第4章-统计物理学基础-6h

1、第四章 统计物理学基础 第五章 热力学基础,第二篇,热物理学, 理想气体的温度、压强 、内能, 能量均分定理, 概率、概率分布函数、分布率, 平均碰撞频率、平均自由程, 玻尔兹曼能量分布律,本章基本要求,第四章 统计物理学基础, 物质的微观模型、描述系统的状态参量, 麦克斯韦速率分布律,热力学系统： 大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。,外界：热力学系统以外的物体。,一、物质的微观模型,微观粒子体系的基本特征:,(1)分子(或原子)非常小,(4)分子或原子都以不同的速率不停地运动(是杂乱无章的),(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大,(3)分子之间存在相互作用力-分子力,4-1、

2、统计物理的基本概念,宏观量 从整体上描述系统特征和状态的物理量,一般可以直接测量。 如 压强 p、体积 V、温度 T（状态参量）等。,二、系统状态的描述,微观量 描述系统内微观粒子特征和状态物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。,微观量与宏观量有一定的内在联系. 就要找出这种联系？ 例如，气体的压强（宏观量）是大量分子撞击器壁的平均效果, 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。,平衡态(equilibrium state): 在无外界影响的条件下， 系统所有可观测的宏观性质不随时间改变的状态。,非平衡态:不具备两个平衡条件之一的系统.,设一容器，用隔板将其隔开, 当隔板右移时，分子向

3、右边扩散,在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移.,平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换， (2) 系统的宏观性质不随时间改变。,终了 (平衡态),扩散 (非平衡态),（1）平衡态是一种热动平衡,处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变,（2）平衡态是一种理想概念,两点说明：,是在一定条件下对实际情况的抽象和近似，系统所受外界影响可以略去，宏观性质只有很小变化时，可近似看作是平衡态。,当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：,状态方程,物态方程 (状态方程),当质量M不

4、变时，有,理想气体:分子本身的体积/重力和分子间的作用力 都可以忽略不计的气体,例1 氧气瓶的压强降到106Pa时应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。,解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为,使用时的温度为T,分别对它们列出状态方程，有:,设可供 x 天使用，则有：,例2 、一自行车轮胎，在温度为00C时打入空气，直到胎内压强1.5atm. (1)由于摩擦与日晒，车胎温度升高到300C，问此时轮胎内压强为多少？

5、(2)在骑车过程中，胎被刺破一小洞而漏气，问当自行车停下胎的温度又降至00C时，胎内漏掉的气体是原有气体的百分之几？,解: (1)设自行车轮胎体积为V0,压强P0=1.5atm, T0=273K, T=303K.,胎被刺破前，胎内空气的质量一定，故可由,(2) 车胎漏气，由于车胎内气体压强最终要与大气压相等，即P1=1.0atm, T1=T0=273K.,设此时胎内空气质量为M ,漏气前质量为M, 为空气摩尔质量,设漏掉空气与原有空气的百分比为x，则,结论：,而当质量改变时，就只能用,当质量不变时，有,例3：,分子量 两气体，容积 ，摩尔数 管道相连打开阀门，求混合气体压强和平均分子量。,解：

6、,例题4：车胎打气，每次仅进空气 ，在318K时，胎与地面接触面积 ，问需打气几次？（车轮负荷50.0kg，内胎容积 ，空气温度270K，气压 ，胎原无气，外胎柔软）,每次打入空气质量？最后胎内总气体质量？相除得打气次数。,解：,负荷50.0kg,胎与地接触面积,318K,充气后要达到的体积、温度、压强：,每次打进空气状态：,每次打入空气质量,打气n次，胎内气体总质量,代入数值：,例5：,容器中氧气，M=0.1kg,P=10atm,t=470C。漏气，过一段时间，压强降为原来的5/8，温度降至270C，求漏气多少？,解：,270C,470C,0.1kg,三、分子热运动的无序性和统计规律性,什么

7、是统计规律性(statistical regularity),大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。,单个分子运动情况具有很大的偶然性。,大量分子的集体表现存在一定规律性。,每一面朝上的概率都是1/6, 扔骰（tu）子,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,( 偶然 ),隔板,铁钉,伽尔顿板实验,大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律,再投入小球：,经一段时间后 , 大量小球落入狭槽。,分布情况：,中间多，两边少。,重复几次 ，结果相似。,单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。,小球数按空间 位置 分布曲线, 统计规律的特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义 （2）它是不同于个体规

8、律的整体规律 （3）总是伴随着涨落,“涨落”现象,-测量值与统计平均值之间的偏离,( 涨落现象是统计规律的重要特征，涨落是偶然的、 杂乱无章的、随机的),对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用统计的 方法求得： (1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏观量的微观本质； (2)平衡态下微观量的统计分布。如：分子速度、能量的分布等,统计物理学的任务:,(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.,（几率归一化条件）,概率的性质:,(1) 概率取值域为,四、 统计的基本概念,1.概率（Probability）,如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。,

9、2. 概率分布函数:(X),随机变量:,在一定条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。,1).离散型随机变量,( 取值有限、分立),(3)互斥事件的概率等于分事件概率之和,(4)相容事件的概率等于分事件概率之积,表示方式,概率:,例:抽到扑克牌梅花5的概率是1/4*1/13=1/52（同时出现）,概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。,概率密度(X)又称为概率分布函数（简称分布函数）,-随机变量x的概率密度(x),2). 连续型随机变量,( 取值无限、连续, 如分子速率、能量),随机变量 x 取值在xx+dx 间隔内的概率为dP(x),就称为概率密度,3.统计平均值（无限次测量）,

10、对于离散 型随机变量,算术平均值,统计平均值,随机变量的统计平均值 等于一切可能状态的取值i与其相应概率Pi的乘积的总和。,对于连续型随机变量X,试比较:,（有限次测量时）,（无限次测量时）,4-2 理想气体的压强公式、 温度公式和内能,一、理想气体的微观模型和统计假设,1 . 理想气体微观模型,2.统计假设, 分子数密度处处相等；, 分子沿各个方向运动的几率均等。,亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。,一定量的处于平衡态的某种理想气体。设其容器的容积为V,总分子数为N, 每个分子的质量均为m。,平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。,二理想气体的压强公式,i分子动量增

11、量,i分子对器壁的冲量,i分子相继与A1面碰撞的时间间隔:,单位时间内 i 分子对A1面的冲量:,即，i 分子对A1面的平均冲力:,考虑一个分子i，以速度 奔向一面元A1，与面元碰撞后返回,单位时间内i分子对A1面的碰撞次数:,所有分子对A1面的平均作用力,压强,又因为在平衡态下：,分子的平均平动动能,理想气体的压强公式,(3) 质量为M 理想气体贮存于某容器中，温度为T，根据理想气体微观模型和 统计假设,求分子速度在o-xyz坐标中沿各个方向速度的统计平均值为多少？,思考: (1)在推导理想气体的压强公式中，没有考虑气体分子间的 相互碰撞，如果考虑这一因素，对所得的结果有无影响？,(对宏观系

12、统没有影响。全同粒子),（2）能不能用实验直接验证理想气体的压强公式 ，如果不能，这是因为什 么原因？,答：不能，公式右边分子的平均平动动能（微观量）是无法用实验观测的。,答：在推导理想气体压强公式时，如果考虑分子之间的相互碰撞，对压强公式的最后结果不会有影响。就大量分子的统计效果来讲，当速度为 的分子因碰撞而速度发生改变时，必然有其他的分子因碰撞而具有 的速度（力学中的速度传递），同时，根据假设，分子本身的大小可以忽略，所以其他被碰的分子到器壁的距离也与速度为 的分子在不发生碰撞的情形下到器壁的距离完全一样。,此式给出了宏观量与微观量的统计平均值间的关系,揭示了温度的微观本质.,三、分子的平

13、均平动动能与温度的关系,例3,在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩 气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积 减少一半，试问这时气体分子的平均平动动能变化多少？,解：,1、自由度 i（Degree of freedom）,确定一个物体的空间位置 所需要的最少独立坐标数目。,四、能量按自由度均分定理,如: 火车:在一线上运动,其自由度为1,飞机：在空间飞行 自由度为3,（经度、纬度、高度）,（经度、纬度）,轮船：在一曲面上运动,自由度为2,以刚性分子为例,平动自由度t=3,translationalmotion,2、能量均分定理,刚性分子的自由度数小结,气体分子沿x,y

14、, z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。,平衡态下，不论何种运动，对应于每一个可能自由度的平均动能都是,能量按自由度均分定理,如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为,如果某种气体的分子有个 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度.则分子具有：,注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的动能外， 还有一份等量的势能。,结论：分子的平均总能量,如温度不太高,不计气体分子振动，则分子的平均动能为,五、理想气体的内能,分子间相互作用可以忽略不计,理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和（内能区别于机械能，内能永远不

15、会为零）,1mol理想气体的内能为：,一定质量（M)理想气体的内能为：,理想气体内能完全取决于温度,温度改变，内能改变量为：,例4. 质量为1kg的氧气，其温度由300K升高到350K。若温度升高是在下列3种不同情况下发生的： (1)体积不变，(2)压强不变， (3)绝热。问该理想气体内能改 变各为多少？,解：,理想气体内能仅与温度有关，与压强和体积无关 因为这三种过程温度变化都相同，所以内能变化相同。,例5：就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成(它们的分子量分别为28、32、40)。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。

16、,解： 在1摩尔空气中，有,摩尔数,O2质量,摩尔数,N2质量,Ar质量,摩尔数,1mol 空气在标准状态下 ( T=273K ) 的内能:,平衡态下，理想气体系统中以分子速度为随机变量的气体分子速度分布函数，叫麦克斯韦速度分布律。 若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。,温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率分布规律。早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。,一、分子速率分布的实验测定,4-3麦克斯韦分子速率分布律,速率筛转动，不同速率的分子将投射并粘附在淀积屏上。,测定分子速率分布的实验,所以，两转盘就叫速率筛。,下面列出了Hg分

17、子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。,速率分布曲线,归一化条件,-速率分布函数（即前面的几率密度 或概率分布函数）,-速率分布律，即概率（单位速率区 间内的分子数比率）,( n为分子数密度),说明下列各量的物理意义：,？,思考题,单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。,分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。,分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数 占总分子数的比率。,分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。,分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。,分布在 0 速率区间内的分子数

18、占总分子数的比率。（ 归一化条件）,速率v2 的平均值。,1859年时，麦克斯韦由概率论就导出了理想气体分子在平衡态下速度分布函数的表达式：,T-温度 m-气体分子质量 k-玻尔兹曼常数,二、麦克斯韦分布律及三种统计速率,在速度空间里，分子的速度分量限制 在 内的分子都在一定的 体积元： 内,其内 的分子数占总分子数的百分比为:,速度空间,1)麦克斯韦速度分布律（概率）,以速度 的三个分量 为轴的直角坐标系所确定的空间,麦克斯韦速度分布律,2）麦克斯韦速率分布函数,令,则,-叫麦克斯韦速率分布函数,-麦克斯韦速率分布律, 最可几速率 (又叫最概然速率):,极值条件, 平均速率,3）、理想气体分

19、子的三种统计速率（平衡态下由麦克斯韦速率分布函数求解）,则,对于连续分布, 方均根速率,三种统计速率比较：方均根速率最大，最可几速率最小。,注意：,成反比。其大小关系为,2.这三种速率，就不同的问题有着各自的应用。 讨论粒子分布情况时就要用到最概然速率； 计算分子的平均距离时就要用平均速率； 计算分子的平均平动动能时就要用方均根速率。, 同种气体，分子速率与温度关系：,麦克斯韦分布曲线的性质,同种气体，温度越高，最概然速率越大,温度相同，分子速率与质量关系：,温度相同，质量越大，最概然速率越小,例1,解： (1)气体分子的分布曲线如图,由归一化条件,平均速率,方均速率,方均根速率为,(2),(

20、3)速率介于0v0/3之间的分子数,(4)速率介于0v0/3之间的气体分子平均速率为,?,注意,速率介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算,例2： 有N个粒子，其速率分布函数如图:,(1)求速率分布函数 (2)由N，V0求常数 a (3)求Vp (4)求这N个粒子的平均速率 (5)求速率介于0V0/2之间的粒子数 (6)求V0/2V 0区间粒子的平均速率 (7)求 0 V0 区间粒子的平均速率,解：,（1）,(2),(3),(7),(6),例3.某理想气体处于平衡态，温度为T=273K时, 压强为p=1.010-2atm密度为 = 1.2410-2kg/m3,该气体分子的方 均根速率为多少

21、？,代入上式，得：,解,一、 玻尔兹曼分布（奥地利物理学家）,若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中,气体分子分布规律如何？,如气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek,在麦克斯韦速度分布律中，,因子,理想气体分子仅有动能,麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布,4-4玻尔兹曼分布,玻尔兹曼将麦氏分布推广为：,在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与 成正比。,经典粒子按能量的分布函数为,麦克斯韦玻尔兹曼分布,（M-B分布）,C :由粒子和外场的性质确定的常数,玻尔兹曼分布律描述的是气体分子（或微观粒子）以能量为随机变量的分布规律。,即 粒

22、子的运动状态描述采用“相空间”。,坐标和速度组成,相体积元 dw=dvxdvydvzdxdydz,相体积元内粒子数为：,(玻尔兹曼分布律),外力场中，粒子分布不仅按速率区间vv+dv分布，还应按位置区间xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布,实验证明，玻尔兹曼分布律是经典统计的普遍规律，适用于任何经典粒子系统（气、液、固中的分子或原子及布朗粒子等）,_位置区间内的粒子数。,+,对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：,单位体积内的分子数-分子数密度,势能等于 零处的分 子数密度,得到：,玻尔兹曼分布律描述了气体分子（或微观粒子）数密度按势能的分布规律,把上式中的定积分与常数C的乘积用常

23、数 表示,粒子数按势能分布,若将上式对位置坐标积分也可得到麦克斯韦速率分布率。,按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值E1 ,E2 ,Ei ,EN,处于Ei状态的粒子数,粒子数分布服从玻尔兹曼分布:,对于两个任意能级,在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。,氢原子基态能级E1= -13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，那么，在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比应该是多少？,例如：,解：,所以，在室温下氢原子几乎都处于基态。,二、重力场中粒子按高度的分布,设P0为h=0处的大气压强，P为h处的大气压强，m是大气分子质量，则,由气体状态方程,大气密

24、度和压强随高度增加按指数规律减小 （高空空气稀薄，气压低）,两边取对数,测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。,例1、求上升到什么高度时，大气压强减到地面的75%. 设空气的温度恒为00C，空气的摩尔质量0.0289kg/mol。,解：,由恒温气压公式,例2. 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm，温度为27 ；起飞后压力计指示为0.8 atm，温度仍为27 ，试计算 飞机距地面的高度 h.,解：由气体压强随高度变化的规律求得恒压公式：,得：,4-7 气体的输运过程,当系统各部分的宏观物理性质如密度、温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界干扰时,系统总是

25、要从非平衡态自发地过渡到平衡态.这种过渡称为输运过程.,输运过程有三种：热传导、扩散、内摩擦,如：氮气分子在270C时的平均速率为476 m.s-1.,气体分子 平均速率:,一、平均碰撞频率和平均自由程,克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。,在相同的t时间内，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多,分子自由程:,气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。,分子碰撞频率:,在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。,大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞频率。,假定,

26、1、平均碰撞次数,运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞,一秒钟内:,一秒钟内A分子与其它分子发生碰撞的平均次数,一切分子都在运动,平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比,当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比,2、 平均自由程,例1,计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。,解：,又已知 d=3.510-10m,空气摩尔质量为2910-3kg/mol,空气分子在标准状态下的平均速率,(1) 求氮气在标准状态下的平均碰撞频率； (2) 若温度不变，气压降到1.3310-4Pa，平均

27、碰撞 频率又为多少 ? (设分子有效直径10-10 m),(1) 碰撞频率公式,例2,解：,对于理想气体有,，即,又因为氮气在标准 状态下的平均速率,若温度不变，气压降到1.3310-4Pa时同理求得平均碰 撞频率：,求得氮气在标准状态下的平均碰撞频率：,二、 三种输运过程* （自学）,1. 内摩擦,流体内各部分流动速度不同时,就发生内摩擦现象.,相邻流体层之间由于速度不同引起的相互作用力称为内摩擦力,也叫粘滞力.,流体沿x方向流速是z 的函数,流速梯度,沿z方向所出现的流速空间变化率。,粘滞力的大小与两部分的接触面dS和截面所在处的流速梯度成正比。,内摩擦系数或粘度,恒为正值.,2.热传导(heat conduction),当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差而产生的热量传递现象。,温度梯度,表示流体中温度沿z