线性代数4-3.ppt

1、4.3 线性方程组的解,一、矩阵的秩与线性方程组的解 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构,系数矩阵 A,增广矩阵 ,解向量：满足方程组的一组值,mn 型方程组,一、矩阵的秩与线性方程组的解,定理1 mn 型方程组 AX = b 有解的充要条件是,注 (1)齐次方程组总是有解的（总有零解）； (2)系数矩阵的秩小于等于增广矩阵的秩。,如果 AX = b 有解，,向量b为向量组,的线性组合,向量组b,与向量组,的秩相等,即,对非齐次方程组证明定理1：,令,反之, 如果,向量b为向量组,的线,方程组 AX = b 有解 。,则向量组,与向量组,的秩相等,性组合,定理2 mn 型

2、方程组 AX = b ，若,即,应用Gauss消元法的思想，对一个方程组做初等变换就相当于对其增广矩阵做初等行变换。,例1 设有线性方程组,解：,其解可表为：,这时又分两种情形：,对齐次线性方程组,总有,，所以齐次方程组一定有解。,设,例4 求解齐次线性方程组,解,得同解的方程组,（一）、解的性质,证明,二、齐次线性方程组解的结构,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,证毕.,（可推广至有限多个解）,记为:,（二）、 基础解系,基础解

3、系的定义：,可见基础解系即为解空间的一个基。,证明：若,得同解的方程组,线性无关。,向量组,说明：,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础系， 则其通解为,齐次线性方程组解的结构,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,（三）利用线性方程组讨论矩阵的秩,通常借助于齐次线性方程组的基础解系,包含解向量的个数来解决.,例3 设,证,即,量的个数不多于n-r个，,例4,证明：,只证Ax=0与,0是同

4、解方程组即可.,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的结构,证明,证毕,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为,其中 为对应齐次 组的通解 ， 为非齐次线性方程组的 任意一个特解.,解,例1 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求齐次方程基础解系：,令,依次解得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等行变换（Gauss消元法）,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（