2等差数列及其前n项和.ppt

1、1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.,1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定 义的表达式为 .,同一个常数,an1and(nN*),2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项是a1，公差是d，那么通项公 式为an .,a1(n1)d,思考探究1 已知等差数列an的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？,提示：可以

2、.anam(nm)d.,3.等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是 A .,思考探究2 三数成等差数列时，一般设为ad，a，ad； 四数成等差数列呢？,提示：可设为a3d，ad，ad，a3d.,4.等差数列的前n项和公式,1.已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070， 则其公差d () A.B. C. D.,解析：a10a19d10，S1010a145d70，d .,答案：D,2.已知an为等差数列，a2a812，则a5等于 () A.4 B.5 C.6 D.7,解析：an为等差数列，a2a82a512，则a56.,答案：C,3.设an是等差数列，若a23，a7

3、13，则数列 an前8 项的和为 () A.128 B.80 C.64 D.56,解析：由 解得a11，d2， S88a1 d64.,答案：C,a1+d=3, a1+6d=13,4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之 和为30，则其公差为.,解析：由题意知a1a3a5a7a915， a2a4a6a8a1030， ：5d15，d3.,答案：3,5.数列an中，a115,3an13an2(nN*)，则该数列 中乘积是负值的相邻两项为.,解析：由已知得an1an ，a115， ana1(n1)d15 (n1) ， 显然a230，a240. 该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与a2

4、4.,答案：第23项与第24项,1.证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种： (1)利用等差数列的定义证明，即证明an1and(nN*) (2)利用等差中项证明，即证明an2an2an1(nN*).,2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断： (1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即an AnB，则an是等差数列； (2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形 式(A，B是常数)，则an为等差数列.,特别警示若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.,已知数列an中，a1 ，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN

5、*). (1)求证：数列bn是等差数列； (2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.,思路点拨,课堂笔记(1)证明：an2 (n2，nN*)，bn . n2时， bnbn1 1. 又b1 ， 数列bn是以 为首项，以1为公差的等差数列.,(2)由(1)知，bnn ，则an1 1 ， 设函数f(x)1 ， 易知f(x)在区间(， )和( ，)内为减函数， 当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.,1.等差数列的通项公式ana1(n1)d及前n项和公式Sn na1 d，共涉及五个量a1，an， d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程 的思想解决问题.,2.数列的

6、通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法.,特别警示因为 na1 ，故数列 是等差数列.,(2009江苏高考)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足 ，S77. (1)求数列an的通项公式及前n项和Sn； (2)试求所有的正整数m，使得 为数列an中的项.,思路点拨,课堂笔记(1)设an通项公式ana1(n1)d，d0，则 . 由性质得，3d(a4a3)d(a4a3)， 因为d0，所以a4a30，即2a15d0. 又由S77得7a1 d7. 联立解得a15，d2. 所以an的通项公式为an2n7， 前n项

7、和Snn26n.,(2) . 令2m3t， 6， 因为t是奇数， N，所以t可取的值为1. 当t1，m2时，t 63， 2573是数列an中的项； t1，m1时，t 615， 数列an中的最小项是5不符合. 所以满足条件的正整数m2.,若将“ ，S77”改为“S1030，S2050”，求通项an和S30的值.,解：由题意得,解之得 ana1(n1)d n ， S3030a1 d60.,1.等差数列的单调性： 等差数列公差为d，若d0，则数列递增. 若d0，则数列递减. 若d0，则数列为常数列. 2.等差数列的简单性质： 已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和. (1)若mnpq，则amana

8、paq. 特别：若mn2p，则aman2ap.,(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd. (3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列. (4)S2n1(2n1)an. (5)若n为偶数，则S偶S奇 d. 若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项). (6)数列can，can，panqbn也是等差数列(其中c、 p、q均为常数，an，bn是等差数列).,(2009宁夏、海南高考改编)等差数列an的前n项和为Sn.已知am1am1 0，S2m138，求m的值.,思路点拨,课堂笔记由条件得2amam1am1a，从而有am0或2.又由S2m1 (2m1)38且2ama1

9、a2m1得(2m1)am38，故am0，则有2m119，m10.,若将“am1am1 0，S2m138”改为“S672”，如何求a3a4.,解：数列an为等差数列， S6 3(a1a6)3(a3a4)， a3a4 S6 7224.,高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.,考题印证 (2009安徽高考)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699.又Sn表示an的前

10、n项和，则使得Sn达到最大值的n是 () A.21B.20 C.19 D.18,【解析】an为等差数列， a1a3a5105，a335， a2a4a699a433， da4a333352， an是递减数列. ana3(n3)d35(n3)(2)2n41， an0，2n410，n ， 当n20时，an0，n21时，an0， n20时，Sn最大.,【答案】B,自主体验 已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bn an30，求数列bn的前n项和的最小值.,解：2an1anan2， an为等差数列， 设an的首项为a1，公差为d，bn前n项和为Tn.

11、 由a310，S672，得 an4n2， 则bn an302n31.,由 得 n . nN*，n15. bn前15项为负值，T15最小， 可知b129，d2， T15 225.,1.(2009辽宁高考)an为等差数列，且a72a41，a3 0，则公差d () A.2B. C. D.2,解析：由于a72a4a16d2(a13d)a11，则a11，又由于a3a12d12d0，解得d .,答案：B,2.设Sn是等差数列an的前n项和.已知a23，a611， 则S7等于 () A.13 B.35 C.49 D.63,解析：由等差数列的性质得S7 49.,答案：C,3.已知等差数列an中，|a3|a9|

12、，公差d0，则使 前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是 () A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.8或9,解析：法一：d0，|a3|a9|， a3a90，a15d0，a15d. Snna1 d n2 n (n )2 d. d0，当n5或6时，Sn最大. 法二：d0，|a3|a9|，a30，a90，且a3a90，即2a60，a60， 故数列an的前5项都大于0，从第7项开始各项都小于0.从而前5项或前6项的和最大.,答案：B,4.(2009山东高考)在等差数列an中，a37，a5a26， 则a6.,解析：an是等差数列，设公差为d，3da5a26， 则a6a33d7613.,答案：13,5

13、.已知Sn为等差数列an的前n项和，若a2a476， 则S7S3等于.,解析： 2.,答案：21,6.(文)(2010惠州模拟)等差数列an前n项和为Sn，已知对 任意nN*，点(n，Sn)在二次函数f(x)x2c的图象上. (1)求c，an； (2)若kn ，求数列kn的前n项和Tn.,解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)x2c的图象上， Snn2c a1S11c，a2S2S1(4c)(1c)3， a3S3S25， 又an为等差数列， 6c6，c0， d312，an12(n1)2n1.,(2)kn ， Tn 得 Tn,(理)已知数列an满足an2an12n1(n2)，且a15. (1)若存在一个实数，使得数 列为等差数列， 请求出的值； (2)在(1)的条件下，求出数列an的前n项和Sn.,解：(1)假设存在实数符合题意， 则 必为与n无关的常数， 要使