2018版高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.4 函数的应用（Ⅱ）学案 新人教B版必修1

1、34函数的应用()1理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点)2区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异(易混点)3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点)基础初探教材整理几类不同增长的函数模型阅读教材P112P113，完成下列问题1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐与y轴平行随x的增大逐渐与x轴平行随n值的不同而不同2.三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(

2、2)随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度越来越慢(3)存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数()(3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.()【解析】(1).因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(3).根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.【答案】(1)(2)(3)小组合作型函数模型的增长差异(1)下列

3、函数中，增长速度最快的是() Ay2 016x Byx2 016Cylog2 016x Dy2 016x(2)四个自变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_【精彩点拨】(1)由题意，指数函数增长速度最快(2)【自主解答】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈

4、指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化故填y2.【答案】(1)A(2)y21指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”2对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢3幂函数模型yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间再练一题1下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()Ayex By100ln xCyx100 Dy1002x【

5、解析】指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.【答案】A根据函数图象确定函数模型函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图341所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.图341(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小【精彩点拨】根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x12,9x

6、210，x16x2,2 016x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)g(6)；当xx2时，f(x)g(x)，f(2 016)g(2 016)又g(2 016)g(6)，f(2 016)g(2 016)g(6)f(6)根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.再练一题图3422函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图342所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f

7、(x)，g(x)的大小进行比较). 【解】(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)探究共研型函数模型的选择探究1在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？【提示】一次函数、指数函数、对数函数探究2在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？【提示】前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.58千美元的地区

8、销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减(1)下列几个模拟函数中：yax2bx；ykxb；ylogaxb；yaxb(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？【精彩点拨】(1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；(2)根据(1)中所选择

9、的函数模型，求出其解析式并求最大值【自主解答】(1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以，都不合适，故用来模拟比较合适(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x1，y2；x4，y5代入到yax2bx，得解得a，b，所以函数解析式为yx2x.(x0.5,8)yx2x，当x时，年人均A饮料的销售量最多是 L.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律2指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规

10、律3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律4幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题再练一题3某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax2bxc(a，b，c均为待定系数，xN*)或函数yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，xN*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中

11、的哪一个作为模拟函数较好？【解】根据题意可列方程组：解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再将x4分别代入与式得：f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t)与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg(x)pqxr作为模拟函数较好1.如图343给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好()图343A指数函数：y2tB对数函数：ylog2tC幂函数：yt3D二次函数：y2t2【解析】根据图象中的点，经验证用指数函数

12、模型拟合效果最好【答案】A2某人2013年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2018年1月1日可取款(不计利息税)()Aa(1x)5元Ba(1x)6元Ca(1x5)元 Da(1x6)元【解析】2014年1月1日可取款a(1x)元，2015年1月1日可取款a(1x)2元，同理可得2018年1月1日可取款a(1x)5元【答案】A3某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数

13、爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】D4表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：图344骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样其中，正确信息的序号是_. 【解析】看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故正确；错误【答案】5函数f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图345所示，试分别指出各曲线对应的