1.4.1曲边梯形面积与定积分

1、1.5.3 定积分的概念,广州市第六中学 肖燊,两个活动:,1、一根1米长的木棒，第一天截掉它的一半，剩下另一半； 第二天将剩下的那一半再截掉一半， 依此类推， 请问，要截多少天，才能将这根棒截完。,2、上述活动中被截掉的木棒有多少根呢？若将上述截掉的棒接起来，那么接起来的木棒有多长呢？,化有限为无限,化无限为有限,区间分割的过程是否可以理解为“化有限为无限”的过程？,求和取极限的过程是否可以理解为“化无限为有限”的过程？,求曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,xi,xi+1,xi,(1)分割: 在区间a,b 上等间隔地插入n-1个点,将 它等分成n个小区间: 每个小区间宽度x,(2)近

2、似代替、(3)求和: 任取 xi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f( )而宽为x的小矩形面积 f( )x近似值.,xi,xi+1,xi,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,(4)取极限: 所求曲边梯形的面积S为：,区间分割问题：区间是否可以不均匀分割？均分分割的目的是？,想一想：,取值可以取区间 内的任意值，我们常取（左、右）端点值的目的是什么？,1.定积分的计算和简单应用.(重点) 2.利用定积分求平面区域围成的面积. (难点),探究点1 定积分的定义,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通过以下四步:,探究活动,分割近似代替求和取极限得到解决.,定积分的定义,定积

3、分的定义的理解:,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间.,积分下限,积分上限,由定积分定义易知求定积分的步骤为： (1)分割：将积分区间a,bn等分. (2)近似代替：取点ixi-1,xi，可取i=xi-1或者i=xi. (3)求和： (4)求极限：,探究点2 定积分的几何意义,试用定积分的几何意义说明,【提示】x=0,x=2, y=0, 围成图形的面积。 试一试：求定积分的值（利用几何意义）,探究点3 定积分的基本性质,性质1,性质2,(k为常数),性质3.定

4、积分关于积分区间具有可加性,【解析】由定积分的运算性质可知,2.已知 则 等于( ) A.6e2-6 B.3e2-3 C.ex-1 D.e2-1,【同步训练】,【解析】选B.由定积分的性质可知,B,探究点4 用定积分表示图中阴影部分的面积,思考：定积分可能是负值吗？如果为负值时，与图形的面积又是什么关系呢？,事实上：当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,分析过程如下：,定积分的几何意义:,表示各部分面积的代数和.,【拓展延伸】,代数和的理解： 函数图象在x轴下方时，定积分的值为图形面积的相反数，,函数图象在x轴上方时，定积分的值为图

5、形面积本身。,1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,0,a,y,x,f(x)=x2,【变式训练】,0,y,x,a,b,f(x)=1,0,y,x,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,1.定积分 的值为( ) A.0 B.2 C.1 D.4 【解析】选B. 表示由直线y=1，x=0,x=2及x轴 围成的矩形的面积,由于矩形的面积为2，所以,【当堂小测】,2.设连续函数f(x)0，则当ab时，定积分 的 符号 ( ) A.一定是正的 B.一定是负的 C.当0ab时是正的，当ab0时是负的 D.以上结论都不对,A,3.由y=0，y=cos x，x=0，x= 围成的图形的面积用定积分的形式表示为_. 答案：,4.,面积值为圆的面积的,【课后作业】,1.定义法求定积分的“四步曲” 分割近似代替求和取极限 2.定积分几何意义 3.定积分几何意义的应用 4.定积分计算性质,学习完这节课，同学们是否有这样的疑问：