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文档简介

1、第五节 对坐标的曲面积分,一、有向曲面及有向小曲面的投影 二、对坐标的曲面积分的概念 三、对坐标的曲面积分的性质 四、对坐标的曲面积分的计算 五、两类曲面积分之间的联系,一、有向曲面及有向小曲面的投影,1.双侧曲面,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(1)如果规定法向量的指向朝上，就称取定曲面的上侧；,2.曲面的侧的概念,(3)如果规定法向量的指向朝前，就称取定曲面的前侧,(4)对于闭曲面，如果其规定法向量的指向朝外，就称取 定曲面的外侧.,通过规定曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.,(2)如果规定法向量的指向朝右，就称取定曲面的右侧；,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,

2、封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,3.有向曲面的概念,指定了侧的曲面叫有向曲面.,4.有向小曲面在坐标面上的投影,二、对坐标的曲面积分的概念,定义,被积函数,其中,积分曲面,10 对坐标的曲面积分也称为第二类曲面积分,注,20 如果是闭曲面, 则积分号“”,应改写为“ ”,30,三、对坐标的曲面积分的主要性质,性质1,性质2,性质2表明：对坐标的曲面积分必须注意积分曲面的侧（方向）!,其中 表示与 取相反侧的曲面,四、对坐标的曲面积分的计算,则,则,则,（前侧取“”，后侧取“”）,（上侧取“”，下侧取“”）,（右侧取“”，左侧取“”）,注,20 计算对坐标的曲面积分的思想方法：,简言之，“一投，二代，三定号”,一定投影区域， 二代被积函数， 三定积分符号,解,（上侧）,（下侧）,其中,例2 计算,其中 是由平面,与三坐标面所围成的四面体的整个表面的外侧.,解,(后侧);,(前侧).,其中,(左侧);,(下侧);,（1）先计算,【前侧取正】,(后侧);,(右侧).,其中,(左侧);,(下侧);,（2）再计算,【左侧取负，右侧取正】,故,五、两类曲面积分之间的联系,其中 是有向曲面在点,处的法向量的方向余弦.,注,10,解,因为取下侧，,故,于是，,利用两类曲面积分的联系,是连续函数，是平面

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