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1、第9章 拉普拉斯变换,1 拉普拉斯变换的定义,在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,定义1 设函数 当 有定义,而且积分,是一个复参量s = + j ）,我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ,记做,叫做,的拉氏变换,象函数.,叫做,的拉氏逆变换,象原函数,= ,拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值M和c，使得对于所有t 满足：,则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。,拉氏逆变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏逆变换，它定义为：,(2)单位阶跃函数,(1)指数函数,例1 求以下函数的象函数。, 2 拉普拉斯变换的基本性质,一、线性性质,例

2、1 若：,上述函数的定义域为0， ，求其象函数。,二 、导数性质,1. 导数性质1,例2 应用导数性质求下列函数的象函数：,推广：,2. 导数性质2,三、积分性质,四、延迟与位移性质,1. 延迟性质,2、位移性质,小结：,6 卷积与卷积定理,1,卷积定义,若给定两个函数,则积分,称为函数,的卷积,记为,例1,例2,2.卷积的简单性质：,3拉氏变换的卷积定理,=,=,若,则,例,求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等. 我们简单介绍部分分式法和留数法.,根据拉普拉斯变换的定义,右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦., 3 拉普拉斯逆变换,1利用拉普

3、拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换,一些常用函数的拉氏变换,拉氏逆变换的性质,利用拉氏变换的卷积定理求逆变换,=,=,若,则,练习：,例,例1 已知,求,解,所以,例2 已知,求,解,所以,2 利用部分分式法,在用拉普拉斯变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的象函数是有理分式一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数,例1,解 先将F(s) 分解为部分分式之和,用待定系数法求得,所以,则有,例2 已知,求,解,所以,例3 已知,求,解,所以,2 利用留数定理求拉氏逆变换,定理：设 除在半平面 内有限个孤立奇点 外是解析的，且当 时， ，则有 即,常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法,利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.,4 拉普拉斯变

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