应力状态与强度理论.ppt

1、,第九章 应力状态与 强度理论,材料力学,第九章 应力状态与强度理论,91 引言 92 二向应力状态分析解析法 93 二向应力状态分析图解法,94 三向应力状态简介,95 广义虎克定律,96 复杂应力状态的应变能密度,98 莫尔强度理论,97 四种常用的强度理论,9 引 言,应力状态与强度理论,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,四、普遍状态下的应力表示,三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、各侧面上，应力均布； b、平行面上，应力相等, 方向相反。,二、一点的应力状

2、态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。,应力状态与强度理论,x,y,z,s,x,sz,s,y,五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。,应力状态与强度理论,五、原始单元体（已知单元体）：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状态与强度理论,六、主单元体、主面、主应力：,主单元体(Principal body

3、)： 各侧面上切应力均为零的单元体。,主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,应力状态与强度理论,单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。,三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,应力状态与强

4、度理论,92 二向应力状态分析解析法,应力状态与强度理论,规定： 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。,图1,一、任意斜截面上的应力,已知：x, sy 拉正压负； t xy 绕研究对象顺时针转为正；,图2,设：斜截面面积为S，,应力状态与强度理论,图1,由分离体平衡得：,考虑切应力互等和三角变换：,a,a,应力状态与强度理论,图1,得：,同理, 由分离体平衡：,得：,任意斜截面应力sa, ta可求, 随a而变.,应力状态与强度理论,二、极值应力,sa 随a而变.,主平面法线与X轴夹角:,可求出相差90的两个a0 ,定两个互相垂直平面,分别对应最大、最小主应力:,

5、应力状态与强度理论,(max)在切应力相对的象限内， 且偏向于x 及y大的一侧。,极值切应力所在面 (法线与X轴夹角):,应力状态与强度理论,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,O,应力状态与强度理论,破坏分析,铸铁,应力状态与强度理论,93 二向应力状态分析图解法,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆（ Stress Circle）,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆),应力状态与强度理论,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆

6、心，以AC为半径画圆应力圆；,应力状态与强度理论,三、单元体与应力圆的对应关系,点面对应,转向相同,转角二倍,应力状态与强度理论,四、在应力圆上标出极值应力,应力状态与强度理论,例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,应力状态与强度理论,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,应力状态与强度理论,解法2解析法：分析建立坐标系如图,应力状态与强度理论,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位

7、置。,单元体：,五、梁的主应力及主应力迹线,应力状态与强度理论,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,应力状态与强度理论,主应力迹线（Stress Trajectories)：,实线表示拉主应力迹线；,虚线表示压主应力迹线。,主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,两组曲线正交.,应力状态与强度理论,x,y,主应力迹线的画法：,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,应力状态与强度理论,94 三向应力状态简介,1、空间应力状态,应力状态与强度理论,2、三向应力分析

8、,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,整个单元体内的最大切应力为：,应力状态与强度理论,例4 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,50,40,30,A,B,C,应力状态与强度理论,76 平面应变分析,一、叠加法求应变分析公式,剪应变： 直角的增大为正！,已知构件任一点处应变ex、ey、gxy。,正应变： 拉正压负。,将坐标系转a角，得到新的XOY坐标.,求 X 坐标方向的线应变 ea 和 XOY 角的剪应变 ga .,因为小变形、线弹性，可分

9、别算出 ex , ey， gxy 单独存在时的线应变和剪应变，再用叠加原理求它们同时存在时的ea，ga .,应力状态与强度理论,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,2、已知一点A的应变（ ），画应变圆,二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle）,1、应变圆与应力圆的类比关系,建立应变坐标系如图,在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2),AB与a 轴的交点C便是圆心,以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。,应力状态与应变状态,三、方向上的应变与应变圆的对应关系,n,应力状态与应变状态,四、主应变数值及其方位,应力状态与应变

10、状态,例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。,解：由,i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。,应力状态与应变状态,(剪应变不易测)。,例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,应力状态与应变状态,95 广义虎克定律,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,应力状态与强度理论,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,sz,sy,sx,应力状态与强度理论,主应力 - 主应变关系,四、平面状态下的应力-应变关系:,方向一致,应力状态与强度理论,主应力与主应变

11、方向一致?,应力状态与强度理论,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力状态与强度理论,例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,应力状态与强度理论,应力状态与应变状态,例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求

12、:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,应力状态与应变状态,s1,sm,p,O,图a,1、轴向应力:(longitudinal stress),解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,应力状态与应变状态,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,2、环向应力：(hoop stress),3、求内压（以应力应变关系求之）,应力状态与应变状态,96 复杂应力状态的应变能密度,应力状态与应变状态,称为形状改变比能或歪形能。,应力状态与应变状态,称为体积改变比能。,例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的比能为：,纯剪

13、单元体比能的主应力表示为：,应力状态与应变状态,一、概述：,97 四种常用的强度理论,强度理论,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,确定破坏（极限）应力，得许用应力，建立相应的强度条件，,（一）、简单变形时强度条件的建立：,（二）、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。,1、伽利略播下了第一强度理论的种子；,（三）、材料的破坏形式： 屈服 （多为塑性材料）； 断裂 （多为脆性材料）。,2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；,3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大切应力理论；,4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximu

14、m distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。,强度理论,找到原因后，利用简单应力状态的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。,二、最大拉应力（第一强度）理论：,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的承受拉应力的构件。,强度理论,认为构件的断裂破坏是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,（一般是金属材料，如铸铁的单向拉、扭。 不适用单向、两向压。）,三、最大伸长线应变（第二强度）理论：,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。,强度理论,同时考虑了s

15、1、s2、s3，适用于脆性材料（一般非金属）。 不适用于两向拉、压。,认为构件的断裂破坏是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,四、最大切应力（第三强度）理论：,1、破坏判据：,3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。,2、强度准则：,强度理论,适用于塑性材料，应用广泛，形式简单，概念明确。 缺点：忽略了s2的影响，偏于安全。,认为构件的屈服破坏是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。,五、形状改变比能理论（第四强度理论）（畸变能密度理论）：,1、破坏判据：,2、强度准则,3、适用范围：适用于破坏形式为屈

16、服的构件。,强度理论,对塑性材料,第四强度理论与试验结果相当接近,优于第三强度理论.,认为构件的屈服破坏是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时的形状改变比能时，构件就破坏了。,六、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。,1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：,2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！,当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。,当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。,其它应力状态时，使用第三或第四理论。,强度理论

17、,七、相当应力：（强度准则的统一形式）。,其中，r相当应力。,强度理论,解：危险点A的应力状态如图：,例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。,故，安全。,强度理论,例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。,解：由广义虎克定律得:,所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。,强度理论,98 莫尔强度理论,莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大切应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。,强度理论,近似包络线,极限应力圆的包络线,O,t,s,一、两个概念：,1、极限应力圆：,2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envel