2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.2 平面向量基本定理及坐标表示学案 文

1、42平面向量基本定理及坐标表示知识梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|，|ab|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.诊断自测1概念思辨(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(

2、2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A4P119T11)已知|1，|，点C在线段AB上，AOC30.设mn(m，nR)，则等于()A. B3 C. D.答案B解析依题意，以O为原点，OA、OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0，)，设C(x，y)，由mn得xm，yn，又AOC30，知，故3，选B.(2)(必

3、修A4P101A组T5)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则_.答案解析解法一：由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb与a2b共线，即n2m12m8n，.解法二：注意到向量a(2,3)，b(1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而manb与a2b共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有.3小题热身(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A. B. C1 D2答案B解析ab(1，2)，由(ab)c，得(1)4320，.故选B.(2)(2014福建高

4、考)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析设ak1e1k2e2，A选项，(3,2)(k2,2k2)，无解B选项，(3,2)(k15k2,2k12k2)，解之得故B中的e1，e2可把a表示出来同理，C，D选项同A选项，无解故选B.题型1平面向量基本定理及应用(2015北京高考)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.运用向量的线性运算对待求向量不断进行转化，直到用基底表示答案解析由2知M为AC上靠近C的三等分点，由，知N为BC的中

5、点，作出草图如下：则有()，所以MAA()，又因为xy，所以x，y.方法技巧应用平面向量基本定理的关键点1平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量2选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来3强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等如典例冲关针对训练设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析()，12，1，2，故12.题型2平面向量共线的坐标表示及应用角度1求点的坐标已知A(2,3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|A

6、P|BP|，则点P的坐标为_方程组法答案(8，15)解析设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，且，得(x2，y3)(x4，y3)，即解得所以点P的坐标为(8，15)角度2研究点共线问题(2018佛山质检)设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A2 B4 C6 D8用到均值不等式、向量问题实数化答案D解析由题意可得，(1，2)，(a，1)，(b,0)，所以(a1,1)，(b1，2)又A，B，C三点共线，即(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)4448，当且仅当时，取“”故选D.方法技巧1利用两向量共线求点的

7、坐标利用向量共线的坐标表示构造所求点的坐标的方程组，解方程组即可注意方程思想的应用如角度1典例2研究点(向量)共线问题两平面向量共线的充要条件有两种形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10.如角度2典例(2)若ab(b0)，则ab.冲关针对训练1(2017许昌二模)已知ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1,0)，C(0，2)，O为坐标原点，动点M满足|1，则|的最大值是()A.1 B.1 C.1 D.1答案A解析设点M的坐标是(x，y)，C(0，2)，且|1，1，则x2(y2)21，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，A(0,1)，B(

8、1,0)，(x1，y1)，则|，几何意义表示：点M(x，y)与点N(1，1)之间的距离，即圆C上的点与点N(1，1)的距离，点N(1，1)在圆C外部，|的最大值是|NC|111.故选A.2(2018湖北武昌调考)已知点P(1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，1)若向量与向量a(，1)共线，则_.答案解析点P(1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，1)，向量22(11，12)(4，6)又与向量a(，1)共线，4160，即.1(2016全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6 C6 D8答案D解析由题可得ab(4，m2)，又(ab)b，432(m2)0，m

9、8.故选D.2(2018福州一中模拟)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5答案B解析由0，知点M为ABC的重心，设点D为边BC的中点，则()()，所以3，故m3.故选B.3(2017福建四地六校联考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且()，则|等于_答案2解析由()()，知点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以(2,2)，故|2.4(2017湘中名校联考)已知在ABC中，ABAC6，BAC120，D是BC边上靠近点B的四等分点，F是AC边的中点，若点G是ABC的重心，则_.答案解析连接AD，AG，如图依题意，有()，()

10、，故26662.基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向答案D解析cd，(kab)(ab)，存在使kab(ab)，cab，c与d反向故选D.2(2018襄樊一模)已知(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 Bk Ck1 Dk1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量与共线因为(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)所以1(k1)2k0，解得k1.故选C.3(201

11、8怀化一模)设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案D解析设d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)故选D.4(2017河南高三质检)在ABC中，BAC60，AB5，AC4，D是AB上一点，且5，则|等于()A6 B4 C2 D1答案C解析设，()25，可得2515，|2.故选C.5在

12、平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量a，b，其中a(3,1)，b(1,3)若ab，且01，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()答案A解析由题意知(3，3)，取特殊值，0，0，知所求区域包含原点，取0，1，知所求区域包含(1,3)选A.6(2017茂名二模)已知向量a(3，2)，b(x，y1)且ab，若x，y均为正数，则的最小值是()A24 B8 C. D.答案B解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，又x，y0，(2x3y)8，当且仅当2x3y时，等号成立的最小值是8.故选B.7(2017济南二模)如图所示，两个非共线向量、的夹角为，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C

13、在直线MN上，且xy(x，yR)，则x2y2的最小值为()A. B. C. D.答案A解析因为点C，M，N共线，则，1，由xy，x，y(1)，x2y22(1)22，设g()2，由二次函数的性质可知：当时，g()取最小值，最小值为g，所以x2y2的最小值为.故选A.8(2017河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22()A. B. C1 D.答案A解析()，所以，故22.故选A.9(2018安徽十校联考)已知A，B，C三点不共线，且2，则()A. B. C6 D.答案C解析如图，取，2，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，此时2.由图

14、可知SABD3SAMD，SACDSAND，而SAMDSAND，6.故选C.10如图所示，在四边形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135，记向量a，b，则()A.abBabCabD.ab答案B解析根据题意可得ABC为等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DEy轴于点E，则CDE也为等腰直角三角形由CD1，得CEED，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D，(1,0)，(1,1)，.令，则有得ab.故选B.二、填空题11在梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)

15、，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为_答案60解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理，得b2a2c2ab.由余弦定理，得cosC.又0C180，C60.13(2017太原三模)在ABC中，AB3，AC2，BAC60，点P是ABC内一点(含边界)，若，则|的最大值为

16、_答案解析以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，AB3，AC2，BAC60，A(0,0)，B(3,0)，C(1，)，设点P为(x，y)，0x3，0y，(x，y)(3,0)(1，)(2，)，y(x2)，直线BC的方程为y(x3)，联立，解得此时|最大，|.14(2018江西南昌一模)已知三角形ABC中，ABAC，BC4，BAC120，3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是_答案解析因为ABAC，BC4，BAC120，所以ABC30，AB.因为3，所以.设t，则0t1，所以t，又，所以(t)2tt2t4cos1504cos150t424t，因为0t1，所以4t，即的取值范围是.三、解答题15给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设AOC，则C(cos，sin)，由xy，得所以xcossin，ysin，所以xycossin2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.16(2018湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1，0