土力学课件第三章地基中的应力

1、第三章 地基中的应力,本章主要内容,3.1 概述 3.2 土的自重应力 3.3 自重应力系 有效应力原理 3.4 基底接触应力分布及简化计算 3.5 地基中的附加应力空间问题的解及其应用 3.6 地基中的附加应力平面问题的解及其应用 3.7 非均质和各向异性地基中的附加应力 3.8 其他条件下地基中的应力计算,掌握： 1.土中的应力状态及土中应力的研究方法; 2.土中的自重应力，基底压力与基底附加压力的概念； 3.土中自重应力、基底接触应力和地基附加应力的计算。,学习要求,在地基上建造建筑物，基础将上部荷载传给地基，使地基中的应力发生变化从而引起地基变形，使建筑物产生沉降和沉降差。若应力的变化

2、不大引起的变形是建筑物允许的，则不会产生危害；若外载荷在土中引起的应力过大，可能产生结构所不允许的变形或造成地基失稳而破坏。因此研究土体中的应力是研究地基变形与地基失稳的基础。 建筑地基基础设计时，必须将强度、变形控制在允许的范围内，为此，基础设计时首先要计算地基应力。, 3.1 概 述,概 述,支承建筑物荷载的土层称为地基,与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层,将持力层下面的土层称为下卧层,概 述,土力学中应力符号规定 法向应力：压为正，拉为负,剪应力：,剪应力作用面上外法线n与坐标轴方向一致，,剪应力方向与坐标轴一致：负,剪应力方向与坐标轴相反：正,剪应力方向与坐标轴一致：正,剪应力方

3、向与坐标轴相反：负,剪应力作用面上外法线n与坐标轴方向相反，,概 述,土力学中应力符号的规定,材料力学,+,-,+,-,土力学,正应力,剪应力,拉为正 压为负,顺时针为正 逆时针为负,压为正 拉为负,逆时针为正 顺时针为负,概 述,自重应力由土体自身重量所产生的应力。,附加应力由外荷（静的或动的）引起的土中应力。,基底压力,附加应力,地基沉降变形,基底反力,基础结构的外荷载,概 述,土中的应力分为两种：,建筑物修建之前已经存在，也称为初始应力,建筑物修建之后的在自重应力基础上增加的应力, 3.2 土的自重应力,1、竖向自重应力 单位面积上土柱的重量,式中： 为土的天然重度，kN/m3;z为土柱

4、的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m。,土的自重应力,式中： 为土的有效重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m。,地下水位以下的土：,地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加,土的自重应力,分布规律,自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。,均质地基,成层地基,土的自重应力,K0土的侧压力系数，它是土体在侧限条件下水平有效应力与竖向有效应力之比， K0与土层的应力历史及土的类型有关。见表3.2.1，对一般地基K0 0.5左右。,无侧向变形（有侧限）条件下：,2、水平自重应力,土的自重应力

5、,根据弹性力学中广义虎克定律：,cz,cy,cx,3、土坝的自重应力,对于中小型坝，可以采用简化计算，即：忽略土体中剪应力的作用，认为土柱间相互独立，也就是任一点的自重应力等于其上部土柱的重量c = H 。 对于重要的土坝要进行有限元分析。,土的自重应力,例：某地基土由四层土组成厚度与容重如图，试计算每土层接触面处的竖向自重应力并画出应力曲线。,土的自重应力,4,4,3,3,2,2,1,1,Z,O,h,4,=2.0m,h,3,=1.5m,h,2,=2.0m,h,1,=2.5m,1-1面,2-2面,3-3面,4-4面,土的自重应力,土的自重应力,地下水位下降，会引起原地下水位以地基土中的总应力，

6、自重应力，有效应力分别怎么变化？,土的自重应力,地下水位下降引起增大的部分,=-u,u=wh2,u=wh2,地下水位下降会引起增大，土会产生压缩，这是城市抽水引起地面沉降的一个主要原因。,土的自重应力,上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的。,上部结构,基础,地基,建筑物设计,基底接触应力指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力, 3.4 基底接触应力及简化计算,基础条件,刚度 形状 大小 埋深,大小 方向 分布,土类 密度 土层结构等,荷载条件,地基条件,影响基底接触应力分布图形的因素,基底接触应力及简化计算,一、基底接触应力实际分布 柔性基础：

7、刚度较小，基底接触应力与其上的荷载大小及分布相同；,基底接触应力及简化计算,特别地，当中心受压时，基底接触应力分布为均匀分布。,刚性基础：刚度较大，基底接触应力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。,当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。,基底接触应力及简化计算,二、基底接触应力简化计算法 1、中心荷载矩形基础:,F为上部结构传至基础顶面的垂直荷载，KN G为基础自重和基础台阶上的土重,基底接触应力及简化计算,当eL/6时，基底接触应力成梯形分布；,2、矩形面积单向偏心荷载下的基底接触应力,基底接触应力及简化计算,当e=L/6时，基底压力为三角形分布；,基底接触应

8、力及简化计算,当eL/6时，基底压力pmin0,基底接触应力及简化计算,土不能承受拉应力,基底压力合力与总荷载相等,压力调整,Fv,3、矩形面积双向偏心荷载,W为矩形底面的抗弯截面系数,（特例）,基底接触应力及简化计算,三、基础底面附加应力 1、基础在地面上 基础底面附加压力即为基础底面接触应力。 2、基础在地面以下埋深为d 基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础 底面下真正施加于地基的应力 式中：p0为基础底面的平均附加应力，kpa；p0为基础底面的平均接触应力，kpa； 为基地处的自重应力，kpa；d为基础埋深，m； 为基础底面以上土的加权平均重度，kpa， 。,基底接触应力及

9、简化计算,竖直集中力,矩形内积分,线积分,矩形面积竖直均布荷载,矩形面积竖直三角形荷载,竖直线布荷载,宽度积分,条形面积竖直均布荷载,圆内积分,圆形面积竖直荷载,布森涅斯克解,水平集中力,矩形内积分,矩形面积水平均布荷载,三维问题（集中力、矩形荷载、圆形荷载作用下）,二维问题（线性荷载，条形荷载，三角形及梯形荷载）,一维问题（荷载均布于无限大的面积上，变形仅发生在一个方向上的，如自重应力）, 3.5 地基中的附加应力空间问题的解及其应用,假定地基：半无限空间体，线性均匀各向同性的弹性材料,M,一、布森涅斯克解,(1) 布森涅斯克解,M(x、y、z)点的应力：,地基中的附加应力空间问题的解及其应

10、用,其中 = (r/z)称为集中荷载作用下的应力系数具体的 值见教材p79表3.5.1,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,（3.5.3）,4.在某一水平面上z=常数，r=0, a 最大，r，a减小，z减小,5.在某一圆柱面上r=常数，z=0, z=0，z，z先增加后减小,1.z应力呈轴对称分布,2.z:zy:zx= z:y:x, 竖直面上合力过原点，与R同向,3.P作用线上，r=0, ,z=0, z，z，z=0,(2)集中力作用下弹性半空间中z的分布,（3）应力泡 将半空间内z相同的点连接起来就得到z的等值线，如下图所示，其型如灯泡，故又称应力泡。,集中力作用下z的等值线,地基中的附加应力

11、空间问题的解及其应用,P,P,1,2,z1,+,z2,z1,z2,（4）叠加原理,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,等代荷载法基本解答的初步应用,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,二、矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力,角点下的应力 以矩形荷载面任一角点为坐标原点O，如右图所示。,矩形均布荷载角点下的附加应力,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力，而后用角点法计算任意点处的应力。,在OACD上积分，即得矩形均布荷载p0在M点引起的附加应力z： c = f (m, n)叫做矩形竖直均布荷载角点下的应力分布系数。 c可从教材P83表3.5

12、.2查得。 L为长边 ，b为短边,(3.5.6),地基中的附加应力空间问题的解及其应用,表3.5.2,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,2. 任意点的应力 角点法 角点法：利用角点下应力计算公式和叠加原理，求地基中任意点的附加应力的方法。,z = ( C+ C) p0,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,此时，实际荷载面abcd等于两个大 的荷载面ogae()、oebf()之和 减去两个小的荷载面ogdh()、 ohcf()，所以： z = ( C+ C- C- C)p0,此时，实际荷载面abcd等于新的大荷载面ohbe()减去两个长条荷载面ogce()、ohaf()后，再加上公共荷载面

13、ogdf()，所以： z =( C- C- C+ C)p0,如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z1m深度处的竖向附加应力。,例题,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,H,A,O,G,F,E,Q,b,a,d,c,（2）求O点下1m深处地基附加应力zo。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得 lb=2 1=2 z b=11=1 查表3.5.

14、2得ac =0.1999，所以 zo=4 ac p0=40.1999 131 104.75（kPa）,（3）求A点下1m深处竖向附加应力zA。,H,A,O,G,F,E,Q,b,a,d,c,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）p0，由已知条件 p0=p0d140180.5131kPa,A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数ac相同。根据l，b，z的值可得 lb=2 2=1 z b=12=0.5 查表应用线性插值方法可得ac=0.2315，所以 zA=2 ac p0=20.2315 131=60

15、.65（kPa） （4）求H点下1m深度处竖向应力zH。 H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。zH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 lb=2.52=1.25 z b=1/2=0.5 查表3.5.2，利用双向线性插值得ac =0.2350,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 lb=20.5=4 z b=10.5=2 查表3.5.2，得ac =0.1350，则zH可按叠加原理求得： zH=（20.2350 20.1350 ）131=26.2（kPa）,地

16、基中的附加应力空间问题的解及其应用,三、矩形面积上作用竖直三角形荷载,设竖直荷载沿矩形面积的 b 边呈三角形分布，沿 l 边荷 载分布不变，最大荷载强度 为p0，取荷载强度为零的边 上的角点1为坐标原点，如 右图所示。则荷载面上任意 微元dA = dxdy上的等效 集中荷载为,矩形面积上作用三角形分布时角点下的附加应力,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点引起的竖向附加应力dz为： 将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度z处所引起的竖直附加应力z为 z = tc p0 式中 tc =,地基中的附加应力空间问

17、题的解及其应用, tc为m = l/b，n = z/b的函数，称为矩形面积竖直三角形荷载角点下的附加应力系数，其中 tc可由教材P88表3.5.3查得。 注意：b为荷载变化方向的边长，l为荷载不变方向的边长。,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,四、圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力 设圆形面积基底的半径为ro，其上作用均布荷载p0，圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力z为,式中,查表3.5.4,圆形面积作用竖直均布荷载时的应力分布系数,为应力计算点到z轴的水平距离,地基中的附加应力空间问题的解及其应用, 3.6 地基中的附加应力平面问题的解及其应用,地基中的附加应力平面问题的解及其

18、应用,一、弗拉曼解及其应用,为了求解条形荷载作用下地基中的附加应力，先来介绍线布荷载作用下的解答。将y 轴置于线荷载作用线上，如右图所示。根据布森涅斯克解，某微段的等效集中荷载dP = dy在M点引起的竖向应力为：,竖直线荷载作用下地基中的 附加应力分析,在实际工程中当荷载面积的长宽比l/b10时，可以看作条形荷载，按平面问题求解。,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,式中：R0为M点至坐标原点的距离，,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,条形基底均布荷载作用下地基附加应力,查表3.6.1,二、条形面积上的竖直均布荷载,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,三、条形基底三角形分布荷载作用下

19、地基附加应力 条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度dz上的线荷载zpmdz/b 应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力： zaspm,式中：as为条形基底三角形分布荷载作用的地基附加应力系数，它们均是n=x/b，m =z/b的函数。,注意：（1）原点在尖点 （2）X轴正向与荷载增大方向一致,查表3.6.2,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,判断题： 附加应力大小只与计算点深度有关，而与基础尺寸无关（） 基底附加压力是基底压力的一部分（） 完全饱和土体，含水量w=100%（） 根据达西定律，渗透系数越

20、高的土，需要越大的水头梯度才能获得相同的渗流速度（）,有一填土路基，其断面尺寸如图所示。设路基填土的平均重度为21kN/m3 ，试问，在路基填土压力下在地面下2.5m 、路基中线右侧2.0m的A点处附加应力是多少？,解：根据路堤填土压力的简化算法，路基填土压力的分布形式与路基的断面形式相同，如图 其中： p=h=212=42kPa 将荷载分为三块，如图，分别建立坐标系，对每 一块荷载A点引起的竖向应力计算如下： 对于1，有：x/b=7.5/3=2.5，z/b=2.5/3=0.833,查表，有：,对于2，有：x/b=2/5=0.4，z/b=2.5/5=0.5，查表，有： 对于3，有：x/b=3.

21、5/3=1.17，z/b=2.5/3=0.833，查表，有： 所以得：, 3.7 非均质和各向异性地基中的附加应力,前述计算分析中，均假设土体为均质、各向同性的线弹性体。 实际工程的地基经常是由具有不同压缩性土质形成的成层地基，也有一些土层随深度变化，土的变形模量明显增加且在土层水平方向与竖直方向明显不同，这时附加应力的分布将会有所变化，计算中应考虑其影响。,（一）双层地基的影响,土层的松密、软硬差别常常是很大的。如在软土地区常可遇到一层硬粘土或密实的砂覆盖在较软的土层上；在山区，常可见厚度不大的可压缩土层覆盖于绝对刚性的岩层上。这种情况下地基中的应力分布显然不会同前面分析的均质土层一样。,非均质和各向异性地基中的附加应力,(a) 刚性下卧层（上软下硬）（出现应力集中） (b) 软弱下卧层（上硬下软）（产生应力扩散）,图 双层地基中的竖直应力