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文档简介
1、4.1.2(1) 极坐标系,高中数学选修4-4坐标系与参数方程,学习要点: 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系,在这两种坐标系中都可以确定点的位置,其各有特点.通常情况下,在运动的过程中,若点作平移变动,则选择直角坐标系;而若点作旋转变动,则采用极坐标系.,(1)若有一艘军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定他们的位置以便将它们引爆呢?,军 舰,水雷群,创设情境,创设情境,从这向北1000米,请问去农行路怎么走?,请分析上面这句话,他告诉了问路人什么?,从这向北走1000米!,出发点,方向,距 离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置.这种用方向和距离表示平面上一点的位置
2、的思想,就是极坐标的基本思想.,情境分析,一、极坐标系的建立:,在平面内取一个定点O,叫做极点.,引一条射线Ox,叫做极轴.,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向).,这样就建立了一个极坐标系.,O,新课讲解,二、极坐标系内一点的极坐标的规定:,对于平面上任意一点M,用 表示线段OM的长度,用 表示从Ox到OM 的角度, 叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标.,特别强调:表示线段OM的长度,即点M到极点O的距离;表示从Ox到OM的角度,即以Ox(极轴)为始边,OM 为终边的角.,新课讲解,例1、 如图,写出各点的极坐标:,x,1,数学运用,小结
3、由极坐标描点的步骤: (1) 先按极角找到点所在射线; (2) 在此射线上按极径描点.,题组1:说出下图中各点的极坐标,练一练,平面上一点的极坐标是否唯一? 若不唯一,那有多少种表示方法? 坐标不唯一是由谁引起的? 不同的极坐标是否可以写出统一表达式?,特别规定: 当M在极点时,它的极坐标=0,可以取任意值.,想一想?,三、点的极坐标的表达式的研究:,如图:OM的长度为4,,请说出点M的极坐标的其他表达式 .,思考:这些极坐标之间有何异同?,思考:这些极角有何关系?,这些极角的始边相同,终边也相同.也就是说它们是终边相同的角.,本题点M的极坐标统一表达式:,极径相同,不同的是极角.,新课讲解,
4、题组2:在极坐标系里描出下列各点,练一练,解析:,四、1、负极径的定义,说明:一般情况下,极径都是正值;在某些必要情况下,极径也可以取负值.,对于点M(,)负极径时的规定:,1作射线OP,使XOP= ,2在OP的反向延长 线上取一点M,使OM= ; 如图示:,新课讲解,2、负极径的实例,在极坐标系中画出点:M(3,/4)的位置,1作射线OP,使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M,使OM= 3; 如图示: M(3,/4),新课讲解,题组3:说出下图中当极径取负值时各点的极坐标,练一练,3、关于负极径的思考,“负极径”真是“负”的吗? 根据极径定义,极径是距离,当然是正的.现在所说的“
5、负极径”中的“负”到底是什么意思?,思考:试把负极径时点的确定过程,与正极径时点的确定过程相比较,看看有什么相同,有什么不同?,?,新课讲解,4、正、负极径时,点的确定过程比较,1作射线OP,使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M,使OM= 3,1作射线OP,使XOP= /4,2在OP的上取一点M,使OM= 3,画出点: (3,/4) 和(3,/4),给定,在极坐标系中描点的方法:先按极角找到极径所在的射线,后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点.,5、负极径的实质,从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”.,而反向延长也可以看成是旋转 ,因此,所谓
6、“负极径”实质是针对方向的.这与数学中通常的习惯一致,用“负”表示“反向 ”.,负极径小结:极径变为负,极角增加 .,答:(6, +),或(6, +),特别强调:一般情况下(若不作特别说明时),认为 0 .因为负极径只在极少数情况使用.,五、极坐标系下点的极坐标,探索点M(3,/4)的所有极坐标,1极径是正的时候:,2极径是负的时候:,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定(,),就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M.,2给定平面上一点M,但却有无数个极坐标与之对应.,原因在于:极角有无数个.,新课讲解,一般地,若(,)是一点M的极坐标,则(,+2k)或 (,+(2k + 1)都可以作
7、为它的极坐标.,若限定0,02或 ,则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是( ),A.(,) B.(,) C.(,) D.(,),C,D,题组4 1. 在极坐标系中,与点(3, )重合的点是( ),A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ),3.在极坐标系中,与点(8, )关于极点对称的点 的一个坐标是 ( ),A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ),A,思考:在本节开头关于修建高速公路的问题中能否在极坐标系中解题。,数学运用,例3. 已知点Q(, ),分别按下列条件求出点P的坐标: (1) P是点Q关于极点O的对称点; (2) P是点Q关于直线 的对称点. (3) P是点Q关于极轴的对称点。, 注意点M的极坐标具有多值性.,数学运用,3一点的极坐标是否有统一的表达式?,1建立一个极坐标系需要哪些要素?,极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向.,2极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式?,无数.极径有正有负;极角也有正负且无数个.,课堂小结,一般地,若(,)是一点M的极坐标,则(,+2k)或 (,+(2k + 1)都可以作为它的极坐标.,1、极坐标 (,2k+) 和(-,2k+)其中 表示同一个点(,);,2、
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