三角函数基础知识

1、三角函数基础知识整理一 角的概念：1角的概念的推广“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=-150，=660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角记法：角或 可以简记成意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角

2、 2“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3终边相同的角 结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合： 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.注意：(1) (2)a是任意角；(3)与a之间是“+”号，如：-30，应看成+(-30)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍二 弧度制：1 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用

3、“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad 2弧长公式：由公式： 比公式简单 即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径三 三角函数的定义：1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2. 比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 以上六种函数，统称为三角函数.3. 突出探究的几个问题： 角是“任意角”，当b=2kp+a(kZ)时，b与a的同名

4、三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值”为函数值的函数而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.定义域： 的定义域： R 的定义域：R 的定义域： 注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)比值只与角的大小有关.4 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；余弦在第一、四象限为正；正切在第一、三象限为正.四 诱导公式：1必须熟记的两组诱导公式：诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 诱导公式二： 2. 诱导公式的变形规则

5、：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式三： 用弧度制可表示如下： 诱导公式四： 用弧度制可表示如下： 诱导公式五： 用弧度制可表示如下： 诱导公式六： 用弧度制可表示如下： 补充公式七： 用弧度制可表示如下： 补充公式八： 用弧度制可表示如下： 补充公式九： 用弧度制可表示如下： 五两角和与差的三角函数关系式：1两角和与差的三角函数关系式 2 推导公式：因为.所以sin2cos21(1)若令sin，则cos则asinbcos（sinsincoscos）cos（）（或cos（）(2)若令cos，则sin.则sinbcos（sincoscossin）sin（）六二倍角公式：1.二倍角公式: ； ； ；

6、 注意：（）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题 （）二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的 （）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式 （4） 公式，成立的条件是: 公式成立的条件是其他（5） 熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）（6） 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用七万能公式：1万能公式证明：1 2 3八 三角函数的图象与性质：1正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足

7、为M，则有，注：有向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线 2用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x0，2、余弦函数y=cosx，x0，2的图象（几何法）： 把y=sinx，x0，2和y=cosx，x0，2的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR和y=cosx，xR的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线 3用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同

8、（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象yxo1-1（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)4定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作： ysinx，xR ycosx，xR5值域正弦函数、余弦函数的值域都是1，1其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值16周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，

9、使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意：1 周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T0则定义域无上界；T0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A若A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变）若0则可用诱导公式将符号“提出”再作图决定了函数的周期3

10、相位变换: 函数ysin(x)，xR(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)十 正切函数的图象与性质：1. 正切线：正切函数，且的图象，称“正切曲线”余切函数ycotx，x(k，k+)，kZ的图象（余切曲线）正切函数的性质： 1定义域：，2值域：R 3当时，当时4周期性：5奇偶性：奇函数6单调性：在开区间内，函数单调递增十一 正、余弦定理：1 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径）2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:3. 余弦定理： 4余弦定理可以解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角5 三角形的知识在测量、航海、几何、物理学