第十五章-灰色预测模型.ppt

1、灰色系统建模,一 灰色系统的定义和特点 二 灰色系统的模型 三 销售额预测 四 城市道路交通事故次数的灰色预测 五 城市火灾发生次数的灰色预测 六 灾变与异常值预测,灰色系统理论是我国学者邓聚龙教授于20世纪80年代前期提出的用于控制和预测的新理论、新技术，目前已广泛地应用于各个学科领域，并取得了显著成就(邓聚龙，1992)。灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的小样本、“贫信息”不确定性系统。它通过部分已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述，是一种十分简便的新理论。,15.1. 灰色系统概述,15.1.1灰色系统 我们通常所说

2、的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体。 白色系统如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体 黑色系统如果一个系统的内部特性全部是未知的 灰色系统介于白色系统和黑色系统之间，即系统内部信息和特性是部分已知的，另一部分是未知的.区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系.,自然界对人类社会来讲不是白色的(全部都知道)，也不是黑色的(一无所知)，而是灰色的(半知半解)。 人类的思考、行为也是灰色的，人类其实是生存在一个高度的灰色信息关系空间之中，例如：人体系统、粮食生产系统等。部

3、分信息已知，部分信息未知的系统，称为灰色系统。,一个系统的信息不完全有下列四种情况。 （1）系统的元素，或者参数方面的信息不完全；（2）系统的结构或关系的信息不完全； （3）系统的运行或功能结果的信息不完全；（4）系统与环境边界的信息不完全。,灰色系统的特点,（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化。,（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。,（3）灰色系统理论能处理贫信息系统。,灰色系统建模方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，即建立相应的数学模型.,灰色系统理论分析具有沟通社会科学及自然科学的作用，可将抽象的系统加以实

4、体化、量化、模型化及做最佳化。 该理论主要是针对系统模型的不明确性，信息不完整性时，进行关于系统的关联分析（Relational Analysis）、模型建构（Constructing A Model）、预测（Prediction）及决策（Decision）。,1.2灰色系统理论的主要内容,灰色系统的应用范畴,灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。,灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。,15.2灰色关联度与优势分析,15.2.1 灰色关联分析概述,为了

5、定量地研究两个事物间的关联程度，人们提出了各种形式的指数，如相关系数和相似系数等等。这些指数大多以数理统计原理为基础，需要足够的样本个数或者要求数据服从一定的概率分布。 在客观世界中，有许多因素之间的关系是灰色的，分不清哪些因素之间关系密切，哪些不密切，这样就难以找到主要矛盾和主要特性。灰因素关联分析，目的是定量地表征诸因素之间的关联程度，从而揭示灰色系统的主要特性。关联分析是灰色系统分析和预测的基础。,由此可见，关联分析实质上是一种曲线间几何形状的分析比较，即几何形状越接近，则发展变化趋势越接近，关联程度越大；反之亦然。,关联分析 是一种相 对性的排 序分析 源于几何 直观,为保证建立模型的

6、质量和系统分析的正确性，对采集来的原始数据一般需进行预处理，使其消除量纲和具有可比性。即在进行关联度计算之前，对各要素的原始数据作初值变换或均值变换等，然后利用变换后所得的数据作关联度计算。原始数据变换方法如下：,15.2.2数据变换技术,如果原始数据具有相同的量纲，能够进行比较，也可以不作数据变换。,15.2.3关联系数与关联度,（2）关联系数,（3）关联系数的计算,关联系数计算一般分为四个步骤：,(ii)求差序列。各时刻,与,的绝对差,(iii)求两级最小差与最大差。,求两级最小差：,，,，,再求两级最大差：,4计算关联系数。根据已求出的,代入关联系数计算公式：,将表153的数据依次代人得

7、：,通过上述计算，我们得到的是一个关联系数矩阵,信息过于分散，不便于比较，为此有必要将各时刻关联系数集中为一个值，求平均值。,所谓关联度是指参考数列对被比较数列关联系数的均值，记为,（四）关联度,求得上述三条曲线的关联度为：,，,例15.2.2 铅球运动员专项成绩的因素分析 通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其1982至1986年没年最好成绩及16项专项素质和身体素质的时间序列资料，见下表，试对此运动员的专项成绩进行因素分析，见下表。,各项成绩数据,在利用（1）式及（2）式计算关联度之前，我们需要对表中的各个数据做初始化处理。一般来讲，实际问题中的不同数据往往具有不同的量纲，而我们在

8、计算关联系数时，要求量纲相同。因此，需要首先对各种数据无量纲化。此外，为了易于比较，要求所有数列有公共的交点。为了解决上述问题，我们对给定数列进行变换。,Step 1. 选取参照数列,Step 2. 将各个数量按照其对参照数列的意义初始化,依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项成绩 作为参考数列，,Step 3. 将初始化后的数列代入关联系数和关联度，即先求出关联系数，然后在关联系数的基础上求出关联度。,关联度计算结果,由表中可以看出，影响铅球专项成绩的前八项主要因素依次为全蹲，3kg滑步，高翻，4kg原地，挺举，立定跳远，30米起跑，100米。因此，在训练中应着重安排着八项指标的练习，这

9、样可以减少盲目性，提高训练效果。,Step 4. 对关联度依据大小排序，给出分析结果。,例2：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价 1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤,2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表,3确定参考数据列：,4计算 ， 见下表,5求最值 6 取计算，得,同理得出其它各值，见下表,7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：,8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号即,15.3 灰色生成数列,在灰色系统理论中，把一切随机量都看作灰数，即在指定范围内变化的

10、数的全体。对灰数的处理主要是利用数据处理方法去寻求数据的内在规律，通过对已知数据进行处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成2。数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累减生成和加权累加生成等。,灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。 灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事

11、等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。,15.5灰色预测,（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。,（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。,（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。,（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。,（5）系统预测. 通过对系统行为特征指

12、标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。,常见的灰色预测,通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例1】 设原始数据序列,x0=6,3,8,10,7 %原始数据序列,对数据累加,于是得到一个新数据序列,x1=cumsum(x0) %进行累加得到一个新数据序列,归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.显然有,将上述例子中的,分别做成图1、图2.,可见图1上的曲线有明显的摆动，图2呈现逐渐递增的

13、形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成数列,图2,图1,为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算 或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中,归纳上面的式子得到如下结果：一次后减,其中,2. 建模原理 给定观测数据列 经一次累加得,（1）,（2）,则GM（1,1）的灰微分方程模型为,其中a是常数，称为发展灰数；u称为内生控制灰数(或内生变量)，是对系统的常定输入。,白化方程,最小二乘估计a,b,(1)时间响应函数,(2)时间响应序列,3.精度检验 (1)残差检验：分别计算,（3）预测精度等级对照表，见表1.,表1 等 级 对 照 表,实例

14、1 销售额预测,随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋势. 因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。,表1 逐年销售额（百万元）,【例1】 表1列出了某公司20062010年逐年的销售额.试用建立预测模型，预测2011年的销售额，要求作精度检验。,解（1）由原始数据列计算一次累加序列 ，结果见表2. 表2 一次累加数据,（2）建立矩阵：,表 3,2.8740 3.2320 3.3545 3.4817 3.6137 3.7507,mean(x0) =3.3116,std(x0)= 0.2586,2.874 3.278 3.337 3.390

15、3.679,输入数据,ys = 0 3.2320 3.3545 3.4817 3.6137 3.7507,百分绝对误差为：0.12915% 预测值为： 3.7507,输出,运用灰色预测GM(1,1)_MATLAB程序（见附件）,实例2、 城市道路交通事故次数的灰色预测,灰色理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”的不确定问题为研究对象,通过对“部分”已知的信息的生成开发,提取有价值的信息,构造生成序列的手段来寻求现实现象中存在的规律。 交通事故作为一个随机事件,其本身具有相当大的偶然性和模糊性,如果把某地区的道路交通作为一个系统来看，则此系统中存在着一些确定因素(灰色系统称

16、为白色信息) ,如道路状况、信号标志,同时也存在一些不确定因素(灰色系统称为灰色信息)如车辆状况、气候因素、驾驶员心理状态等等,具有明显的不确定性特征。 因此可以认为一个地区的道路交通安全系统是一个灰色系统,可以利用灰色系统理论进行研究。,【例2】某市2011年1-6月的交通事故次数统计见表4.试建立灰色预测模型. 表4 交通事故次数统计 解 利用matlab软件计算，输出分析数据如下： 原始数列(元素共6个):83，95，130，141，156，185 预测结果如下：,1dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.47278810 2时间响应方程： X(k+1)=669.57

17、52*exp(0.1440k)-586.5752 3预测的结果X*(k)： (1) 213.08514646 (2) 246.09114698 (3) 284.20963932 (4)328.23252716 (5) 379.07437672 (6) 437.79141674 (7) 505.60348139 这表明：如果该市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次数将上升至213次.,实例3 城市火灾发生次数的灰色预测,【例3】某市20062010年火灾的统计数据见表5. 试建立模型，并对该市2011年的火灾发生状况做出预测。 表4 某市20012005年火灾数据,解 利用matlab软件计

18、算，输出分析数据如下： 原始数列(元素共5个): 87，97，120，166，161 预测结果如下：,1dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.11892433 2时间响应方程： X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.6597 3 预测的结果X*(k)： (1) 202.67991837 (2) 239.44245045 (3) 282.87305194 (4)334.18119203 (5) 394.79571611 (6) 466.40463669 结果表明：如果该市不采取更有效的防火措施， 2011年的火灾事故次数约为 203 次.,实例4

19、 灾变与异常值预测,灰色灾变与异常值预测指运用灰色动态模型，对系统变化过程中某个异常数值在未来什么时间还会出现进行的预测. 由于这个异常值的出现经常对人类产生不利的影响，即造成灾害，如：某年降雨量低于300mm,便形成旱灾，使粮食生产歉收；某年发生蝗灾，农作物就要减产；破坏性地震、特大洪水、台风与海啸等自然灾害的发生，更是给人们的生活和生产带来巨大的损失. 因此，对这一类事件发生的时间和程度进行预报，是很有实际意义的.,1. 灾变预的数学原理与特征 灾变预测与数据预测的不同点，在于它不是预测序列数据的量的变化，而是预测异常值或“灾变”点出现的时间，它是应用灰色区间（间隔）的预测而进行的。所以，

20、灾变预测的基本要求是“定量求时”。灾变预测的数学原理描述如下：,4,3.实际问题旱灾预测,解,计算的 MATLAB 程序如下： clear a=390.6,412,320,559.2, 380.8,542.4,553,310,561,. 300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5; t0=find(a=320);n=length(t0); t1=cumsum(t0); %累加运算 B=-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end),ones(n-1,1);Y=t0(2:end); r=BY y=dsolve(Dy+a*y=b,y(0)=y0); y=

21、subs(y,a,b,y0,r(1),r(2),t1(1); yuce1=subs(y,t,0:n+1) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解 y=vpa(y,6) %其中的6 表示显示6 位数字 yuce=diff(yuce1); %作差分运算，进行数据还原 yuce=t0(1),yuce yuce_new=yuce(n+1:end) %求得的两个预测值,七、建模实例,SARS疫情对某些经济指标的影响问题 1.问题的提出 2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展 产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市 的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分 为直接经济影

22、响和间接影响，直接经济影响涉及商品 零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面难以进行 定量地评估，现仅就SARS疫情较严重的某市商品零 售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分 析。,究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2 和表3。,表1 商品的零售额（单位：亿元）,表2 接待海外旅游人数（单位：万人）,表3 综合服务业累计数额（单位：亿元）,试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估 2003 年SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造

23、成的影响。,2 模型的分析与假设 根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分： （1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由19972002 年的平均值预测2003 年平均值；,（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。,给出下面两条假设： （1）假设该市的统计数据都是可靠准确的； （2）假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。,3 建立灰色预测模型GM(1,1),4 模型的求解,将预测值与实际统计值进行比较如表 4 所示。,表 4 2003 年商品的零售额（单位：亿元）,结果分析,计算的MATLAB 程序如下： clear load han1.txt %把原始数据保存在纯文本文件han1.txt中 han1(end,:)