刚塑性有限元法基本理论与模拟方法.ppt

1、课程内容：第一章绪论第二章塑性成形分析的理论基础第三章有限元法基本概念第四章弹塑性有限元法基本理论和模拟方法第五章刚塑性有限元法基本理论和模拟方法第六章一些通用有限元分析软件介绍(ANSYS，MARC，ABAQUS ) 第七章一些典型的材料成形过程修正计算机模拟分析实例刚塑性有限元法于1973年提出，该方法也基于小应变的位移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，考虑了材料塑性变形时的体积不变条件。 可用于修正大变形问题，近年来发展迅速，现已广泛应用于各种金属塑性成形过程的分析。 刚塑性有限元法的理论基础是变分原理，在所有可动容许速度场中泛函取定值的速度场被认为是真正的速度场。 根据这个速

2、度场可以算出各点的应变和应力。 5.1刚塑性有限元法及其变分原理的介绍，泛函在函数函数即泛函中变化时，根据其附加条件的有无分为一般变分和广义变分或条件变分的广义变分，分为不完全的广义变分和完全的广义变分。 与实际的金属成形加工过程相比，由于弹性变形部分远小于塑性变形部分(弹性变形与塑性变形之比通常为1/1001/1000 )，因此可以忽略弹性变形，将材料模型简化为刚塑性模型。 刚塑性模型大大简化了有限元列表达式和校正过程。 与弹塑性有限元法相比，可采用较大的时间增量步长。 在确保充分的工程精度的同时，能够提高修正运算效率。 塑性有限元法的采用率方程可以通过在离散空间中对速度进行积分来得到材料变

3、形后的形状，从而避免应变与位移之间的几何非线性问题。 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适用于塑性变形区的分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也不能处理和修正残馀应力和变形。 由于刚塑性模型的假设，对于一般的体积非压缩材料，静水压力与体积应变率无关，所以要校正应力张量，还必须进行应力校正处理。 从数学角度看，有限元法是求解微分方程的数值方法。 其基本思想在求解某个微分方程式困难(即，求原函数)的情况下，首先将在适当的单元求解的区域离散化，假定在单元内满足微分方程式的简单的函数作为解，求出单元内的各点的解，然后考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量刚塑性有限元法的求解过程(1)离

4、散化处理(2)基于单元分析合成整体方程(3)塑性有限元法刚集合的整体方程组为非线性方程组，需要进行线性化处理，迭代求解。 刚塑性有限元法根据处理方法，有(1)流函数法(2)拉格朗日乘法(3)罚函数法(4)泊松系数v接近0.5的法(5)材料的压缩性法。 5.1.1刚塑性材料基本上对于大变形金属的塑性成形问题，将变形体看作刚塑性体，使变形中的某些过程理想化，易于进行数学处理。 此时，材料为(1)不考虑材料的弹性变形；(2)材料的变形流动遵循Levy- Mises流动规律；(3)材料为均质的各向同性体；(4)材料满足体积非压缩性；(5)忽略体积力和惯性力；(6)载荷条件(载荷面)赋予刚性区域和塑性区

5、域的边界。 5.1.2第一变分原理刚塑性材料的第一变分原理也称为马尔可夫(Markov )变分原理，使满足(1)速度-应变速度关系(上)的所有可动容许场中泛函：的变分为零(2)体积非压缩条件，(3)速度边界条件，证明：将真解设为和，容许解根据屈服条件和本构造方程式： (a )是最大塑性功原理，(b )是从虚功率原理得到的(d )式的世代(e )式，(e )式的世代(e )式，(f )，即泛函取最小值，由此，第一5 .为了便于速度场的选择，应用条件变分的概念，引用拉格朗日乘法，并将必须满足运动许可解的条件引入泛函，然后可得到新的泛函： (* )，其中，真正的解可以将(* )式的泛函置换成第一变分

6、原理和完全广义变分原理要求第一变分原理所选择的和仅满足运动许可条件，而静态力许可条件由变分近似来满足。 没有任何约束，没有任何约束，基于广义的变分原理预先选择，所有的方程都近似地满足变分。 因此，从第一可变分量原理校正的近似解比从广义可变分量原理获得的解更准确。 但是，前者在选定满足运动许可条件的速度场时比后者困难。 5.2.3选择不完全广义变分原理运动许可解和时，事先满足其应满足的三个条件中的任意两个或一个，通过拉格朗日乘子将其一个或两个导入到泛函中，以构建新的泛函，其中，真实解使泛函取值速度场选择时的应变速度和速度的关系(1)式和速度边界条件(3)式容易满足，但体积非压缩条件(2)式难以满

7、足。 因此，体积不可压缩条件可通过拉格朗日乘法被引入泛函，从而得到新的泛函： (* )在失真速度和速度之间的关系以及满足速度边界条件的所有条件中，将泛函(* )表达式设为当前值才是真正的解。 根据Markov变分原理求解，将面临速度场选择的困难。 因此，实际求解多使用不完全的广义变分原理来求解塑性变形过程。 对于刚塑性体和刚粘塑性体，用Markov变分原理确定的泛函为： (* )，解决的问题通常是用某种方法将体积非压缩条件(2)式导入泛函(* )，构成新的泛函，将问题变成对于新泛函的无条件的存在值问题用这种方法引入体积不压缩条件，可以求出静水压力，解决了忽略材料弹性变形导致的应力纠正困难。 5

8、.2塑性增量理论的广义变分原理为了求出变形体塑性变形时的场变量，首先建立基本方程组。 5.2.1基本方程式的基本方程式是微分平衡方程式或运动方程式： (5-1)速度与应变速度的关系： (5-2)式中，速度应变速率列维半应力应变速率关系： (5-3)、假设材料符合半屈服基准，即：式中的k是变形过程的函数例如，当材料为理想刚塑性体时，在k=const式5-3的平方后：代入式5-4，(5-4)、(5-5)、体积非压缩条件： (5-8)边界条件：边界条件分为力学边界条件和位移边界条件，分别为(5-9)、(5- 10 )刚塑性有限元法可根据变分原理求近似解，变分变形场的位能泛函，变分取在值时，变形场满足

9、平衡微分方程和力学边界条件。 处理体积不变条件的方法有两种：一是假定初始速度场，除了满足速度边界条件外，还必须严格满足体积不变条件，这种方法给假定初始速度场带来了困难。 另一种方法假定初始速度场仅满足速度边界条件并且引入了体积不变的约束，即对拉格朗日乘法执行有条件的变分。 该方法可以通过运算轻松实现，目前已经广泛应用，现将对该方法进行详细描述。 5.2.2不完全的广义变分原理刚塑性有限元修正算法需要首先选择初始速度场。 如果选择初始速度字段，则容易满足速度边界条件，难以满足体积非压缩条件。 因此，将体积非压缩条件用拉格朗日乘法导入泛函。 有这样的条件，但并不是将所有条件引入泛函的变量称为不完全

10、广义的变量，所创建的泛函是：式中： Sp变形体边界上的应力边界部分克罗内克(Kronecker )符号。 (5-11 )刚塑性不完全的广义变分原理认为，在满足速度-应变速度关系和速度边界条件的所有vi中，使泛函式5-11取现值的vi是真正的解。 在忽略体力的情况下，式5-11可以写成另一种形式，即式中：(5-12 )，在刚塑性有限元中，所利用的屈服基准是半屈服条件，其一次导数是连续的，对于在修正运算中省略体力，将外力设定为变形过程的硬化材料， 假设剪切屈服极限在短范围内是一定的，通过采用阶梯硬化曲线代替实际的硬化曲线，可以大幅度简化变分的运算。 以下证明这个原理。 由式5-12分开：采用半屈服

11、基准，将、(5-13 )、(5-14 )式5-14代入式5-13，得到、(5-13 ) (表面上) (5-18)(v体积内) (5-19)(v体积内) (5-20)(v体积内) (5-21 )、式5式这就是拉格朗日乘法的物理意义。 由式5-19可知，泛函为零时，总体积满足运动方程式，即平衡微分方程式。 由式5-18可知，泛函为零时，满足应力边界条件。 这意味着，在满足速度边界、应变速度和速度之间的关系的速度场vi中，当泛函为零时，满足所有基本方程，该速度场是真的解。 (5-22 )、5.3拉格朗日乘法为了使有限元纠正运算变得容易，将式5-11改写为矩阵形式： (5-23 )式中：应变速率阵列速

12、度阵列应力边界Sp上的规定的表面力矩阵符号、体力矩阵。 中的组合图层性质变更选项。 修正计算中材料有硬化作用时，如下图所示，采用阶段硬化曲线代替实际硬化曲线。 通过这样的处理，k可以时分被视为常数，并且可以从积分编号中提出。 在修正算法中忽略体积力的话，泛函可以写成： (5-24 )，注意上式中，代替实硬化曲线，阶段硬化曲线、5.3.1离散化假说变形体被划分为m个单元、n个节点，由此可知(5-25 )的s单元的边界。 单元格内有(5-27) (5-28 )单元格节点的速度列。将式5-27和式5-28代入式5-26时： (5-29 )、(这里k不是刚性矩阵)，对于一个单元，节点的速度和都是一定的

13、。 因此，公式5-29表示(4-30 )，泛函仅包含单元的节点速度和，未知数即：集合为整体，得到：泛函为零()，即得到： (5-32 )，由于变量，(5-31 )每个单元由：公式5-34构成的方程组(5-34 )，5.3.2解方程线性化非线性问题的一种常用方法是摄动法，该方法首先假定一个初始解，由该解求出修正量，用修正量修正原初始解，由修正后的解求出新的修正解，这样通过迭代来近似真解。 通过采用这种求解方法，可以将非线性方程组变换为线性方程组进行求解。 如果设置与初始速度场u对应的速度增量u，则每次反复的速度有如下关系：将式5-35代入式5-34，则为： (5-36 )、(5-35 )，省略高次的少量，请注意(5-38 )，省略高次微量获得：