24.1.2垂直于弦的直径(1)

1、24.1.2垂直于弦的直径,你能否找到一个圆的圆心和直径？再把这个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,X,任何一条直径所在的直线都是对称轴。,O,A,B,C,D,E,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E .,垂径定理的几何语言叙述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,AE=BE,AC=BC,AD=BD,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧,CDA

2、B,验证篇,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。 求证：AEBE，ACBC，ADBD。,叠合法,O,A,B,C,D,E,例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,A,B,C,D,E,A,B,D,C,AC=BC,AD=BD,CDAB,AE=BE,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（不是直径）,垂径定理的推论1:,CDAB吗？,(E),合作探究,O,A,B,C,D,E,CDAB,AE=BE,AC=BC,CD过圆心,垂径定理的推论2:,AD=BD,已知AB如图，你能平分这条弧？,E,第一步：连接AB,第二步：作AB的

3、垂直平分线,F,.,CD过圆心吗?,弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧.,例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。,D,C,10,8,8,解:作OCAB于C, 由垂径定理得: AC=BC= AB= 16=8 在RtOBC中，由勾股定理得: 答:截面圆心O到水面的距离为6.,1 2,1 2,排水管中水最深是多少?,6,CD=ODOC,=106=4,变式一：,若已知排水管的半径OB=10，,截面圆心O到水面的距离OC=6，,求水面宽AB。,变式二：,若已知排水管的水面宽AB=16。,截面圆心O到水面的距离OC=6，,求排水管

4、的半径OB。,D,C,10,8,8,6,例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。,若弦心距为d，半径为R，弦长为a,则这三者之间有怎样的关系？,d,R,a 2,d2+( )2=R2,2,a,解：如图，设半径为R，,在tAOD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,问题情境,例2 ：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）,AB=37.4,CD=7.2,R,18.7,R-7.2,1.判断

5、：,( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.,( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.,( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.,( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,(4)若 ，CD是直径, 则 、 、 .,(1)若CDAB, CD是直径, 则 、 、 .,(2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 .,(3)若CDAB, AM=MB, 则 、 、 .,2.如图所示:,AM=BM,CDAB,CD是直径,CDAB,AM=BM,3 . 如图，已知在O中， （1）弦AB

6、的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径 （2）弦AB的长为6厘米，O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离 （3）O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长,4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB，, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,OEAC，ODAB，ACAB,OEA=ODA=BAC=90,弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.,通过这节课的学习,你学到了哪些知识？,课堂小结：,1.圆是轴对称图形.,2.垂径定理： 垂直于弦的直径