2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程学案（含解析）新人教B版必修2

1、2.3.2圆的一般方程1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3灵活选取恰当的方法求圆的方程(难点)基础初探教材整理圆的一般方程阅读教材P97至P98“例1”以上内容，完成下列问题1圆的一般方程的概念当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为.3对方程x2y2DxEyF0的说明方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点x2y2DxEy

2、F0D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程()(2)圆的一般方程和标准方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆心为，半径为的圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()【解析】(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程(2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的(3)错误当a2(2a)24(2a2a1)0，即2a，即xyDx0Ey0F0.【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型圆的一般方程的概念辨析若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(

3、1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径. 【导学号：】【精彩点拨】(1)根据表示圆的条件求m的取值范围；(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解【自主解答】(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2E24F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.再练一题

4、1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)【解】(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，a0，D2E24F2a20，方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|.求圆的一般方程 圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程【精彩点拨】由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解【自主

5、解答】设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.圆过A(1,2)，B(3,4)，D2EF5，3D4EF25.令y0，得x2DxF0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1x2D，x1x2F.|x1x2|6，(x1x2)24x1x236，即D24F36.由 得D12，E22，F27，或D8，E2，F7.故所求圆的方程为x2y212x22y270，或x2y28x2y70.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求D、E、F.再练一题2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圆的方程【解】设三角形ABC外接圆的方程为x2y2DxE

6、yF0，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.探究共研型求动点的轨迹方程探究1已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？【提示】设M(x，y)，则2，整理可得点M的轨迹方程为x2y216.探究2已知直角ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程【提示】设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨

7、迹方程为(x1)2y24(x3且x1)已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线AD为定长3，求顶点C的轨迹方程【精彩点拨】先建立适当坐标系，求出BC边上的中点D满足的关系式，然后用动点C的坐标表示出点D的坐标，再代入点D满足的关系式并化简即可【自主解答】以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点顶点C的轨迹方程为(x6)2y236(y0)求

8、与圆有关的轨迹问题常用的方法1直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式2定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程3相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程再练一题3已知定点A(4,0)，P点是圆x2y24上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程【解】设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x，y)，则x且y，即x2x4，y2y.又P点在圆x2y24上，x2y24，将x2x4，y2y代入得(2x4)2(2

9、y)24，即(x2)2y21.故Q点的轨迹方程为(x2)2y21.1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)【解析】圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心为(2，3)，选D.【答案】D2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，)D.【解析】方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1时才能表示圆【答案】A3若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_.【解析】以(2，4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216，即x2y24x8y40，故F4.【答案】44已知A，B是圆O：x2y216上的两点，且|AB|6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，1)，则圆心M的轨迹方程是_【解析】设圆心为M(x，y)，由|AB|6知，圆M的半径