高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理课件

1、4.6正弦定理、余弦定理,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.正弦定理、余弦定理 在abc中，若角a，b，c所对的边分别是a，b，c，r为abc外接圆半径，则,知识梳理,b2c22bccos a,c2a22cacos b,a2b22abcos c,2rsin b,2rsin c,sin asin bsin c,2.在abc中，已知a、b和a时，解的情况如下：,3.三角形常用面积公式,1.三角形内角和定理 在abc中，abc；,2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(ab)sin c；(2)cos(ab)cos c；,3.三角形中的射影定理 在abc中

2、，abcos cccos b； bacos cccos a； cbcos aacos b.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在abc中，若sin asin b，则ab.( ) (3)在abc的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b2c2a20时，三角形abc为锐角三角形.( ),(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ),考点自测,1.(2016天津)在abc中，若ab ，bc3，c120，则ac等于 a.1 b.2 c.3 d.4,答案,解析,由余弦定理得ab2ac2bc22ac

3、bccos c， 即13ac292ac3cos 120， 化简得ac23ac40，解得ac1或ac4(舍去). 故选a.,2sin bsin c1cos a1cos(bc)， cos(bc)1， b、c为三角形的内角，bc， 又sin2bsin2csin2a，b2c2a2， 综上，abc为等腰直角三角形.,答案,解析,2.在abc中，若sin bsin ccos2 ，且sin2bsin2csin2a，则abc是 a.等边三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.等腰直角三角形,答案,解析,3.(2017浙江五校高三第二次联考)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足(ba)si

4、n a(bc)(sin bsin c)，则c等于,由已知，得(ba)a(bc)(bc)， baa2b2c2，,答案,解析,题型分类深度剖析,题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1(2016四川)在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且,证明,则aksin a，bksin b，cksin c，,sin asin bsin acos bcos asin bsin(ab). 在abc中，由abc，有sin(ab)sin(c)sin c. 所以sin asin bsin c.,变形可得,解答,由(1)知，sin asin bsin acos bcos asin b，,应用正弦、余弦定理

5、的解题技巧,思维升华,(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.,跟踪训练1,(边化角),答案,解析,(2)在abc中，内角a，b，c的对边长分别为a，b，c，已知a2c2b，且sin(ac)2cos asin c，则b等于 a.6 b.4c.2 d.1,答案,解析,(角化边) 由题意，得sin acos ccos asin c2cos asin c， 即sin acos c3cos asin c，,整理得2(a2c2)b2， 又a2c2b， 联立得b2，故选c.,题型二

6、和三角形面积有关的问题,例2(2016浙江)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos b. (1)证明：a2b；,证明,由正弦定理得sin bsin c2sin acos b，故2sin acos bsin bsin(ab)sin bsin acos bcos asin b， 于是sin bsin(ab). 又a，b(0，)，故0ab，所以b(ab)或bab， 因此a(舍去)或a2b，所以a2b.,解答,由sin b0，得sin ccos b.,思维升华,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,跟踪训练2,答案,解析,c2(ab)2

7、6， c2a2b22ab6. ,由得ab60，即ab6.,题型三正弦定理、余弦定理的简单应用,命题点1判断三角形的形状,例3(1)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若 cos a，则abc为 a.钝角三角形 b.直角三角形 c.锐角三角形 d.等边三角形,答案,解析,所以sin c0，所以cos b0， 即b为钝角，所以abc为钝角三角形.,(2)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为 a.锐角三角形 b.直角三角形 c.钝角三角形 d.不确定,由正弦定理得sin bcos csin ccos bsin2a，

8、sin(bc)sin2a， 即sin(a)sin2a，sin asin2a. a(0，)，sin a0，sin a1，,答案,解析,引申探究 1.例3(2)中，若将条件变为2sin acos bsin c，判断abc的形状.,解答,2sin acos bsin csin(ab)， 2sin acos bsin acos bcos bsin a， sin(ab)0， 又a，b为abc的内角， ab，abc为等腰三角形.,2.例3(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos asin bsin c，判断abc的形状.,解答,又由2cos asin bsin c得sin(ba)0，ab， 故a

9、bc为等边三角形.,命题点2求解几何计算问题 例4(2015课标全国)如图，在abc中，d是bc上的点，ad平分bac，abd面积是adc面积的2倍.,解答,因为sabd2sadc，badcad， 所以ab2ac.,解答,在abd和adc中，由余弦定理，知 ab2ad2bd22adbdcosadb， ac2ad2dc22addccosadc. 故ab22ac23ad2bd22dc26， 又由(1)知ab2ac，所以解得ac1.,命题点3解三角形的实际应用 例5(1)如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高ad是60 m，则河流的宽度bc等于,答案,解析,

10、如图，在rtacd中，cad903060，ad60 m，,在rtabd中，bad907515，,(2)(2016三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高是_ m.,答案,解析,如图，在rtcdb中， cd200 m， bcd906030，,在abc中，abcbcd30， acb603030， bac120.,(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在

11、图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,思维升华,跟踪训练3 (1)在abc中，内角a，b，c所对的边长分别是a，b，c，若cacos b(2ab)cos a，则abc的形状为 a.等腰三角形 b.直角三角形 c.等腰直角三角形 d.等腰或直角三角形,答案,解析,cacos b(2ab)cos a， c(ab)， 由正弦定理得sin csin acos b 2sin acos asin bcos a， sin acos bcos asin bsin acos b 2sin acos asin bcos a， cos a(sin bsin a)0， cos a0或sin bsin

12、 a，,abc为等腰或直角三角形.,(2)(2015课标全国)在平面四边形abcd中，abc75，bc2，则ab的取值范围是_.,答案,解析,如图所示，延长ba与cd相交于点e， 过点c作cfad交ab于点f，则bfabbe. 在等腰三角形cbf中，fcb30，cfbc2，,在等腰三角形ecb中，ceb30，ecb75，,二审结论会转换,审题路线图系列,(1)求cos a的值；,审题路线图,规范解答,返回,根据余弦定理,返回,课时训练,a.135 b.105 c.45 d.75,答案,解析,a45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6

13、,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016余姚模拟)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，且sin2bsin2c，则abc的形状为 a.等腰三角形 b.锐角三角形 c.直角三角形 d.等腰直角三角形,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由bcos cccos basin a， 得sin bcos csin ccos bsin2a， sin(bc)sin2a， 即sin asin2a，在三角形中sin a0， sin a1，a90， 由sin2bsin2c，知bc， 综上可知，abc为等腰直角三角形

14、.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.在abc中，已知b40，c20，c60，则此三角形的解的情况是 a.有一解 b.有两解 c.无解 d.有解但解的个数不确定,答案,解析,角b不存在，即满足条件的三角形不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,即a2c2b2ac，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3

15、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如图，一艘船上午930在a处测得灯塔s在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达b处，此时又测得灯塔s在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.,答案,解析,32,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设航速为v n mile/h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,12,1,

16、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由余弦定理得a216b2c22bccos a,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)， abc周长abc4bc12，即最大值为12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求sin(ab)的值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016海宁模拟)已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，满足bcos c bsin cac0. (1)求角b的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,由已知条件得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,