3.1数系的扩充

1、,3.1.1数系的扩充和复数的引入 和田地区实验中学 黄丽,老师提问：请问同学们对幸福的理解是什么？ 同学甲回答：每天都过得开开心心的，快快乐乐的；同学乙回答：每天的学习都能有所收获，考上理想的大学。 老师总结：在50、60年代，人们对幸福的理解是吃饱穿暖；70、80年代的人们对幸福的追求是“碗里有肉、口袋里有钱”、90年代人们对幸福的理解是有房有车；到了新世纪，人们追求的是“蓝天白云，青山绿水”！,在十九大报告中强调，把人们对美好生活的向往作为奋斗目标！我们通过人们对幸福的理解可以看到：随着时代的发展的变化而变化，由物质层面向精神层面的扩大。今天我们要学习的内容也与这个话题相似。,毕达哥拉斯

2、（约公元前560480年）,数统治着宇宙。“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉,计数的需要,正整数,零,自然数,回顾：数系的扩充,一、数的发展史,被“数”出来的自然数,远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果， 用划痕、 石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地 古代印度人最早使用了“0”.,中国是世界上最早认识应用负数的 国家.早在2000多年前的九章算术 中,就有正数和负数的记载.在古代人民 生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在 粮食生产中,以

3、产量增加为正,以产量减 少为负.古代的人们为区别正、负数,常 用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.,小贴士,回顾：数系的扩充,珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米. 吐鲁番盆地大约比海平面低155米.,+8844,-155,回顾：数系的扩充,自然数集,整数,负整数,自然数,正整数,零,整 数 集,回顾：数系的扩充,被“分”出来的分数,随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数 是远远不行的.,分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.,如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？,于是分数就产生了.,整数,负整数,自然数,正整数,零,分数,有理数,有理数集,回顾：数系的扩充,C,

4、古老的问题:“正方形的对角线是个奇怪的数”,回顾：数系的扩充,1,被“推”出来的无理数,希伯斯发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是他努力研究, 终于证明出它不能用整数或分数表示. 进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。,无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.,无理数,实数,实 数 集,回顾：数系的扩充,1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”,(R.Descartes,1596-1661),笛卡尔,能作为“数”吗？,它表示什么意义？,新课：数系的扩充,14:02,解方程 ？,我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进

5、一步扩充。,情境引入,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。,引入新数，完善数系,?,虚数,?,新课：数系的扩充,复数Z=a+bi (aR， bR )把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。,1、定义:形如a+bi（aR，bR）的数叫复数,其中i叫虚数单位。,全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。,注意:复数通常用字母z表示，即复数a+bi （aR，bR)可记作:z =a+bi （aR，bR），把这一表示形式叫做复数的代数形式。,复数有关

6、概念,其中 称为虚数单位。,观察复数的代数形式,当a= 0 且b= 0 时，则z=0,当b= 0 时，则z为实数,当b 0 时，则z为虚数,当a= 0 且b 0时，则z为纯虚数,2、复数a+bi,3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,思考？,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,复数的分类,请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.,解:实数有 ; 虚数有 ; 纯虚数有 .,4 ， 0,随堂练习,例1 实数m取什么值时， 复数 是 （1）实数（2）虚数（3）纯虚数,解:（1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,例题讲解,（4）0,（5）6+2i,4.复数

7、相等的定义,根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi = c+di,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.,两个复数不一定能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。,例2:已知,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,与,转化（复数问题实数化）,解: 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组,解得:,求实数,变式1、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于2x+3+(y2-1)i试求实数x,y的取值范围,变式2、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y, 求x,y。,14:02,课堂小结,z = a + bi,(

8、a,bR),复数的分类,当b=0时z为实数;,当b0时z为虚数,(此时,当a =0时z为纯虚数).,复数的相等,a+bi=c+di,(a, b,c,dR),当堂检测,1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是 （ ） A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为_。 3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值为_。,问题拓展,已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数， 求a的值.,解：设方程的解为x0,14:02,若方程至少有一个实数根，求实数m的值,思考题,回忆,复数的一般形式？,Z=a+bi(a, bR),实部!,虚部!,一个复数由什么唯一确定？,1.虚数单位i的引入；,课堂小结,课后作业,习题3.1 必做A组 第1、2、3题 选做 拓展第1、2题,关于无理数的发现 古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派