代数系统1.ppt

1、代数系统,成分：集合及运算 特异元素、运算性质,代数系统的构成,本章说明,本章的主要内容 一元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统定义及其实例 子代数，积代数 代数同态,与后面各章的关系 是后面典型代数系统的基础,二元运算及其性质,定义 设S为集合，函数 f：SSS 称为S上的二元运算，简称为二元运算。 举例 f:NNN，f()x +y 是自然数集合N上的二元运算 f:NNN，f()x - y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。,说明,验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。 S中任何两个元素的运算

2、结果都属于S，即S对该运算是封闭的。,（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。 （2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ，而除法不是。 （3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。 （4）设Sa1,a2,an，aiaj =ai为S上二元运算。,例,（5）设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合，即,则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 （6）S为任意集合，则、 为P(S)上的二元运算。 （7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运 算。,定义 设S为集合，函数f：SS称为S上的一元运算，简称

3、为一元运算。 例 （1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集 合R上的一元运算。 （2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R* 上的一元运算。 （3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。,（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。 （5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS， 求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。 （6）在n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置 矩阵是Mn(R)上的一元运算。,可以用、等符号表示二元或一元运算，称为算符。 设f : SSS是S上的二元运算，对任意的

4、x, yS，如果x与y的运算结果为z，即f()z，可以利用算符简记为 xy = z。 对一元运算，x的运算结果记作x。 例题 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算 ： x,yR，x y = x。 那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。,二元与一元运算的算符,函数的解析公式 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）,二元与一元运算的表示,例,例 设S=1,2，给出P(S)上的运算和的运算表 ，其中全集为S。,解答,例 设S=1,2,3,4，定义S上的二元运算如下： x y(xy) mod 5， x,yS 求运算的运算表。,解答,定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,yS都有xy

5、=yx，则称运算在S上满足交换律。 定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。 说明：若+适合结合律，则有 (x+y)+(u+v) x+y+u+v。 定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的xS有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算的幂等元。 举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。,二元运算的性质,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 。,定义 设为S上的二元

6、运算，如果对于任意的x,y,zS，满足以下条件： （1）若xy xz且x ，则y z （左消去律） （2）若yx zx且x ，则yz （右消去律） 则称运算满足消去律。 例如： 整数集合上的加法和乘法都满足消去律。 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。,消去律,定义 设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,zS，有 x(yz) (xy) (xz)（左分配律）(yz)x (yx) (zx)（右分配律） 则称运算对运算满足分配律。 说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。 x(y1 y2 yn ) (xy1)(x y2) (x yn) (y1 y2 yn )x (y1

7、x) (y2x) (ynx) 定义 设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yS，都有 x(xy)x x(xy)x 则称运算和满足吸收律。,二元运算的性质,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合，n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 。,定义 设为S上的二元运算， 如果存在元素el（或er）S，使得对任意xS都有 elx = x (或xer = x) 则称el (或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。 若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。,运算可以没有左单位元和右单位元。

8、 运算可以只有左单位元。 运算可以只有右单位元。 运算可以既有左单位元，又有右单位元。,说明,二元运算中的特异元素单位元,定义 设为S上的二元运算， 如果存在元素l（或r）S，使得对任意xS都有 lx = l (或xr = r)， 则称l (或r)是S上关于运算的左零元(或右零元)。 若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算的零元。,运算可以没有左零元和右零元。 运算可以只有左零元。 运算可以只有右零元。 运算可以既有左零元，又有右零元。,说明,二元运算中的特异元素零元,定义 设为S上的二元运算，eS为运算的单位元，对于x S 如果存在yl（或yr）S使得 ylxe（或xyre）

9、则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。 若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元。 如果x的逆元存在，则称x是可逆的。,运算可以没有左逆元和右逆元。 运算可以只有左逆元。 运算可以只有右逆元。 运算可以既有左逆元，又有右逆元。,说明,二元运算中的特异元素逆元,定理 设为S上的二元运算，el、er分别为运算的左单位元和右单位元，则有 el = er = e 且e 为S上关于运算的唯一的单位元。,el eler (er为右单位元) eler er (el为左单位元) 所以el = er，将这个单位元记作e。 假设e也是S中的单位元，则有 e = ee = e 所以，e 是S中关于

10、运算的唯一的单位元。,证明,定理 设为S上的二元运算，l和r分别为运算的左零元和右零元，则有 l = r = 且为S上关于运算的唯一的零元。,l lr (r为左零元) lr r (l为右零元) 所以l = r，将这个零元记作 。 假设 也是S中的零元，则有 = = 所以， 是S中关于运算的唯一的零元。,证明,特异元素的实例,定理 设为S上的二元运算，e 和分别为运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e。,用反证法。 假设 e = ，则xS有 x x e x 这与S中至少含有两个元素矛盾。 所以，假设不 成立，即e。,证明,定理 设为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于xS，如果

11、存在左逆元yl和右逆元yr，则有 yl = yr= y 且y是x的唯一的逆元。,由 ylx = e 和 xyr = e ，得,证明,yl = yle,令yl = yr = y，则y是x的逆元。,= yl (xyr),= (ylx) yr,= eyr,= yr,假若yS也是x的逆元，则,y= ye,= y (xy),= (yx) y,= ey,= y,所以y是x唯一的逆元，记作x1。,二元运算f：SSS 一元运算f：SS 交换律x,yS， xy yx 结合律x,y,z S，(xy)z x(yz) 幂等律xS， x x x 消去律x,yS，xy xz且x y z y xzx且x y z 分配律x,

12、y,z S，x(yz) (xy) (xz)，(yz)x (yx) (zx) 吸收律x,yS，x(xy)x，x(xy)x 单位元exS， x e e x x 零元xS， x x 幂等元x x x 可逆元x y y x e,运算的性质与特异元素,例 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 （1）Z+，x,yZ+，xylcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。 （2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy,解答,（1）运算可交换、可结合、是幂等的。 xZ+，x1=x ， 1x=x ，1为单位元。 不存在零元。 只有1有逆元，是它自己，其他正整

13、数无逆元。,（2） Q，x,yQ，xy=x+y-xy 运算满足交换律，因为x,yQ，有 xy =x+y-xy = y+x-yx = yx 运算满足结合律，因为x,y,zQ，有 (xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz 运算不满足幂等律，因为2Q，但 22 =2+2-2202 运算满足消去律，因为x,y,zQ，x1(1为零元)，有 xy = xz x+y-xy=x+z-xz y-z = x(y-z) y=z 由于是可交

14、换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。,0是运算的单位元，因为 xQ，有 x0=x+0-x0=x=0 x 1是运算的零元，因为 xQ，有 x1=x+1-x1=1=1x xQ，欲使 xy=0和 yx=0成立，即 x+y-xy = 0 得,所以，,例 设A=a,b,c，A上的二元运算、如表所示。 (1)说明、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。 (2)求出关于、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。,运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。 运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是a

15、，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。 运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元。,解答,复习,分析,定义 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2, fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记做。 实例： 、都是代数系统，其中+和分别表示普通加法和乘法。 是代数系统，其中和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法。 是代数系统，其中和为并和交，为绝对补。 是代数系统，其中 Zn0,1,2, ,n-1 和分别表示模n的加法和乘法。,代数系统,集合（规定了参与运算的元素） 运算（只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数 在定义代数系统的时候，如果把零元和单

16、位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。 例如：代数系统。,代数系统的成分,列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在） 例如 ， 列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数） 例如 ， 用集合名称简单标记代数系统 例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为Z, P(S),代数系统的表示,定义 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的

17、代数系统。 例如 V1= V2= V1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算， 2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。,同类型的代数系统,在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。 例如：代数系统V，如果*是可结合的，则称V为半群。如、等都是半群。 从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。(抽象代数的基本方法) 以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。,代

18、数系统说明,定义设V是代数系统，BS，如果B对f1, f2, , fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数。简记为B。 例如： N是的子代数，N也是的子代数。 N0是的子代数，但不是的子代数。,子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。 对于任何代数系统，其子代数一定存在。,说明,子代数,最大的子代数：就是V本身。 最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数。 平凡的子代数：最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数。 真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。,子代数的相关概念,例 设V=，令 nZ=nz | zZ，n为自然数， 则nZ是V的子代数。,任取nZ中的两个元素nz1和nz2(z1,z2Z )，则有 nz1+nz2 n(z1+z2 )nZ 即nZ对+运算是封闭的。又 0=n0 nZ 所以，n