影面）, 再选定过测区中心附近的坐标纵轴，计算高斯投影边长和方向改正，在平面上由起始点坐标、起始方位角来平差计算各控制点坐标 。,72,3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球,地方独立坐标系的参数：,1. 投影面：一般采用