材料力学经典讲解

1、研究工程材料力学行为和构件安全设计理论的学说称为材料力学。,材料力学研究的问题 （1）在各种外力作用下，杆件的内力和变形，以及外力、内力和变形之间的关系； （2）杆的几何形状和尺寸对强度、刚度和稳定性的影响； （3）常用工程材料的主要力学性质。 在此基础上，建立保证杆件的强度、刚度和稳定性的条件。,3. 为合理解决工程构件设计中安全性与经济性之间的矛盾提供力学方面的依据。 强度条件、刚度条件、欧拉公式 应力状态分析与四种强度理论,1.材料的力学性能；拉伸时与压缩时的力学性能,2. 构件的强度、刚度和稳定性； 强度：拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲 刚度：拉伸、压缩、扭转、弯曲 稳定性：压杆稳

2、定、动载荷、交变应力、疲劳,材料力学研究问题的程序,设计截面,强度或刚度校核,确定许可荷载,应力,强度条件,变形,刚度条件,解超静定问题,内力,外力,载荷与约束反力, ,f f ,危险点处的最大应力材料的许用应力,最大变形位移值允许变形位移值, ,材料力学内容的简单回顾,基本变形问题： 拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲,组合变形问题： 拉（压）-弯、偏心拉伸（压缩）、弯曲-扭转、拉弯扭,压杆稳定问题： 受压直杆的稳定条件,动应力问题： 动荷载、交变应力,内力：轴力、剪切力、扭矩、弯矩,内力是外力引起的抗力，所以应用截面法，根据静力学平衡方程及边界荷载法就可求出内力。回顾我们在研究基本变形问题

3、和组合变形问题时，杆件横截面上的内力，诸如轴力、剪力、扭矩和弯矩等无一不是应用截面法及边界荷载法求得的。,内力是杆件横截面上分布内力系的合力或合力偶矩，因此它们不能确切表达横截面上各点处材料受力的强弱。为了解决杆件的强度计算问题，我们就必须探讨受力杆件横截面上的应力分布规律和应力计算。,组合受力变形,杆件变形的基本形式,轴向拉.压,剪 切,扭 转,弯 曲,受力 变形特点,内力,(截面法),轴力 N,剪力 Q 挤压力 Pjy,扭矩 T,剪力 弯矩,应力,强度条件,变形 刚度条件,轴向拉.压,扭 转,弯 曲,虎克定律,静不定 问题,1、静平衡方程,2、变形协调方程（几何方程),3、物理方程,拉（压

4、）,扭转,弯曲,A：面积,Ip：极惯性矩,Iz：关于中性轴的惯性矩,拉（压）,扭转,弯曲,EA：拉伸刚度,GIp：扭转刚度,EI：弯曲刚度,拉（压）,扭转,弯曲,EA：拉伸刚度,GIp：扭转刚度,EI：弯曲刚度,构件,变形固体,外力,解决问题的思路,衡量构件承载能力的3个方面,材料力学的任务,一般条件下的两个限制,变形固体的三个基本假设,内力,应变,构件的几何模型,变形,杆件变形的4种基本形式,受力特点,变形特点,（等）直杆、曲杆,板（壳）,块体,位移,线位移（点移动的直线距离）,角位移（一线段（面）转过的角度）,角应变（切应变）,线应变,应力,与截面垂直的分量-正应力,与截面相切的分量-切应

5、力,国际制单位,研究内力的方法截面法（截、取、代、平)）,向截面内一点的简化,外力的分类,按作用方式分,按随时间变化情况分,静载荷,动载荷,冲击载荷,交变载荷,表面力,体积力,分布力,集中力, ,分布力,第一章 知识网络图,两大主线：应力分析（讨论强度问题） 变形分析（讨论刚度问题）,四个基本假设: 连续性、均匀性、各向同性、小变形,外力：集中力、体积力、表面力 动载荷（冲击、交变）和静载荷,内力：轴力、剪切力、扭矩、弯矩,力的分类：,应力：正应力、剪应力,变形、位移 应变：线应变、角应变,轴向拉伸（压缩）的定义及特征,材料拉伸（压缩）时的力学性质 （常温、静载）,塑性材料、脆性材料的失效准则

6、,轴力,轴力图,平面假设,圣维南定理,典型低碳钢拉伸时的力学特性 脆性材料铸铁压缩时力学特性 四个阶段 四个极限应力 两个塑性指标 一个弹性模量,塑性流动、脆性断裂,强度极限b、 屈服极限s 的确定,材料失效时的极限应力,塑性流动 s、0.2 脆性断裂 b,许用应力,横截面上的应力计算,第二章 拉伸与压缩知识网络图,强度条件,变形能,静不定问题,三类计算问题： 强度校核、截面设计、确定许可载荷,横向变形,力法解静不定问题的基本步骤,应力集中,剪切和挤压 的实用计算,功能原理求位移的载荷唯一性限制,功能原理,是否静不定问题及静不定次数的判定,静力方程,几何方程,物理方程,温度应力与装配应力,剪切

7、面积的判定,挤压面积的判定,剪切强度校核,挤压强度校核,纵向变形,轴力图 表示轴力沿杆轴变化的图形称为轴力图,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为 轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧.,（1）作法：,B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力；,（2）举例：,A、用截面法求出各段轴力的大小；,C、拉力绘在 轴的上侧，压力绘在 轴的下侧。,解: 求支座反力,求AB段内的轴力,FN1,求BC段内的轴力,20kN,求CD段内的轴力,C,A,B,D,E,求DE段内

8、的轴力,单位：KN,选一个坐标系，用其横坐标 表示横截面的位置，纵坐标 表示相应截面上的轴力。,拉力绘在x轴的上侧， 压力绘在x轴的下侧。,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力）FN4=20kN （拉力）,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力）FN4=20kN （拉力）,发生在BC段内任一横截面上,x,y,画轴力图要求： N图画在受力图下方； 各段对齐，打纵线； 标出特征值、符号、注明力的单位。 注意同一图应采用同一比例。,画轴力图目的： 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； 易于确定最大轴力及其位置。

9、,计算轴力的法则： 任一截面的轴力=（截面一侧载荷的代数值）。,轴力图突变： 在载荷施加处，轴力图要发生突变，突变量等于载荷值。,轴力的符号： 离开该截面为正，指向该截面为负。,根据以上三条可以很方便地画出轴力图。,低碳钢拉伸时的力学性能,p比例极限 e弹性极限 s屈服极限 b强度极限,伸长率,断面收缩率,强度指标(失效应力),脆性材料,韧性金属材料,塑性材料,脆性材料,塑性材料和脆性材料力学性能比较,塑性材料,脆性材料,断裂前有很大塑性变形,断裂前变形很小,抗压能力与抗拉能力相近,抗压能力远大于抗拉能力,延伸率 5%,延伸率 5%,可承受冲击载荷，适合于锻压和冷加工,适合于做基础构件或外壳,

10、材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件的改变而改变,材料的极限应力,塑性材料为屈服极限,脆性材料为强度极限,材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。,所谓正常工作，一是不变形，二是不破坏。,屈服极限,强度极限,A3 钢：,235 MPa,372-392 MPa,35 钢：,314,529,45 钢：,353,598,16Mn：,343,510,几种主要钢材的屈服极限与强度极限,杆件中的应力随着外力的增加而增加，当其达到某 一极限时，材料将会发生破坏，此极限值称为极限应 力或危险应力，以 表示。,？,工程实际中是否允许将极限应力作为工作应力,不允许！,前面讨论杆件轴向拉

11、压时截面的应力是构件的实际应力工作应力。 工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的构件的工作应力是相同的。 对于同样的工作应力，为什麽有的构件破坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。,原因：,# 实际与理想不相符,生产过程、工艺不可能完全符合要求,对外部条件估计不足,数学模型经过简化,某些不可预测的因素,# 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备,# 考虑安全因素,许用应力,引入安全因数 n ，定义,（材料的许用应力）,胡克定律,实验证明：,引入比例常数E,则,（胡克定律）,E表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹 性模量，亦称弹性模量。单位：MPa

12、、GPa.,物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与P和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。,确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：,标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。,安全系数：,（1）极限应力的差异；,（2）构件横截面尺寸的变异；,（3）荷载的变异；,（4）计算简图与实际结构的差异；,（5）考虑强度储备。,一般来讲,因为断裂破坏比屈服破坏更危险,许用应力,剪切强度条件：,名义许用剪应力,剪切与挤压的计算,剪切和挤压与轴向拉伸或压缩无本质联系。剪切和挤压在计算形式上轴向拉伸或压缩相似。,名义许用挤压应力,挤压强度条件：,注意剪切面面积和挤压面有效挤压面积

13、的确定,因此有：,受力特点 变形特征,扭矩的符号规定和扭矩图,圆截面等直杆,扭转的基本概念,已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩,外力偶矩的计算,危险截面,右手螺旋法则 控制面和突变关系,纯剪切,薄壁圆筒扭转时的切应力,切应力互等定理,剪切胡克定律,解释不同的破坏现象,圆扭转时的应力,变形几何关系,物理关系,静力关系,强度条件,第三章 扭转 知识网络图,扭转变形能,抗扭截面系数,刚度条件,强度条件和刚度条件的应用,强度和刚度校核,截面设计,许可载荷的确定,注意两种条件并用,矩形截面杆扭转理论,圆柱形密圈弹簧的应力与变形,弹簧丝截面上的的应力,弹簧的变形,矩形截面杆的扭转,圆扭转时的变形,扭转的受

14、力特点,杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.,扭转的变形特点,杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动 而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。,薄壁圆筒扭转时的切应力：,切应力互等原理：,切应变、剪切胡克定律：,扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩,外力偶矩转向的确定：,主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同， 从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反 。,（1）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反

15、之为负。,（2）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把Me表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。,扭转正、负号的规定：,右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-),采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指 向背离截面时扭矩为正，反之为负.,2、扭矩符号的规定,3、扭矩图,用平行于杆轴线的坐标 x 表示横 截面的位置；用垂直于杆轴线的 坐标 T 表示横截面上的扭矩，正 的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.,mD,A,B,C,D,mA,mB,mC,n,例题1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输入的功率为P1 = 500 kW .

16、若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.,解:计算外力偶矩,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 .假设 T 2为正值.,结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩,由平衡方程,A,B,C,D,mA,mC,mB,同理，在 BC 段内,mD,A,B,C,D,同理，在 BC 段内,在 AD 段内,注意：若假设扭矩为正值，则 扭矩的实际符号与计算符号相同.,mD,mA,mC,mB,作出扭矩图,从图可见，最大扭矩 在 CA段内.,圆轴扭转时的

17、应力,抗扭截面系数,圆轴扭转时的变形,等直杆,切应力互等定理,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,纯剪切单元体：,单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,E 弹

18、性模量 G 切变模量 泊松比,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系:,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式,在圆截面的边缘为最大值R,则最大切应力为：,引入抗扭截面系数,得到：,式中： T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,适用范围:,以上推导时以平面假设为基础,只有对横截面不变的圆轴平面假设才是正确的,因此: 1. 公式只适用于圆截面的等直杆(对沿轴线圆截面变化缓慢的小锥度杆可近似使用). 2. 仅适用于max低于剪切比例极限的情况(胡克定律),截面极惯性矩I

19、p和抗扭截面Wt系数的计算,对于实心圆截面：,对于空心圆截面：,圆轴扭转的强度条件,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,单位长度扭转角 ：,或,刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,以 表示扭转角的变化率,(3.20),扭转强度条件,扭转刚度条件,已知T 、D 和，校核强度,已知T 和， 设计截面,已知D 和，确定许可载荷,已知T 、D 和，校核刚度,已知T 和 ，设计截面,已知D 和 ，确定许可载荷,圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算,第

20、四章 平面图形的几何性质 知识网络图,组合图形静矩的计算,求组合图形的形心,静矩（一次矩）,量纲：L3, 符号：+ - 0,静矩为零，轴过形心，反之亦然,第四章平面图形的几何性质 知识网络图,二次（极）矩,惯性矩,惯性积,极惯性矩,量纲：L4, 恒为正,量纲：L4, + - 0,量纲：L4, 恒为正,惯性半径,一坐标轴为图形对成轴，Iyz=0,圆形截面惯性矩,矩形截面惯性矩,平行移轴公式,转轴公式,主惯性轴（主轴）,主惯性矩式,形心主惯性轴,第四章 知识网络图,形心坐标公式,静矩,组合截面的静矩,组合截面的面积,组合截面的形心坐标,组合图形的静矩、面积和形心坐标,极惯性矩（或截面二次极矩）,惯

21、性矩（或截面二次轴矩）,所以:,（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）,由:,（单位：长度的一次方）,称为图形对 y 轴和 z 轴的惯性半径 惯性半径的量纲是长度,惯性半径,矩形截面对其对称轴 y , z 轴的惯性矩,圆形截面对其对称轴的惯性矩,圆环截面对其对称轴的惯性矩,惯性积,（其值可为正、为负或为零),惯性积的量纲是长度的四次方。,坐标系的两个轴中只要有一个为图形的对称轴，则图形对这一坐标系的惯性积等于零。,平行移轴公式,得到：,由：,转轴公式,y,z,O,y,z,a,y,z,a,1,1,A,B,C,D,E,d,A,y,z,1,1,由：,代入惯

22、性矩公式，得到:,确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法,因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。,1. 将组合图形分解为若干简单图形(子图形），并确定组合图形的形心位置。,确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法,2. 以形心为坐标原点，设Oyz坐标系y、z 轴一般与简单图形的形心主轴平行。,3. 确定简单图形对自形心轴的惯性矩。,矩形截面,圆环截面,圆形截面,角钢截面,槽钢截面,工字钢截面,确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法,4. 利用移轴定理（必要

23、时用转轴定理）确定各个子图形对全截面形心轴（y、z轴)的惯性矩和惯性积。,5. 计算组合图形的形心惯性矩Iy0和Iz0和Iyz0 。 组合图形的形心惯性矩=(子图形惯性矩之和),a、b为自形心轴与全截面形心轴的距离,6. 计算形心惯性积，判断是否是主形心轴。,8. 计算形心主惯性矩,确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法,如果：,即为形心主轴。,如果：,计算：,7. 确定形心主轴位置，即形心主轴与 z 轴的夹角.,第五章 弯曲内力 知识网络图,梁,对称弯曲,支座的简化,剪力和弯矩,静定梁的基本形式,以弯曲变形为主的杆件,载荷的简化,纵向对称面,外力作用在此纵向对称面内,变形后的轴线仍在纵向对称

24、面内,简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座,外伸梁：简支梁一端或梁端伸出支座以外,悬臂梁：一端固定一端自由,内力方程,剪力符号：左上右下为正,弯矩符号：左顺右逆为正,内力符号,内力图,梁上n+1个控制面N组内力方程,注明各控制面的 值，单位及正负号,变形主线,支座的简化,载荷的简化,支座的简化,以弯曲变形为主的杆件,支座的简化,载荷的简化,支座的简化,纵向对称面,外力作用在此纵向对称面内,外力作用在此纵向对称面内,变形后的轴线仍在纵向对称面内,外力作用在此纵向对称面内,简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座,外伸梁：简支梁一端或梁端伸出支座以外,简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座,内力符号,内

25、力符号,剪力符号：左上右下为正,内力符号,内力符号,剪力符号：左上右下为正,弯矩符号：左顺右逆为正,剪力符号：左上右下为正,弯矩符号：左顺右逆为正,剪力符号：左上右下为正,梁,对称弯曲,纵向对称面,外力作用在此纵向对称面内,变形后的轴线仍在纵向对称面内,纵向对称面,外力作用在此纵向对称面内,外力作用在此纵向对称面内,变形后的轴线仍在纵向对称面内,外力作用在此纵向对称面内,剪力和弯矩,内力符号,内力符号,内力符号,载荷集度、剪力和弯矩的关系,利用微分关系或积分关系指导内力图的绘制或检查,刚架和曲杆,剪力符号：左上右下为正,剪力和弯矩,内力方程,剪力符号：左上右下为正,弯矩符号：左顺右逆为正,内力

26、符号,内力图,梁上n+1个控制面N组内力方程,注明各控制面的 值，单位及正负号,在x向右，y向上的右手坐标系内,第五章 弯曲内力 知识网络图,非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。,对称弯曲（平面弯曲）,一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。,A,B,梁变形后的轴线与外力在同一平面内,RA,P1,P2,RB,

27、弯曲及其特征,外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征：杆轴由直线变为曲线.,梁的分类：直梁 曲梁 对称梁 非对 称梁,对称弯曲（平面弯曲）与非对称弯曲： 弯曲变形后的轴线位于对称面内的一条曲线。这种变形称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。,静定梁的基本形式 简支梁 外伸梁 悬臂梁,弯曲内力和弯矩方程,梁的剪力方程,梁的弯矩方程,静定梁的基本形式,静定梁 梁的支座反力可以由静力平衡方程就可确定。 相应于不同的支座形式，静定梁可分为三种形式：简支梁，外伸梁，悬臂梁。,梁载荷的分类,均匀分布载荷,线性（非均匀）分布载荷

28、,集中力偶 T,载荷集度 q(N/m),5. 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。,作剪力图和弯矩图的步骤：,1. 用静力系平衡方程求解支座反力；,2. 建立坐标系（一般以梁的左端为原点）；,3. 分段 在 载荷变化处 分段： 集中力或集中力偶的作用处 分布载荷的起始和终点,4. 列出每一段的剪力方程和弯矩方程；,6. 注意图形的极值点（是否有极值、大小、位置）。,弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,求

29、弯曲内力的法则,任一截面的剪力Q=一侧横向力的代数和,左上右下为正，反之为负,横向力：载荷、约束反力、分布力、集中力,任一截面的弯矩M=一侧外力对截面形心之矩的代数和,左顺右逆为正，反之为负,外力：载荷、约束反力、分布力、集中力、集中力偶,受均布载荷作用的悬臂梁,受集中力作用的悬臂梁,受集中力偶作用的简支梁,受均布载荷作用的简支梁,受集中力作用的简支梁,受集中力偶作用的悬臂梁,载荷集度q、 剪力Q和弯矩M之间的关系,微分关系：,积分关系：,无荷载,集中力,P,C,集中力偶,m,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,在Q=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠

30、C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,利用微分关系直接绘制剪力图与弯矩图的方法, 研究QM图分段情况（集中力、集中力偶、分布载荷起始点），确定控制面。, 根据微分关系研究QM图形态（平直线、斜直线、曲线；增减性；凸凹性）。, 计算QM图段端值，根据突变关系、积分关系，标出各控制面上的剪力和弯矩值。, 根据曲线形态和段端值，画出剪力图与弯矩图。, 计算支座反力（弄清楚全梁的受力情况）。,第六章 弯曲应力 知识网络图,中性层与中性轴,纯弯曲,横截面

31、上仅有 M而无QS,应用条件：纯弯曲；线弹性范围； 等截面直杆。 可有限推广,弯曲时既不伸长也不 缩短的层面为中性层,横力弯曲,横截面上既有 M又有QS,中性层与横截面 的交线为中性轴,弯曲正应力,弯曲切应力,弯曲切应力,强度条件,正应力强度条件,切应力强度条件,塑性材料：1个危险面，2个危险点,脆性材料：2个危险面，2个危险点,提高弯曲强度的措施,合理安排梁的受力， 使Mmax 合理安排支承，使Mmax 选择合理截面，使Wz/A,比较与分析：,拉伸与压缩：,剪切：,挤压：,扭转：,弯曲：,解决三类强度问题的计算步骤,设计资料,结构计算简图（载荷、支座）,材 料 （材料的力学性质）,强度条件,

32、外 力 （支座反力计算）,内 力 Q(x)、 M(x),内 力 Q图、 M图,截面图形几何性质计算 静矩、形心 形心主惯性轴 形心主惯性矩 抗弯截面系数,正应力计算 剪应力计算,强度校核,截面设计,确定容许荷载,截 面 （形状和尺寸）,解决三类强度问题的计算步骤,设计资料,结构计算简图（载荷、支座）,材 料 （材料的力学性质）,强度条件,外 力 （支座反力计算）,内 力 Q(x)、 M(x),内 力 Q图、 M图,截面图形几何性质计算 静矩、形心 形心主惯性轴 形心主惯性矩 抗弯截面系数,正应力计算 剪应力计算,强度校核,截面设计,确定容许荷载,截 面 （形状和尺寸）,纯弯曲 梁上只有弯矩，没

33、有剪力,横力弯曲 梁上，既有弯矩，又有剪力,横截面上弯曲正应力,截面的抗弯截面系数，反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。,W是一个与截面的几何形状有关的量，量纲是长度的三次方。不同截面，抗弯截面系数不相同。,对于矩形：,弯曲问题的几何量,常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：,（1）当 中性轴为对称轴时:,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,弯曲正应力强度条件：,拉压强度相等材料：,拉压强度不等材料：,强度条件的作用：,强度校核 截面设计 确定梁的许可荷载,弯曲切应力,横截面上弯曲切应力,矩形梁:,圆形截面梁:,薄壁圆环形截面梁:,弯曲切应力强度条件,工字梁：,工字形梁截面上的切应力分布

34、,腹板为矩形截面时,P104例4.2:,(抛物线）,工字形梁腹板上的切应力分布,讨 论 1、沿腹板高度方向抛物线分布 2、y=0时，切应力值最大 3、 y=h/2时腹板上下边处切应力最小,工字形梁腹板上的切应力分布,讨 论 4、当B=10b, H=20b, t=2b时 max /min=1.18, 大致均匀 分布 5、腹板上能承担多少剪力？ 积分 得 总剪力的9597,近似计算公式：,二、需用弯曲剪应力强度条件进行强度校核的梁的类型：,一般情况下，细长梁的强度控制因素，通常是弯曲正应力，根据正应力强度条件确定的梁截面，一般都能满足剪应力的强度条件，无需再进行剪应力的强度计算，只有在下述一些情况

35、下，要注意梁的剪应力校核： 1、梁的跨度短，或者在支座附近作用着较大的载荷，在这种情况下，梁的弯矩较小，而剪力都可能很大。 2、铆接或焊接的工字形截面钢梁，腹板截面的厚度一般较薄而高度却颇大，厚度与高度之比往往小于型钢的相应比值，这时需对腹板的剪应力进行校核。 3、对由几部分经焊接，胶合或铆接而成的梁，对焊缝，胶合面或铆钉等一般也要进行剪切强度校核。,强度条件的比较与分析：,拉伸与压缩：,剪切：,挤压：,扭转：,弯曲：,提高弯曲强度的一些措施,从上式可看出：要提高梁的承载承力，应从几两方面考虑： 1. 合理安排梁的受力 2. 合理布置支座 3. 合理的布置载荷 4. 合理设计截面 5. 合理放

36、置截面,第七章 弯曲变形 知识网络图,弯曲变形和位移,挠曲线的近似微分方程,积分法求转角方程和挠度方程,用位移条件及光滑连续条件确定 C、D,变形的表示,变形时的挠度和转角,挠曲线方程 y= f(x),挠度 ：向上为正 转角：逆时针向转动方向为正,小变形 线弹性,第七章 弯曲变形 知识结构框图,叠加法求转角和挠度,刚度条件,弯曲变形能,提高弯曲刚度的措施,在小变形线弹性范围可用叠加原理求变形,简单静不定梁,变形比较法,调整载荷或支座使Mmax下降,选择合理界面使同面积下l 增加,挠曲线：,在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy平面内的一条曲线。这条连续、光滑的曲线称为梁的挠曲线。(弹性曲线

37、）,平面假设：梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后仍 垂直于挠曲线。,挠度：,梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x轴)方向上所产生的线位移，称为梁在截面的挠度。,一般情况下，不同横截面的挠度值不同。,横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变的规律可用挠曲线方程表示。,符号：挠度向下为正， 挠度向上为负。 单位：mm,转角：,横截面绕中性轴所转过的角度称为梁的截面转角。,：曲线ACB在C1点的切线与X轴间的夹角。,符号： 转角从X轴逆时针转至切线方向为正， 顺时针转至切线方向为负。 单位：弧度,截面挠度与转角的关系,挠曲线上任意点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。,连续性条件：在挠曲线的任意点，

38、有唯一确定的挠度和转角。,用积分法求弯曲变形,积分常数C、D可利用连续性条件和位移边界条件确定。,利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数,优点使用范围广，精确； 缺点计算较繁,积分法求梁变形的基本步骤：,写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出要分 段写出,由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数,用叠加法求弯曲变形,当梁同时受几个载荷作用而使梁产生的变形，就等于每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和。,载荷叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个载荷，利用单个载荷作用下梁的挠度和转角的结果进行叠加，就可求得梁在多个载荷作用下的总变形。,弯曲刚度条

39、件,刚度条件,提高弯曲刚度的措施,1、减小梁的跨度,2、选择合理截面形状,3、改善梁的受力和支座位置,4、预加反弯度,5、增加支座,应力状态,强度理论,一点应力状态,单元体,主平面切应力为零的平面,任意一对平行平面上的应力相等,每个面上应力均匀分布,主应力主平面上的正应力,应力状态分类,单向应力状态,1个主应力不为零,复杂应力状态,二向应力状态,三向应力状态,2个主应力不为零,3个主应力不为零,第八章 应力状态与强度理论 知识网络图,第八章,解析法,点面关系（对应）,应力应变关系,转向关系（一致）,夹角关系（二倍）,图解法,应力状态分析,应力状态,应力圆,几个重要结论,是周期函数，周期是。,1

40、、,2、,法向应力之和 保持一个常数,3、,4、,5、,最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,应力的面的概念,应力状态的分类,1、空间应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零,2、平面应力状态(二向应力状态) 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零,3、单向应力状态 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零,受力物体内的单元体界面应力,命名方法,标量（温度）矢量（速度）张量（应力状态）,一维,三维,九维,(1)

41、由x轴转到斜截面外法线n，逆时针转向时则为正,（2) 正应力仍规定拉应力为正,（3) 切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正,重申符号的确定,任意斜截面上的应力,最大正应力(主应力),(1)当x y 时 ， 0 是x与max之间的夹角,(2)当xy 时 ， 0 是x与min之间的夹角,(3)当x=y 时 ，0 =45，主应力的方向可由单元体上 切应力情况直观判断出来,则确定主应力方向的具体规则如下：,若约定 | 0 | 45即0 取值在45范围内,主应力的方向判定,最大切应力,将 1和 1+90代入公式,得到 max和min,最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45,比较,和,可见

42、,(1) 建 - 坐标系 ,选定比例尺,二、图解法,1、步骤,o,(2) 量取,OA= x,AD = xy,得 D 点,OB= y,(3) 量取,BD= yx,得 D点,(4) 连接 DD两点的直线与 轴相交于 C 点,(5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,三、应力圆的应用,1、求单元体上任一 截面上的应力,圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 。,从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向 转动 2 得到半径 CE.,2、求主应力数值和主平面位置,(1)主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2,（2）主平

43、面方位,由 CD顺时针转 20 到CA1,所以单元体上从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到 1对应的主平面的外法线,0 确定后，1 对应的主平面方位即确定,3、求最大切应力,G1 和 G 两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力,因为最大最小切应力 等于应力圆的半径,几个重要结论,是周期函数，周期是。,1、,2、,法向应力之和保持一个常数,3、,4、,5、,最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45,三向应力状态,二向应力状态是三向应力状态的特殊情况,三向应力状态的广义胡克定律,主应力和主应变的方向重合。1 2 3,第八章,共同的力学原因,脆性断裂,复杂应力状态下弹性失效形式,强度理论,

44、强度理论的基本思想,第一强度理论,第二强度理论,塑性断裂,第三强度理论,第四强度理论,人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,强度理论,基本观点,构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何 复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则 可能是某一个共同因素所引起的.,根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行 分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单

45、 向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。,强度理论的概念,引起破坏 的某一共同 因素,形状改变 比能,最大切应力,最大线应变,最大正应力,根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.,最大拉应力理论（第一强度理论）,基本假说：最大拉应力 1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件： 1 = b,强度条件:,1 ,最大伸长线应变理论（第二强度理论),根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.,基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件

46、,最大伸长线应变,强度条件,最大切应力理论 (第三强度理论),基本假说: 最大切应力 max 是引起材料屈服的因素.,根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会 沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.,屈服条件,在复杂应力状态下一点处的最大切应力为,强度条件,（单向拉伸时出现屈服）,形状改变比能理论（第四强度理论）,基本假说：形状改变比能 uf是引起材料屈服的因素.,单向拉伸下，1= s， 2= 3=0，材料的极限值,强度条件,屈服准则,相当应力,把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r 称为复杂应力状态的相当应力.,(2) 塑性材料选用第三或第四强度理论；,(3) 在二向和三向

47、等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生 脆性破坏，故选用第一或第二强度理论；,各种强度理论的适用范围及其应用,(1) 一般脆性材料选用第一或第二强度理论；,(4) 在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论.,第九章 组合变形 知识网络图,组合变形,拉压弯组合, 载荷分解, 基本变形内力分析，危险截面, 对危险截面危险点的应力进行强度分析, 基本变形应力叠加，危险点,危险点为单向应力状态,强度条件,叠加原理,弯扭组合,失效一般为塑性屈服,危险点为二向应力状态,第九章 组合变形,弯扭组合,失效一般为塑性屈服,危险点为二向应力状态,拉弯扭组合,危险点

48、为二向应力状态,由上表可以看出： （1）在小变形的条件下，组合变形是几种基本变形的某种组合。在单向应力状态下，应力可以直接叠加，仅在二向应力状态下，才需要应用强度理论计算相当应力。 （2）相当应力是危险点处三个主应力的某种组合，相当于单向拉伸时危险点处的最大工作应力。所以组合变形的强度条件是: 受力构件中危险点处的相当应力许用应力,1、外力分析 将外力简化并沿主惯性轴分解，将组合变形分解为基本变形,使之每个力(或力偶)对应一种基本变形,3、应力分析 画出危险截面的应力分布图，利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加, 建立危险点的强度条件,处理组合变形的基本方法,2、内力分析 求每个外力分

49、量对应的内力方程和内力图，确定危险截截面。分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形,叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。,拉伸(或压缩)与弯曲的组合,任一点的正应力：,强度条件：,第三强度理论,第四强度理论,对圆轴截面：,第三强度理论,第四强度理论,对非圆轴截面,圆轴弯扭组合,拉伸（压缩）与扭转的组合,拉伸（压缩）、弯曲与扭转的组合,第十章 压杆稳定 知识网络图,压杆稳定,长度因数,压杆保持原有的平衡状态的能力,使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力,两端铰支 =1,临界压力Per,柔度（长细比）,临界压力,一端固定 一端铰支 =0.7,两端固定 =0.5,一端固定

50、一端自由 =2,大柔度杆1,中柔度杆2 1,小柔度杆2 ,压杆稳定计算,两端铰支,一端固定,另一端铰支,两端固定,一端固定,另一端自由, = 1, = 0.7, = 0.5, = 2, 为压杆的长度系数,压杆稳定的概念：稳定平衡 不稳定平衡 临界压力 Pcr,对于沿各个方向杆端约束相同的情况，I取最小值,稳定计算的中心问题是确定临界压力.,压杆的分类,压杆的分类,1）大柔度杆,2）中柔度杆,3）小柔度杆,塑性材料,脆性材料,临界应力总图,小柔度,中柔度,大柔度,按强度问题计算,按欧拉公式计算,按经验公式计算,抛物线公式,1. 稳定性条件,2.计算步骤,压杆的稳定校核,(1) 计算最大的柔度系数max,(2) 根据max 选择公式计算临界应力,根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷,减小压杆长度 l,减小长度系数（增强约束）,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）,增大弹性模量 E（合理选择材料）,提高压杆稳定性的措施,欧拉公