高三数学第二轮复习函数概念学案

1、2006届高三数学第二轮复习函数概念学案一、考试要求：1了解映射的概念，理解函数的概念。2了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。二 考点扫描（1）映射的定义(1)映射是一种特殊的对应，即“一对一”或“多对一”但不能是“多对一”。(2)从集合A到集合B的映射f：AB中，A中任一元素都必须有象，但B中元素未必有原象。（2） 函数的概念：1、函数是一种特殊的映射，要求f:AB中，A、B都是非空数集，其中A为定义域，f(A)是值域。1)函数的表示方法有三种：图像法、表格法和解析法。2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则。3)函数的三特征：非空、数集、满射。2、函数

2、解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。求函数解析式的方法：（1）定义法（2）变量代换法（3）待定系数法（4）函数方程法（5）参数法（6）实际问题3、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（5）函数是由基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。（6）复合函数定义域：已知

3、f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式 4、求函数值域的方法： 直接法：从x的范围出发，推出y=f(x)的范围；二次函数法：换元法将函数转化为二次函；反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；不等式法：利用平均不等式求值域； 单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求值域；几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y；求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（3）反函数 1。 在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数

4、；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(原函数与反函数的图像关于yx对称；（2）原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的；（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1f(x)=x; ff-1(x)x,xC。（6）若点P(a,

5、b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；（8）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数. (9)若函数的反函数是奇函数，则原函数也是奇函数。(10)单调函数必有反函数。三小题热身1.设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是 （ ）8个12个 16个 18个2(2005年高考湖北卷文13)函数的定义域是 . 3下列函数中，不存在反函数的是（ ） 4已知，求.5设函数f(x)的图象关于点（1，2）

6、对称，且存在反函数f1(x)，f (4)0，则f1(4) .四典型例题 例1.设函数的定义域为A，函数的定义域为B，若AB，求实数k的取值范围。例2设函数f(x)=lg(ax+2x+1)(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围例3.（理科）(2005年高考全国卷文19)已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.五强化训练1、04湖北已知有A最大值B最小值C最大值1 D最小值12、04湖南卷设是函数的反函数，若，则 的值为（ ）A1 B2 C3 D

7、3、（2003年天津卷）函数的反函数为（ ）A BCD4、（2004广西卷）函数的定义域为 （ ）A B C D5、（2004浙江）若函数的定义域和值域都是0，1，则 (A) (B) (C) (D)26、(04北京)函数在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 7、（2004江苏卷）设函数，区间M=a，b(ab)，集合N=，则使M=N成立的实数对(a，b)有 （ ）A0个 B1个 C2个 D无数多个8、已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数 是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是Aa1 Ba2 C1a1，解关于x的不等式；湖北省黄冈中学

8、2006届高三第二轮复习数学函数概念学案一、考试要求：1了解映射的概念，理解函数的概念。2了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。二 考点扫描（1）映射的定义(1)映射是一种特殊的对应，即“一对一”或“多对一”但不能是“多对一”。(2)从集合A到集合B的映射f：AB中，A中任一元素都必须有象，但B中元素未必有原象。（2） 函数的概念： 1、函数是一种特殊的映射，要求f:AB中，A、B都是非空数集，其中A为定义域，f(A)是值域。1)函数的表示方法有三种：图像法、表格法和解析法。2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则。3)函数的三特征：非空、数集、满射。2、函

9、数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。（注意分段函数）求函数解析式的方法：（1）定义法 （2）变量代换法 （3）待定系数法 （4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题3、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（5）函数是由基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。

10、（6）复合函数定义域：已知f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式 4、求函数值域的方法直接法：从x的范围出发，推出y=f(x)的范围；二次函数法：换元法将函数转化为二次函；反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；不等式法：利用平均不等式求值域；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求值域；几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y；求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（3）反函数在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函

11、数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(原函数与反函数的图像关于yx对称；（2）原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的；（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1f(x)=x; ff-1(x)x,xC。（6）

12、若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；（8）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数. (9)若函数的反函数是奇函数，则原函数也是奇函数。(10)单调函数必有反函数。三小题热身1.设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是 （ ）8个 12个 16个 18个解法要点：为奇数，当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对

13、应方法故映射的个数是2(2005年高考湖北卷文13)函数的定义域是 . 3下列函数中，不存在反函数的是（ ） 处理本题有多种思路分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试此题作为选择题还可采用估算的方法对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(21)，也可能x=-1(-1-1)依据概念，则易得出D中函数不存在反函数于是决定本题选D说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数

14、的关系是这里解决问题的关键由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题4已知，求.（运用换元法）令（），则，5(2005年高考湖南卷理14文14)设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f (4)0，则f1(4) .2四典型例题 例1.设函数的定义域为A，函数的定义域为B，若AB，求实数k的取值范围。解一：由(2+x)(3-x)0 得：-2x3 A=x|-2x3 而B=x|k-2x-x20 令 由AB得：解二：A=x|-2x3 B=x|k-2x-x20=x| 由AB知： 得：k 15例2设函数f(x)=lg(a

15、x+2x+1)(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解解:(1)的定义域是R对一切实数恒成立. a=0或a0不合题意，所以故a1即为所求.(2) 的值域域是R能取遍一切正实数.a0时不合题意； a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；a0时，其判别式=22-4a10，解得0a1所以当0a1时f(x)的值域是R 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)

16、求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 例3.。（本小题满分12分）(2005年高考全国卷文19)已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）. （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求a的取值范围.解：（）由方程 因为方程有两个相等的根，所以，即 由于代入得的解析式 （）由及由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用

17、待定系数法确定其解析式这里不再举例(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来。 五强化训练1、04湖北文8已知有A最大值 B最小值 C最大值1 D最小值12、04湖南卷理3设是函数的反函数，若，则的值为（ ）A1B2 C3D3、（2003年天津卷）函数的反函数为（B ABCD4、（2004广西卷）函数的定义域为 （ A ）A B C D5、（2004浙江文9）若函数的定义域和值域都是0，1，则 (A) (B) (C) (D)26、(04北京)函数在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是（ D ） A. B. C. D. 7、（2004年高考数学江苏卷，12）设函数，区间M=a，b(