高中数学秒杀型推论

1、高中数学秒杀型推论 一 函数 1. 抽象函数的周期 （1）f（ax)=f(bx) T=|b-a| （2）f（ax)=-f(bx) T=2|b-a| （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a （4）f(x-a)=f(x+a) T=2a （5）f(x+a)=-f(x) T=2a （6）f(x)奇 f(x+a)偶 或 f(x)偶 f(x+a)奇 T=4a 2奇偶函数概念的推广及其周期： （1） 对于函数 f （x） ， 若存在常数 a， 使得 f （a-x） =f （a+x） ， 则称 f （x） 为广义 （） 型偶函数，且当有两个相异实数 a， b 同时满足时，f（x）为周期函数 T=

2、2|b-a|； 定义在R上的函数f (x)满足f (a+x)=f (a-x)，且方程f (x)=0 恰有2n个实根，则这2n 个实根的和为2na . （2）若f（a-x）=-f（a+x） ，则f（x）是广义（）型奇函 数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a| 3.抽象函数的对称性 （1）若 f（x)满足 f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（ab 2 ， ）成中心对称（充要） 2 ab 2 c （2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x） 则函数关于直线 x=成轴对称（充要） 4.洛必达法则，设连续可导函数 f(x)和 g(x) f(x)f(x)f

3、(x)f(x) lim=lim= ( )f(x)0 g(x) f x g(x) g(x)g(x) g(x)g(x)0 二、三角 1.三角形恒等式 （ 1 ）tan tantan tantan tan= 1 222222 cotcotcotBcotCcotCcotA= 1 （2） 正切定理&余切定理： 在非 Rt中，有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cot cotcot= cot cot cot 22 2 2 2 2 2 2 （3）sinAsinBsinC = 4cos cos cos 2 cosAcosBcosC = 14sinsinsin 222 （4）sin2A

4、sin2Bsin2C = 22cosAcosBcosC cos2A cos2Bcos2C = 1 2cosAcosBcosC （5） sinAcosBcosC= cyc sinAcosBcosC + sinBcosAcosC + sinCcosAcosB = sinAsinBsinC cosAsinBsinC = cyc cosAsinBsinC + cosBsinAsinC + cosCsinAsinB = cosAcosBcosC 1 2任意三角形射影定理（又称第一余弦定理） ： 在ABC 中 abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA 3. 任意三角形内切圆

5、半径 r= 2S a+b+c 4S （S 为面积） ， 2sinA 外接圆半径R = = 2sinB = 2sinC 欧拉不等式：R2r 4梅涅劳斯定理 如下图，E.D.F 三点共线的充要条件是 = 1 5塞瓦定理 如下图，AD、BE、CF 三线共点的充要条件是 = 1 6. 斯特瓦尔特定理： 如下图，设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则 有 ABDC+ACBD-ADBCBCDCBD 7、和差化积公式（只记忆第一条） sin+sin=2sin 2 cos 2 sin-sin=2cos 2 sin 2 cos+cos=2cos 2 cos 2 cos-cos=-2sin 2 s

6、in 2 8、积化和差公式 sinsin= - cos()cos() 2 coscos= cos( )cos() 2 sincos= sin( )sin() 2 cossin= sin( )sin() 2 9、万能公式 10三角混合不等式：若 x（0， ),sinxxtanx 2 当 x0 时 sinxxtanx 11.海伦公式变式 如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分 别为 a.b.c，大三角形面积为 1 S =xyz（xyz) = （a bc)(abc)(acb)(bca) 4 12.双曲函数 定义双曲正弦函数sinhx= ex 2 ， 双曲余弦函数coshx= ex 2

7、易知（1）奇偶性：sinhx 为奇函数，coshx 为偶函数 （2）导函数：（sinhx） =coshx，（coshx） =sinhx （3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy （4）复数域：sinh（ix）=isin（x）； sin（ix）=isinh（x）； cosh（ix）=cos（x）； cos（ix）=cosh（x）. （5）定义域：xR （6）值域：sinhxR，coshx1，+） （7）平方差：cosh x-sinh x=1 13.三角形三边 a.b.c 成等差数列，则tan ta

8、n= 223 1 22 14.三角形不等式 （1）在锐角中， sinA + sinB + sinC cosA + cosB + cosC tanA + tanB + tanC cotA + cotB + cotC （2）三角形内角嵌入不等式（简称“嵌入不等式”） 在中，2+ 2+ 2 2yzcosA + 2xzcosB + 2zycosC （3）在中，sinAsinBcos2Acos2B 15ASA 的面积公式： S = 2sinBsinC 2sin（B + C） = 2sinAsinC 2sin（A + C） = 2sinAsinB 2sin（A + B） 16三角形四心：对于ABC （1）

9、重心 G + = 1向量定义： + 0 = 1 ( + ),P 为任意一点 + 2向量性质： 3 3面积性质：AGB = BGC= CGA=ABC 1 3 4定比分点性质： 重心 G为中线的一个三等分点， 即 G到顶点距离：G到该顶点对边中点的距离 = 2：1 （2）垂心 H = 1向量定义： = + tanB = + tanC 2向量性质：tanA 0 3面积性质：: = 对于非Rt tanA：tanB：tanC （3）外心 O | = | = | |， 1向量定义：| 2 即2 = 2= + sin2B+ sin2C = 2向量性质：sin2A 0 3面积性质：: = sinBOC:sin

10、AOC:sinAOB = sin2A：sin2B：sin2C （4）内心 I 1向量定义： ( ( () = ) = ) | | | | | | | | + = + 2向量性质：a 0 + sin = + sinC sinA 0 向量 ， + / | 0 时同向， 0 时 f(x1)f(2) f( ） 12 f( ） 当 f(x)为凸函数，即 f（x） 0 时，n + 1 1 时， 11 n+1 1 2 1 n1 n 1 1 1 2 0 时，mn mn 当 mn0 时，mn mn 五、排列组合 1隔板法 I m1 把n个相同元素放到m个集合中， 所得集合均非空， 则有n1 种 m1 x 1+x

11、2+xm=n 的正整数解个数为n1 2.隔板法 II 把 n 个相同元素放到 m 个集合中，所得集合可为空，则有 m1 mn1 种 m1 x 1+x2+xm=n 的非负整数解个数为mn1 m1 （a 1x1+a2x2+amxm） 展开式的项数为mn1 n 3.圆排列 从 n 个不同元素中抽取 m 个元素，按照一定的顺序排列成一 ( 圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数 = m1)！ 4.重复组合 从 n 个不同元素中抽取 m 个元素，元素可以重复选取，不管 顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数 = mn1 5组合恒等式（只例举了最简洁的四个） k1 k = n1 1 = n1 m1m1 组合数

12、的聚合性：1 = km = nm 6.从互不相同的 n 个非零数字中任取 m 个，所得 m 位数之和 为 S， S= （101）， 其中 为 n 个非零数字的算术平 9 1 均数 7 （ax+by） 或（a+bx） 展开式中，k = nn | | | | | ( 1)1 其中 表示高斯函数，即取整函数，则 1） 当（|） (n1)时，第 k 项系数绝对值最大 2） 当（| + |）|(n + 1)时，第 k 项系数=第 k-1 项系数 的绝对值最大 六、解析几何 1圆锥曲线统一极坐标方程 = ep 1ecos 2ep 1 2cos2 2圆锥曲线统一焦点弦长公式L = 1 2 3 1 1| 1

13、3 A （x 1， y1） ， B （x2， y2） ， C （x3， y3） ， 当且仅当 = 0时，三点共线 1 1 = | |2 2 3 4. A（x 1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4）四点共 圆的充要条件 5.A 1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三线共点的充 1 要条件|2 3 1 2 3 1 2|=0 3 6过（x 0，y0）引圆锥曲线 F（x,y）的弦，弦中点的轨迹方 程为 y-y 0=F（x,y） （x-x0） ， 当（x 0，y0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为 y-y0=F（x0,y0） （x

14、-x 0） 7.定比分点公式： A（x A，yA） ，B（xB，yB） ，AB 的+1 等分点坐标为（ 1 1 ， ） 28.若抛物线 y =2px，AB 是抛物线上的动弦，k OAkOB=，则 AB 恒过定点（ 2 ，0） 9.抛物线焦点弦性质： 抛物线焦点弦两端点 A（x 1，y1） 、B（x2，y2） ，焦点弦斜率为 k，焦点弦长度为 L （1）y 1y2=-p x 1x2= 4 2 2 2 2 2 x 1+x2=p+ 2=p（1 y 1+y2= 2 ） （2）L=x 1+x2+p= （3）k= （4） 2 1 2 2 sin2=2p（1 1 2 ）=（12） 2 2 1 4 1 1 2

15、 2 2 = 2 （5）= | 1 2| 10圆锥曲线焦点弦性质（通性） ： 焦点弦长为 L， （1）已知 x 1+x2 时， 椭圆：L=2a-e（x 1+x2） 双曲线：L=e| 1 2|-2a 抛物线：L=|1+ 2|+p （2）已知焦点弦倾斜角时， L= 2ep 1 2cos2 （3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦 的两个焦半径倒数之和为常数 112 += | 1| | 1| ep 双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差 为常数 112 | = | 1| | 1| ep （4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数 |2 2|11 += |2ep （5）圆锥曲线焦

16、点弦 AB 的中垂线于对称轴（标准方程中为 x 轴）于 D，|与|之比为 2 | = |2 （6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径 2 有心圆锥曲线：通径长 = 2 无心圆锥曲线：通径长 = 2p 11.圆锥曲线的焦半径（通性） （1）极点为焦点，极轴为 x 轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的为极径，即焦半径，为极角 ep = 1 cos （2）已知焦半径端点的横坐标 x 时 椭圆： = a ex 双曲线： = e|x| a 抛物线： = |x| + 2 12双焦点三角形面积： F 1.F2 为有心圆锥曲线两焦点 P 为椭圆上一个点， 12 = 2tan 2 P 为双曲线上一个点， 12 = cot

17、 2 2 13.圆锥曲线幂定理： 圆锥曲线 F （x,y） Ax +By +Dx+Ey+F=0 与一条过 M （x 0， y0） ， 且倾斜角为的直线 L 交于 P 1.P2 两点，则 12= （0，0） cos2+Bsin2 22 = 2+B2+D +E +F 0 000 cos2+Bsin2 14.点 P（x 0，y0）对圆锥曲线 C 引两条切线，连结切点所得 线为切点弦（极线） ，或点 P（x 0，y0）为切点，则极线方程 或切线方程为 （1）若 C 为椭圆，0 22 00 2 0 += 1 = 1 （2）若 C 为双曲线， 2 （3）若 C 为抛物线， 0 = p（x + 0） 15.

18、已知有心圆锥曲线 F（x,y） ，直线 l：f(x,y)，p 是 l 上 一点，射线 OP 交圆锥曲线于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足 | = |2，当 P 在 l 上移动时，Q 的轨迹方程即为 F （x,y）=f(x,y) 16曲线族 F（x,y,t）的包络为 F（x,y,t）= （x,y,t)=0 17. A （x 1， y1） ， B （x2， y2） ， 以 AB 为直径的圆的方程为（x-x1） （x-x 2）+（y-y1） （y-y2）=0 18.关于双曲线渐近线： （1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换， 有相同渐近线， 四焦点共圆， 离心率的倒数平方和为 1： （2）焦点到渐近

19、线距离为虚半轴长 b （3）若两渐近线夹角为，则双曲线离心率 e= 1 cos2 1 2 1 + 1 2 2 = 1 = sec 2 22 2+2 （4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数 （5）过双曲线上任意一点 M 作平行于实轴的直线交两渐近 线于 P.Q，则| = 2 19过有心圆锥曲线上一定点 P（x 0，y0）作倾斜角互补的两 直线与有心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值 02 k = 20 过无心圆锥曲线上上一定点 P（x 0，y0）作倾斜角互补的 两直线与无心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值 k = 0 以上情况中，APB 的角平分线 x=x 0

20、平行于 y 轴，APB 的 内切圆圆心恒过直线 x=x 0. 20.圆锥曲线光学性质： 椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点 双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线 必过另一焦点 抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过 焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴 21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且 定值为 b 22.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率 切点与中心连线的斜率 =椭圆弦斜率弦中点与中心连线的 斜率= 2 2 2 双曲线上动点对直径端点连线的斜率积 =双曲线切线的斜 率切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率弦中点与中心

21、连 线的斜率= 2 2 23.抛物线 y =2px 内接 RtOAB（以 O 为直角顶点） ，A（x 1， y 1）B（x2，y2） （1）x 1x2=4p ，y1y2=-4p （2）AB 恒过定点（2p,0） （3）AB 中点轨迹方程 y =p（x-2p） 2 22 2 （4）AB 边上高的垂足轨迹方程（x-p） +y =p 2（5） （S OAB）min=（ |） min=4p 222 1 2 24.对于极坐标方程 = f()，从 1 到 2，曲线所围成的面 积 2 2 S= （）d 2 1 1 对于极坐标方程 = f()，从 1 到 2，曲线所积出的长度 2 L= （）d 1 25圆锥曲

22、线上一弦 AB，其中点 M（x 0，y0） ，AB 的斜率为 （1）对于椭圆， = （2）对于双曲线， = （3）对于抛物线， = 20 20 20 20 0 26.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点 P（x 0，y0） ，另有 一直线 L 于圆锥曲线交于与 P 相异两点 A.B. 第一组：当 k PAkPB=（ 2）时 2 2 2 1） 对 于 椭 圆 ， L 恒 过 定 点 （ 2 2 ， 22 0 22 ） 22 0 2） 对于双曲线，L 恒过定点（ 22 ， 2 2 0 2 ） 2 2 0 3） 对于抛物线，L 恒过定点（0 第二组：当 k PA+kPB=（0）时 1） 对于椭圆，L 恒过定点（0 0） ， 0） 220 2 20 ， 2） 对 于 双 曲 线 ， L恒 过 定 点 (0 220 2 20 ， 0) 20 3） 对于抛物线， L 恒过定点（ 0 0） 七、立体几何 1万能求积公式： 1 V =（ 上 +