2017-2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 北师大版选修1-1

1、第一章 常用逻辑用语1解逻辑用语问题的三绝招1化为集合理清关系 充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好集合模型解释如下：A是B的充分条件，即AB.(如图1)A是B的必要条件，即BA.(如图2)A是B的充要条件，即AB.(如图3)图1 图2图3A是B的既不充分又不必要条件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素或例1“x23x20”是“x1”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必

2、要”)解析设命题p：“x23x20”，q：“x1”对应的集合分别为A、B，则Ax|x1或x2，Bx|x1，显然“AB，BA”，因此“x23x20”是“x1”的既不充分又不必要条件答案既不充分又不必要2抓住量词对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药例2(1)已知命题p：“任意x1,2，x2a0”，与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，则实数a的取值范围为_(2)已知命题p：“存在x1,2，x2a0”与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，

3、则实数a的取值范围为_解析(1)将命题p转化为“当x1,2时，(x2a)min0”，即1a0，即a1.命题q：即方程有解，(2a)24(2a)0，解得a1或a2.综上所述，a1.(2)将命题p转化为当x1,2时，(x2a)max0，即4a0，即a4.命题q同(1)综上所述a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质量词，有的放矢3等价转化提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题

4、)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真例3设p：q：x2y2r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围分析“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”设p、q对应的集合分别为A、B，则可由ARB出发解题解设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2y2r2外的点的集合ARB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，直线3x4y120上的点到原点的最近距离大于r，原点O到直线3x4y120的距离d，r的取值范围为0r0)在p：所

5、对应的区域的外部，也是可以解决的但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法2命题的否定与否命题辨与析否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别1否命题与命题的否定的概念设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与

6、原命题的条件相同，结论相反例1写出下列命题的否命题及否定：(1)若|x|y|0，则x，y全为0；(2)函数yxb的值随x的增加而增加分析问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题解(1)原命题的条件为“|x|y|0”，结论为“x，y全为0”写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|y|0，则x，y不全为0”写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|y|0，则x，y不全为0”(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数yxb的值也随之增加”否命题为“若x不增加，则函数yxb的值也不增加”；命题的否定为“若

7、x增加，则函数yxb的值不增加”2否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x24，则2x0且n0，则mn0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定根据不等式及方程的性质逐个判断其真假解(1)否命题：“若x24，则x2或x2”命题的否定：“若x20且n0，则mn0”由不等

8、式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.3走出逻辑用语中的误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假(1)x20；(2)x220；(3)ABAB；(4)AAB.错解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题剖析(1)中含有未知数x，且x不定，所以x2的值也不定，故无法判断x20是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x虽为未知数，但x20，所以x222，故可判断x220成立，故(2)为真命题(3)若AB，则ABABAB；若AB，则ABAABB.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题(4)A为AB的子集

9、，故AAB成立，故(4)为真命题正解(2)、(4)是命题，且都为真命题误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a0，则ab0；(2)若a2b2，则ab.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断正解(1)否命题为：若a0，则ab0，是假命题；(2)否命题为：若a2b2，则ab，是假命题误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x30成立的一个充分不必要条件是()Ax3 Bx4Cx2 Dx1,2,3错解由不等式x

10、30成立，得x3，显然x3x2，又x2D/x3，因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则qp，pD/q.本题要求使不等式x30成立的一个充分不必要条件，又x4x30，而x30D/x4，所以使不等式x30成立的一个充分不必要条件为x4.正解B误区4用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例4(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，试写出“p或q”(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”错解(1)p或q：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正

11、方形剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题而上述解答中写出的两命题却都是真命题错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件正解(1)p或q：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形误区5不能正确否定结论例5p：方程x25x60有两个相等的实数根，试写出“綈p”错解綈p：方程x25x60有两个不相等的实数根剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”正解綈p：方程x25x60没有两个相等

12、的实数根误区6对含有一个量词的命题否定不完全例6已知命题p：存在一个实数x，使得x2x20，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2x20.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2x20，q：x22x1a20，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题解解不等式x28x200，得p：Ax|x10或x0，得q：Bx|x1a或x0依题意pq，但qD/p，说明AB.于是有或，解得01a2，即q真a2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假若p真q假，则无解；若p假q真，则1a2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)答案(1,2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围3反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不