线性代数第五章5-2.ppt

1、2 方阵的特征值与特征向量,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 注意：特征值和特征向量只针对方阵而言 例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (Al

2、E) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | AlE | = 0,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlE | = 0 特征多项式 | AlE | （以 l 为未知数的一元 n 次多项式）,二、基本性质,特征值就是特征方程的根 在复数范围内 n 阶矩阵有 n 个特征值（重根按重数计算）. 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 与特征值 l 对应的特征向量就是 (AlE) x = 0 的非零解,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解：A 的特征多项式为

3、所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量,k p1（k 为任意实数）就是通解,特征向量不能等于零向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ,k p2（k 0）就是对应的特征向量,特征向量不能等于零向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解： 所以 A 的特征值为 l1 = 1，l2 = l3 = 2 ,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：当 l1

4、 = 1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0 解得基础解系 ,k p1（k 0）就是对应的特征向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A2E) x = 0 解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量,二、基本性质（续）,特征值就是特征方程的根 在复数范围内 n 阶矩阵 有 n 个特征值（重根按重数计算）. 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 与特征值 l

5、 对应的特征向量就是 (AlE) x = 0 的非零解 设 R (AlE) = r，则 (AlE) x = 0 的基础解系中应包含 nr个线性无关的解向量，记为 p1, p2, , pnr ，于是通解为 x = c1 p1 + c2 p2 + + cnr pnr （c1, c2, , cnr 是任意实数） 相应的特征向量 p = c1 p1 + c2 p2 + + cnr pnr （c1, c2, , cnr 不全为零）,例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值 分析： l 是方阵 A 的特征值 当且仅当 |

6、 AlE | = 0 当且仅当存在非零向量 p ，使得 Ap = l p 成立 结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p ,二、基本性质（续）,若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 E + a1 A + + am A m 的特征值， 其中 E 是与 A 同阶的单位阵,例：设3 阶方阵 A 的特征值为1, 1, 2，求

7、 A* +3A2E 的特征值 解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1) 2 = 2 设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量，即 Ap = l p 令j (l) = 2l 1 +3l 2， 则 j (A) p = (2A1 +3A2E )p = 2(A1p) +3 (Ap) 2 (Ep) = 2l 1 p +3l p 2p = (2l 1 +3l 2) p = j (l) p 即 j (l) 是 j (A) 的特征值， p 是对应的特征向量 故 j (A) 的特征值为j (1) = 1， j (1) = 1， j (2) = 3,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, , lm