高三数学一轮复习 第6讲 二次曲线与二次曲线教案

1、第六讲 二次曲线与二次曲线一、考情分析高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题（两圆的交点除外）”， 但是，在解答某些问题时，难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要

2、特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平二、精典例析例1：抛物线的焦点为，以为圆心，以为半径，在轴的上方作一个半圆，设半圆与抛物线交于不同的两点，点是的中点（1）求的值；（2）是否存在，使得成等差数列？解析：（1）显然，半圆的方程为，设在准线上的射影分别为，点的横坐标分别为，则：，且，；（2）若存在，使得成等差数列，则：，即点在抛物线上，矛

3、故不存在，使得成等差数列例2：讨论圆与抛物线的位置关系解析：圆是以为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线相交；而当时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明，（），显然，当时，；当时，；当时，事实上，当时，的确有圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线无公共点而当时，虽然有，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价原因是：在方程组转化为方程（）的过程中，忽略了条件事实上，方程组解的个数等于方程（）的非负解的个数综上，圆与抛物线的位置关系如下：当或时，圆与抛物线无公共点；当时，

4、圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当时，圆与抛物线相切（两个公共点）点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价例3：(05重庆卷) 已知椭圆，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点 （1）求双曲线的方程； （2）若直线l：与椭圆及双曲线恒有两个不同的交点，且l与的两个交点A和B满足(O为原点)，求k的取值范围解析：（1）设双曲线，则：，故双曲线的方程为（2），直线l：与椭圆恒有两个不同的交点，；同理，直线l：与双曲线恒有两个不同的交点

5、， ；设，则： ， ， ；或，故k的取值范围为例4：已知椭圆，它的离心率为直线，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左焦点为，左准线为动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点试点到圆上的点的最短距离解析：（）直线与以原点为圆心，以b为半径的圆相切，；又 椭圆的离心率为，； 椭圆的方程为（）椭圆的左焦点的坐标为，左准线的方程为：连接，则由抛物线的定义可知：点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为：点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题：法一：首先，如果抛物线上点与圆上点之间距离最小，则必过

6、圆心（否则，连接，设交圆于点，则：，与最小矛盾）在抛物线上任取一点M（x,y），则：，（当且仅当时取得等号）故点到圆上的点的最短距离为法二：用纯代数的方法去思考设为抛物线上任意点，为圆上任意点，则：，当且仅当抛物线和圆上的两点分别为和时取得等号点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化例5：已知双曲线和椭圆有相同的焦点和，两曲线在第一象限内的交点为椭圆与轴负半轴交于点，且三点共线，分向量的比为，又直线与双曲线的另一交点为，若（）求椭圆的离心率；（）求双曲线和椭圆的方程解析：（）若设椭圆的方程为：，则：三点共线，且分有向线段的比为，点的坐标为，代入椭圆方程，得椭

7、圆的离心率（）椭圆的方程为：，直线的方程为：，设双曲线的方程为：，则：， 在双曲线上， ， ， 椭圆方程为，双曲线方程为点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手，为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答例6：设抛物线过定点，且以直线为准线（）求抛物线顶点的轨迹的方程； （）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围解析：（）设抛物线的顶点为，则其焦点为，则：故抛物线顶点的轨迹的方程为：（）因为是弦MN的垂直平分线与轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定因此，要求的取值范围，还应该从直线与轨迹相交入手显然，直线与坐标轴不可能平行，设

8、直线的方程为，则：，直线与轨迹交于不同的两点， 线段恰被直线平分，下面，只需找到与的关系，即可求出的取值范围由于为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点BB/在中，令，可解得：，将点代入，可得：；故故的取值范围是从以上解题过程来看，求的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：法二：设弦MN的中点为，则由点为椭圆上的点，可知：，两式相减得：，；点在弦MN的垂直平分线上，；点在线段上（为直线与椭圆的交点），故的取值范围是点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数

9、和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法从构造不等式的角度来说，“将直线的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点在椭圆内”是等价的例7：(04年北京东城)已知椭圆的中心在原点，左焦点为，其右焦点和右准线分别是抛物线的顶点和准线（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的点，的内切圆的半径为，求点到轴的距离；（3）若点为椭圆上的一个动点，当为钝角时求点的取值范围解析：（1）抛物线的顶点为，准线方程为，设椭圆的方程为，则：，故椭圆的方程为（2）设椭圆内切圆的圆心为Q，则：，设点到轴的距离为，则： （3）设点的坐标为，则： 为钝角，即为所求例8：（05年山东卷）已知动圆过定点，且与直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标解析：（1）设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂