2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用学案

1、4.7求解三角形的综合应用最新的试验纲思情思向分析可以用正弦定理、侑弦定理等知识和方法来解决与测量和几何校正计算有关的实际问题以利用正弦定理、侑弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，结合三角恒等变换、三角函数的性质进行考察，以加强数学知识的应用性关于实际测量的常见问题求AB图形需要测量的要素解法拜托了竖着站直太贵了度底部编码器ACB=，BC=a解垂直角三角形阿瑟阿坦底部达不到ACB=，ADB=，光碟机解两个垂直角三角形AB=拜托了水平距离离开山的两边ACB=，交流=b，英格兰足球甲级联赛用侑弦定理AB=河两岸ACB=，ABC=，克里斯蒂安正弦定理AB=河的对岸ADC=，BDC=，BCD=，

2、ACD=，光碟机在ADC中，AC=；在BDC中，BC=；在ABC中，适用求侑弦定理AB知识广博实际问题中常用的术语1 .仰角和俯角与营销对象线在同一垂直平面内的水平视线与营销对象视线所成的角度称为营销对象视线在水平视线上的仰角，营销对象视线在水平视线下的俯角(如图所示)。2 .方向角相对于某个正方向的水平角，例如南偏东30、北偏西45等3 .方位角指从正北方向顺时针绕目标方向的线的水平角，例如b点的方位角为(如图所示).4 .梯度(也称为梯度比)斜面的垂直高度和水平长度之比问题小组思考分析1 .判断以下结论是否正确(请在括号内加上“”或“”)(1)如果设从a观察b时的仰角为，从b观察a时的俯角

3、为，则，的关系为 =180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(3)方位角和方向角实质上相同，都决定视点和目标点的位置关系。(4)方位角的大小范围为 0，2，方向角的大小范围一般为问题小组2教材的改编2.P11例1如图所示，将a、b两点选定在河的两岸，一测定者在a所在的同一侧的河岸选定1点c，测定AC的距离为50 m、ACB=45、CAB=105，就能够计算出a。答案50分析由正弦定理得出=、另外，B=30，AB=50(m )。3.P13例3如图所示，在山脚a测量的山顶p的仰角为30，沿倾斜角15的斜面从a米向上行进到b，在b测量的山顶p的仰角为60时，山的高度h=_米。答案

4、a分析从问题图中得出PAQ=30，BAQ=15，PAB中PAB=-=15，另外，PBC=60，BPA=-=-=30，PB=a，PB=aPQ=PC CQ=PBsin asin =asin 60 asin 15=a。问题组3容易出错4 .在某个测量中，a测量的同一半平面方向的b点仰角为60，c点俯角为70，BAC等于()甲级联赛C.120 D.130答案d5 .如图所示，d、c、b三个点位于地面的同一直线上，DC=a，从c、d两个点测量的a点的仰角分别为60、30，a点距地面的高度ab=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案a分析是已知的DAC=30，ADC为等腰

5、三角形，AD=a，在RtADB中，AB=AD=a。6 .防洪措施过程中，某救生艇发动机突然地故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂流。 此时，风向为北偏东30，风速为20 km/h。 水流为正东，流速为20 km/h，如果不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂流的方向为北偏东，速度的大小为回答60 20在解析图中，AOB=60根据侑弦定理得知oc2=202-800 cos 120=1200，所以OC=20，COy=30 30=60。问题型求距离、高度的问题1.(2018吉林长春检查)江岸边炮台高30 m，江中有两艘船，船和炮台底部在同一水平面上，从炮台顶部测得的俯角分别为45和60，而且两艘船和炮

6、台底部连接30角，两艘船就离_m。回答10解析图om=自动45=30 (m )，打开=自动30=30=10(m )，在MON中，由侑弦定理得到MN=10 (m )。2.(2017郑州一中月考)如图所示，设山顶铁元素塔上的b测得的地面上的一点a的俯角为，塔底c测得的a的俯角为.铁元素塔BC部分的高度为h时，山的高度cd=_答案分析已知，BCA=90 ，ABC=90-，BAC=-，CAD=。在ABC中，根据正弦定理=、即=、AC=。在RtACD中，CD=ACsinCAD=ACsin =。故山高CD是。3.(2018日照模拟)船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到灯塔b在东北60的方向，行

7、驶4 h后，船到达c处，看到这座灯塔在东北15的方向，这时船和灯塔的距离是答案30解析图，从题意来看，BAC=30，ACB=105，B=45，AC=60，从正弦定理得到=、BC=30公里。求思维热升华距离高度问题的注意事项(1)选定或确定要制作的三角形时，首先要求的量确定某三角形，如果其他量已知则直接确定解如果有未知量，则将未知量放入别的确定三角形中求解(2)确定正弦定理还是侑弦定理，如果全部可以利用，则选择更容易修正的定理求问题型两角度的问题如典型例图所示，位于a地点的信息中心得知渔船在其正东方向相距40海里的b地点遇难，当场等待救出，信息中心立即通知其南偏西30、20海里的c地点的乙船，现

8、在乙船沿着北偏东的方向沿着直线CB被救出到b地点答案在ABC中，AB=40、AC=20、BAC=120，从侑弦定理得出BC2=AB2 AC2-2ABACcos 120=2 800，BC=20根据正弦定理，=、即，sinACB=sinBAC=。如果从BAC=120得知ACB是锐角，则cosACB=。从=ACB 30得到cos =cos(ACB 30 )=cos-acbcos 30合并- acbs in 30=。思考热升华测量角度问题解决的注意事项(1)首先必须明确方位角或方向角的意义(2)分析题意，明确已知和要求，根据题意描绘正确的模式图是最重要、最重要的一头地(3)将实际问题转换为能用数学方法

9、解决的问题后，留心正弦、侑弦定理的“联合”使用如跟踪训练图所示，已知两个灯塔a，b相等于海洋观察站c的距离，灯塔a位于观察站c的东北40度，灯塔b位于观察站c的东南60度，并且灯塔a位于灯塔b的_的方向。答案是西北偏西10分析是已知的ACB=180-40-60=80，另外，AC=BC、a=abc=50、60-50=10，灯塔a在灯塔b的北偏西10的方向问题型三角形和三角函数的综合问题典型示例(2018石家庄模拟)ABC中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，(2a-c)cos B-bcos C=0。(1)求角b的大小假设函数f(x)=2sin xcos xcos B-cos 2x，并且获得在函

10、数f(x )的最大值和f(x )取最大值时的x值。因为解(1)(2a-c)cosb-bcosc=0，在2acos B-ccos B-bcos C=0的情况下，从正弦定理得到了2sin Acos B-sin Ccos B-cos Csin B=0。即2sin Acos B-sin(C B)=0，另外，因为C B=-A，所以sin(C B)=sin A。其中，sin A(2cos B-1)=0。在ABC中，sin A0，所以cos B=，又因为B(0，)，所以B=。(2)b=、为f(x)=sin 2x-cos 2x=sin取2x-=2k (kZ )，得到x=k (kZ )。也就是说，当x=k (k

11、Z )时，f(x )取最大值1。思维热升华三角形和三角函数的综合问题是结合三角函数性质的整体置换思想、数形结合思想、三角形中的角范围，灵活运用正弦定理、佟弦定理来求解令蕾丝花边训练为f(x)=sin xcos x-cos2。求(1)f(x )的单调区间(2)在锐角abc中，如果角a、b、c的对边分别为a、b、c.f=0、a=1，则求出abc面积的最大值。从题意来看f(x)=-=-=sin 2x-。从2k2x 2k，k-z开始，得到kx k，k-z。从2 k2 k，kZ开始，得到kk，k-z。因此，f(x )的单调增加区间(k-z )单调递减区间是(k-z )。从f=sin A-=0到sin A

12、=，从题意中可以看出a是锐角，所以cos A=。从侑弦定理a2=b2 c2-2bccos A开始，得到1 bc=b2 c22bc，即，如果bc2，则等号仅在b=c的情况下成立。因此，bcsin A。ABC面积的最大值为函数思想在解三角形中的应用典型例(12分钟)某港o将重要物品乘小船送往航行中的船。 小船出发时，小船位于港口o的西北30处且距离港口20海里的a处，以30海里/小时的航行速度向正东方匀速行驶。 该小船沿直线方向以v节/小时的航行速度等速行驶，通过t(1)如果想相遇时小船的航行距离最小，小船的航行速度大小是多少？(2)假定小型艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，设定修订航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使小型艇能够在最短时间内与轮船相遇，说明理由思想方法指导已知的两边及其一边的对角解三角形时，设置第三边，对于可以用佟弦定理列方程组