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文档简介

1、1,3行列式按一行（列）展开,行列式按一行(列)的展开式在理论上和实际计算中都起重要作用，其实也是行列式的一条重要性质，由于其特殊性，和其它性质分开来叙述.而其它性质都主要是关于初等变换对于行列式的值的影响的.,1,2,我们从考察三阶行列式开始.,把三阶行列式的六项按含第一行各个元素分为三组,2,3,提出公因子,3,4,M22,M23,M32,4,5,分别称为a11,a12,a13的余子式,记作M11,M12,M13.而 (1)1+1 M11, (1)1+2 M12, (1)1+3M13称为 a11,a12,a13 代数余子式,记作A11,A12,A13.利用代数余子式,可以写出,5,6,划去

2、aij的所在的行和列所得的行列式称为aij的余子式，记作Mij，（1)i+jMij称为aij的代数余子式，记作Aij.,定义,从定义知道, aij的代数余子式和余子式只与i,j有关,与aij的值无关.,6,7,例设,求a23的余子式和代数余子式.,解,7,8,引理,(行列式按第一行的展开式),行列式等于第一行各元素和相应代数余子式乘积之和.,8,9,10,证明以三阶行列式为例书写:,10,11,表示2,3排列的全体,其余类似.,思考:请写出一般情形的证明.,11,12,定理对于,按第i行展开,按第j列展开,12,13,证明把第i行和其前面的i-1行依次互换i1次,到达第一行,其余位置不变.,1

3、3,14,如果一行乘另一行的代数余子式结果会怎样呢?,对于四节行列式,举例说,14,15,例如对于3阶行列式,此式代表第二行元素为第一行元素的行列式, 即有两行相同,故其值为零.一般地对于n阶行 列式,克罗内克记号.,15,行列式按行或列展开的一般公式,16,17,例计算行列式,解I,17,18,此题中两个行列式的计算,18,19,解II,可以先用上一节的方法在一行制造更多的零.,19,20,20,21,例 计算行列式,解,21,22,22,23,例设,第一式是行列式,23,24,解,24,25,25,26,例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,n=1时公式成立吗？ 共多少个因子？,26,27,证明用数学归纳法. n=2时,等式成立.设等式对于n-1成立,则从第n行开始，后行减去前行的 x1 倍：,27,28,按照第1列展开，并提出每列的公因子 xj x1，并且利用归纳假设就有,28,例,29,30,例 求下列 n 阶行列式的值,30,31,为了观察降阶规律，我们以5阶为例,解,32,33,(1)当一行很多0时,按一行展开,得递推公式; (2)直接计算前几个值,根据递推公式再计算几个值,猜出一般公式; (3)用

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