第2讲 三角恒等变换与解三角形

1、第2讲三角恒等变换与解三角形,高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.,真 题 感 悟,解析由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.,答案B,答案A,3.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5. (1)求cosADB；,在BCD中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC,(1)求B； (2)若ABC为锐角三角形

2、，且c1，求ABC面积的取值范围.,由(1)知AC120，,1.三角函数公式,考 点 整 合,2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理,热点一三角恒等变换及应用,(1)求cos 2的值； (2)求tan()的值.,探究提高1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围

3、，避免产生增解.,答案C,热点二正弦定理与余弦定理 角度1利用正(余)弦定理进行边角计算,解(1)由asin Bbcos A0及正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0， 即sin B(sin Acos A)0， 又B为三角形的内角，知sin B0， 所以sin Acos A0，即sin Acos A.,由余弦定理，得a2b2c22bccos A，,探究提高1.高考的热点是利用正弦定理、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原

4、则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.,(1)求角C； (2)若AD是BC上的中线，延长AD至点E，使得DE2AD2，求E，C两点的距离.,DE2，所以AE3，,角度2正、余弦定理的实际应用,解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.,所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s. 答案22.6,探究提高1.实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. 2.实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条

5、件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.,解析由题意，设ACx米，则BC(x40)米，在ABC内，由余弦定理，得BC2BA2CA22BACAcosBAC， 即(x40)2x210 000100 x，解得x420(米).,答案B,热点三与解三角形相关的交汇问题,因为a2b2c22bccos A， 所以12b2c2bc， 所以b2c2bc122bc，,探究提高1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解. 2.与解三角形有关的交汇问题的关注点 (1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完

6、成边角互化. (2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.,【训练4】 (2019天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C. (1)求cos B的值；,解(1)在ABC中，由已知及正弦定理得bsin Ccsin B. 又3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a. 又bc2a，,1.对于三角函数的求值，需关注：,(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.,2.三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进