第六章 M onte-Carlo 方法.ppt

1、1、第六章Monte-Carlo方法、第一节Monte-Carlo方法是Monte-Carlo (蒙特卡洛)在摩纳哥著名的赌城的名称，其本意是“随机”、“机会”，因此用Monte-Carlo随机数进行数值模拟Metropolis在第二次世界大战中提倡的以Nouman命名的。 Manhattan修订计划研究与原子弹有关的中子输送过程。 蒙特卡罗方法是现代计算技术的最优成果之一。 尼希尔公司(1915-1999 )、蒙特卡拉o、莫妮卡、约翰云玛(1903-1957 )、2、 Monte-Carlo方法的基本思想是将圆的半径设为r，中心位于xoy平面的(r，r )，与边的长度为2r的正方形内接，如图

2、所示，用M-C方法修正圆面积的基本思想是随机地在正方形的范围内描绘点，然后，总点数n和收纳在圆内的点以圆面积： N=1000000点数为例，判断为r=1、Matlab命令： pi value=4* length (find )，例2:是定积分：校正被积分函数0f(x) 1，实际上，Monte Carlo法众所周知，事件发生的频率决定了事件的概率。 18世纪后半期的法国学者Buffon提出用投针试验的方法确定圆周率的值。 此萩名的Buffon试验是Monte Carlo方法的第一次尝试，Buffon投针，5，Monte-Carlo方法的基本思想，如果有问题可以抽象为特定的数学问题，首先确定某个随

3、机事件a或随机变量x，求出的解为随机事件然后进行模拟。 当解决问题本身具有概率和修正性时，间接仿真可以使用直接仿真方法，例如中子在介质中的传播，该方法根据实际问题的概率修正规则在电子修正计算机上直接进行采样实验。 由于实验次数不可过少，进行大量的模拟有很大的运算量，只有在计算机出现发展后，该方法才能有效使用，因此，Monte-Carlo方法与计算机密切相关。6、3 .蒙特卡罗方法的适用范围非常广，空间维数的多少对蒙特卡罗方法没有太大影响，按照问题的条件限制很小，而且为了用这种方法解决问题而写的程序结构简单，因此该方法在很多领域得到广泛应用既可以解决多积分校正、线性代数方程、线性积分方程、一阶线

4、性积分方程的本征值校正、微分方程的边值校正等典型数学问题，又可以用这种方法解决生物、物理、材料、化学、经济、通信等许多科学复杂问题。 在核物理上的应用，例如核物理方面，在核武器研究、核反应堆设置修订中，必须参与粒子的运输问题。 粒子输送的主要问题有遮蔽问题、原子炉临界问题、输送量问题、原子炉微干涉问题等，可以用Monte-Carlo法处理。 在热力学系统中，Monte-Carlo法可以模拟多体系的粒子相互作用，直接模拟系统的时间演化，得到系统的各相转化情况。7、7、2 .使用数学递归方程生成的随机数被称为伪随机数，因为通过数学递归方法生成的随机数不相互独立，出现周期性循环。 另一方面，随机数与

5、伪随机数、随机数相互独立，具有分布均匀的性质。1 .生成随机数的方法可用物理方法。 也就是说，利用放射性物质引起的放射性等物理现象，在计算机中追加特殊设备使之产生随机数。 这些特殊的设备被称为随机数发生器。 该方法简单、方便，人们往往采用它，但是在使用数学方法时，只要产生伪随机数的递推公式良好，随机数的相互独立性近似可以满足。 另外，选择的递归式尽量延长随机数的循环周期，使这样产生的随机数能够一般使用。 第二节伪随机数的发生，8，2，均匀分布随机数的发生采用通常应该采用的馀佗法(乘同佗法)，或者写出： c，n是规定的常数。 给定x0，可以顺序给出一系列随机数，例如x1和x2。 例如，假设N=4

6、2、c=5、x0=1，则根据(1)式，(1)、x1=5x0(mod42)=51-0425x2=通常，x0、c、n是正整数。 求出之前的10个个数是5、25、41、37、17、1、5、25、41、37。 即，经过6个后开始重复，其周期为6。 用(1)式生成的随机数列的值域是0n1。 发生的随机数除以N-1可以进行正规化。 中的组合图层性质变更选项。 好的随机数列表示： a )足够长的周期b )统一性质：均匀性和独立性，周期与n、c、x0的数值有关。 为了尽可能增大周期，通常选择一个数，通常，N=2m-1，m为校正器中的2进制的字长，例如字长为16位时，N=215=32768。 c选择8M3。 其

7、中m是一个正整数，c保证是奇数，x0通常选择奇数。10、3、任意分布的随机样本随机变量是能够取多个值的变量(通常是在连续区间中取值)，虽然人们不能预言它将取的特定值，但其分布能够被理解。 从随机变量的分布可以得到取某一定值的概率： f(x )被称为x的概率分布密度函数，通常f(x )被标准化。具有分布密度函数f(x )的伪随机变量采样的基本步骤：从整个伪随机数中提取简单的子样本，使得该简单的子样本满足分布密度函数f(x )。 提取在0、1区间均匀分布的伪随机数列，取11、概率p2的值x2。 在此情况下： p2=(1-p1)。 取(0，1 )之间的随机数时，满足：如果不满足：同样，x取x1、x2

8、、x3的概率为p1、p2、p3。 其中：满意：满意：其他情况： x=x3。 一般，当离散型随机变量x以概率pi取值Xi (I=1，2，)，则其分布函数为，1，1，x，x，p，=、x，2的该随机变量的直接采样方法，首先取出均匀地分布在(0，1 )区间的随机数，接着： 这个子样本具有分布函数F(xi )。 例1 :考虑光子和物质的相互作用类型的抽样问题，例如，光子效应、光电效应、光电效应、光子效应、光子效应、光电效应、光电效应、光子效应、光电效应、光电效应、光电效应、光电效应、光电效应、光电效应、光电效应、光电效应、光光子与物质的相互作用有光电效应、康普顿效应、电子对效应3种。 如果三个过程的横截

9、面分别是e、s、p，那么总的横截面可以通过将T=e s p设定为选择均匀分布随机数，如果满足，则为、13、2，连续分布随机数的采样(1)，直接采样法(逆函数法)设定为取连续型随机数的分布密度函数的f ()而求出的变量设为0、1之间的均匀分布的随机数，例2 :指数分布的直接采样。另外，14 .另外，类似地，根据0、1区间的均匀分布，由此不能根据(2)分布密度函数分析积分来确定分布函数，从而不能直接使用采样方法，并且通常可以使用由上面给出的一个转换：15等中的任一个给出的采样值。 复合取样法舍选取取样法，16，Write this as:where Xunif(a，b )，1，一维定积分修正算法的

10、平均值法(期待值推定法Sample Mean Method )， montecarlomethodcanbeusedtocomputeintegralofanydimensiond (d-fold integrals )、蒙特卡洛方法wins、when d 3. 另一方面，定积分修正算法的应用，17，So，wewillestimateibyestimatingeg (x ) with，where X1，X2，xnisarandomsamplefromthe (略)，18，2，趋向平衡状态的修正算法模拟最初被提取的分子必须从a进入b空间，以后每次被提取的分子要么从a进入b空间，要么从b进入a空间。 将n设为第x次分子提取后的b中的