2.5.2圆切线

1、2.5 直线和圆的位置关系,第2章 圆,第1课时 切线的判定,2.5.2 圆的切线,1.理解和掌握圆的切线的判定定理；(重点) 2.能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明(难点),导入新课,情境引入,转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？,都是沿切线方向飞出的.,生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.,讲授新课,问题1 如图，OA是O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线lOA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和O有怎样的位置关系？,合作探究,l,由圆的切线定义可知直线l 与圆O 相切.,l,经过半

2、径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,OA为O的半径,BC OA于A,BC为O的切线,B,C,知识要点,下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？,(1)不是，因为没有垂直.,(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.,判一判,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;,2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；,3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,要点归纳,用三角尺过圆上一点画圆的切线.,做一做,（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l

3、 就是所要画的切线.如图所示.,如下图所示，已知O 上一点P，过点P 画O 的切线,画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；,为什么画出来的直线l是O的切线呢？,例1 已知：如图所示，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，BAD=CAD. 求证：直线BC是圆O的切线.,D,证明 因为 AB=AC，BAD=CAD，,所以 ADBC.,又因为OD是圆O的半径，且BC经过点D，,所以直线BC是圆O的切线.,例1变式 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是O的切线.,O,B,A,C,分析：由于AB过O上的点C

4、，所以连接OC，只要证明ABOC即可.,证明：连接OC(如图). OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ABOC. OC是O的半径, AB是O的切线.,1.如图,ABC 中，AB AC ，O 是BC中点，E为O 上一点，且OE AB.求证：AC 是O 的切线,B,O,C,E,A,针对训练,证明：连接OA, 过O 作OF AC.,ABC 中，AB AC ， O 是BC 中点,AO 平分BAC，,F,B,O,C,E,A,OE OF.,OE 是O 半径，OF OE，OF AC.,AC 是O 的切线,又OE AB ，OFAC.,(1)证明：连接OC，BC. FCCB，DACB

5、AC. CDAF，ADC90. AB是直径，ACB90. ACDB.,BOOC，OCBOBC. ACOOCB90，OCBOBC， ACDABC， ACOACD90，即OCCD. 又OC是O的半径， CD是O的切线；,(2)若CD ，求O的半径,(2)解：AFFCCB， DACBAC30. CDAF，CD ，AC . 在RtABC中，BAC30，AC ， BC4，AB8， O的半径为4.,(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”; (2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作

6、垂直,证半径”.,证切线时辅助线的添加方法,1.判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）,当堂练习,2.如图所示，A是O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与O的位置关系是 .,相切,3.如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA的长为半径的O与BC相切于点M. 求证：CD与O相切,证明：连接OM，过点O作ONCD于点N，O与BC相切于点M，OMBC

7、， 又ONCD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， OMON， CD与O相切,证明：连接OP. AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OPB=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE为O的切线.,4.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P， PEAC于E. 求证:PE是O的切线.,O,A,B,C,E,P,5.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF. （1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： _ ； _ . （2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.,BAEF,CAE=B,证明：连接AO并延长

8、交O于D,连接CD,则AD为O的直径. D+ DAC=90 , D与B同对 , D= B, 又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90, EF是O的切线.,D,6.如图，AB为O的直径，C为O上一点，CDAB于点DP为AB延长线上一点，PCD=2BAC （1）求证：CP为O的切线；,（1）证明：连接OC，如图1， OA=OC，BAC=ACO，POC=2BAC. PCD=2BAC，POC=2BAC， POC=PCD， CDAB于点D，ODC=90 POC+OCD=90 PCD+OCD=90OCP=90 半径OCCPCP为O的切线,（2）若BP=1，CP= 求O的半径；,（2）解：设O的半径为r 在RtOCP中，OC2+CP2=OP2， BP=1，CP= r2+（ ）2=（r+1）2， 解得r=2 O的半径为2,若M为AC上一动点，求OM+DM的最小值,OCP=ODC=90，COD=POC， COPDOC， ，即 ，CD= ， 如图，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，ED，ED交AC于点M，此时OM+DM的值最小，为ED， AC垂直平分OE， AE=AO， OAC=EAC，,OA=OC， OAC=OCA， EAC=OCA， AEOC， OA=AE=OC=2， 四边形AOCE是菱形， EC=2，ECD=90， 在RtECD中，EC=2，CD= ， E