林寿数学史第十一讲：20世纪数学概观 I

1、第十一讲20世纪数学概观 i,国际数学家大会 纯粹数学的发展 数学基础大论战,国际数学家大会,克莱因(德, 1849-1925): 数学现状,世界哥伦布博览会:芝加哥1893,1897年国际数学家大会,庞加莱(法，1854-1912): 关于纯分析和数学物理的报告,具有极高才智的人物在过去开始的事业，我们今天必须通过团结一致的努力和合作以求其实现。,国际数学家大会,瑞士苏黎世工业大学 （1897年icm在此举行）,国际数学家大会,揭开隐藏在未来之中的面纱, 探索未来世纪的发展前景, 谁不高兴? 我们下一代的主流数学将追求怎样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域, 新世纪将会带来怎样的新方法和

2、新成就? 23个数学问题 外尔(德, 1885-1955): 希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手, 他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠, 跟着他跳进了数学的深河。 魏伊(法, 1906-1998): 希尔伯特问题就是一张航图, 过去50年间, 数学家总是按照这张航图来衡量他们的进步。 2000年国际数学年,希尔伯特(德, 18621943)：数学问题,1900icm,希尔伯特（德，18621943年）1880年柯尼斯堡大学，1885年博士，1893年教授 1895年哥廷根大学教授，1900年发表“数学问题”的著名演讲，1910年鲍约奖，1930年退休 不变量理论（18851893年）、代数数域理论

3、（18931898年）、几何基础（18981902年）、变分法与积分方程（18991912年）、物理学（19121922年）、一般数学基础（1917年以后） 柯朗（德，18881972年）：希尔伯特那有感染力的乐观主义，即使到今天也在数学中保持着他的生命力。唯有希尔伯特的精神，才会引导数学继往开来，不断成功。,国际数学家大会,莫斯科1966,赫尔辛基1978,华沙1983,京都1990,希尔伯特：我们必须知道，我们必将知道。,国际数学家大会,北京2002,国际数学家大会,国际数学家大会,马德里2006,菲尔兹奖(1936- ),菲尔兹(加, 1863-1932),1924年多伦多icm主席，强

4、调数学发展的国际性 1932年苏黎世icm通过 1936年奥斯陆icm颁发 1974年温哥华icm规定只授予40岁以下的数学家 1936-2006年, 49人获奖,国际数学家大会,菲尔兹奖(1936- ),菲尔兹奖章(正面) (超越人类极限, 掌握宇宙世界),菲尔兹奖章(反面) (全世界数学家聚会共同嘉奖对知识的卓越贡献),国际数学家大会,菲尔兹奖(1936- ),1936年阿尔福斯(芬-美, 1907-1996)关于复分析获奖,1936年道格拉斯(美,1897-1965)关于极小曲面获奖,国际数学家大会,1983年丘成桐(中-美, 1949- )关于微分几何获奖,菲尔兹奖(1936- ),国

5、际数学家大会,2002年icm江泽民主席与获奖者,菲尔兹奖(1936- ),国际数学家大会,菲尔兹奖(1936- ),国际数学家大会,2006年陶哲轩(澳, 1975- )关于偏微分方程、组合学、调和分析和加性数论的贡献获奖,国际数学家大会,菲尔兹奖(1936- ),2006年8月23日央视报道,结构数学与统一的数学,20世纪的数学大致可以分成两部分。20世纪前半叶被我称为“专门化的时代”，这是一个希尔伯特的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。布尔巴基的名字是与这种趋势联系在一起的。在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系

6、统或者其它系统能获得什么。20世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总结了我们看到的20世纪数学的一些方面 。,1966年获得菲尔兹奖 2004年获得阿贝尔奖,更高度的抽象,集合论观点与公理化方法 集合对象的抽象 推动数学研究的工具 20世纪数学抽象的范式,实变函数 泛函分析 抽象代数 拓扑学 概率论,纯粹数学的发展,实变函数论,分析的“分水岭” 1930年尼古丁(波, 1887-1974)的抽象测度论,1854年黎曼(德, 182

7、6-1866)定义了黎曼积分,泛函分析,创始时期(19世纪80年代至20世纪20年代): 1906年弗雷歇(法, 18781973), 1922年列维(法, 1886-1971)出版泛函分析 发展时期(20世纪20至40年代):1932年巴拿赫(波, 1892-1945)的线性算子论, 1940年盖尔范德(苏, 1913- ,w)的巴拿赫代数理论 成熟时期(20世纪40年代起):施瓦兹(法, 1915-2002, f)的广义函数理论, 格罗登迪克(法, 1928- , f)的核空间理论,巴拿赫,巴拿赫(波, 1892-1945) : 1910年中学毕业后自修数学, 后就读于利沃夫工学院, 19

8、17年发表关于傅里叶级数收敛的论文 1920年利沃夫工学院助教, 取得博士学位 1927年利沃夫工学院教授, 形成利沃夫学派 1929年创办数学研究, 1932年出版线性算子论 1936年奥斯陆icm上作大会报告, 1939年波兰数学会主席, 1939-1941年利沃夫大学校长 德国占领波兰期间, 寄生虫饲养员, 后得胃癌去逝,抽象代数,希尔伯特(德, 1862-1943)的抽象思维及公理方法的产物 经典代数学: 求解代数方程和代数方程组 抽象代数学: 公理化方法研究具有代数结构的集合 创立者: 诺特(德, 1882-1935)与阿廷(奥, 1898-1962) 范德瓦尔登(荷, 1903-1

9、996)近世代数学(1930-1931),抽象代数,阿廷,范德瓦尔登,诺特,诺特(德, 1882-1935) : 父亲是埃尔朗根大学数学教授, 1902年进入埃尔朗根大学, 1903年在哥廷根大学学习, 1907年通过博士论文答辩, 从事不变量研究 1916-1933年在哥廷根大学, 开创“近世代数”, 1932年苏黎世icm上作一小时报告 1933年9月到美国宾州布林莫尔女子学院 “根据现在的权威数学家们的判断, 诺特小姐是自妇女开始受到高等教育以来有过的最杰出的富有创造性的数学天才. 在最有天赋的数学家辛勤研究了几个世纪的代数学领域中, 她发现了一套方法, 当前一代年轻数学家的成长已经证明

10、了这套方法的巨大意义.”(爱因斯坦于纽约时报),拓扑学,七桥问题,形成,1736年欧拉(瑞, 1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题,拓扑学形成,拓扑学形成,拓扑学默比乌斯带,拓扑学克莱因瓶,拓扑学发展,豪斯道夫,1914年豪斯道夫(德, 1868-1942)集合论纲要,布劳威尔,莱夫谢茨,布劳威尔(荷, 1881-1966)和莱夫谢茨(俄-美, 1884-1972)的不动点定理,e嘉当,吴文俊,拓扑不变量,来源,概率论,1657年惠更斯(荷, 1629-1695)在“论赌博中的机会”中提出数学期望,研究随机现象数量规律的数学分支,帕斯卡(法, 1962),惠更斯(荷兰, 1929),赌博问

11、题1654年帕斯卡(法, 1623-1662)与费马(法, 1601-1665)通信讨论“点问题”,概率论,拉普拉斯(法, 1749-1827): 1774年提出概率的严格定义, 1812年出版分析概率论, 严格证明了棣莫弗-拉普拉斯积分极限定理(中心极限定理), 研究了统计问题,雅格布伯努利: 1713年出版猜度术, 伯努利大数定律,棣莫弗(法, 1667-1754) : 1738年出版机会的学说, 发现二项分布的极限形式为正态分布,概率论,柯尔莫哥洛夫,柯尔莫哥洛夫(苏, 1903-1987)概率论基本概念(1933),20世纪40年代后: 法国学派、苏联学派、日本学派、美国学派,柯尔莫哥

12、洛夫: 幼年由姨妈抚育 1920年进入莫斯科大学, 1922年成为鲁金（苏，18831950）的学生, 1929年研究生毕业 1931年任莫斯科大学教授, 1933年任数学所所长, 1939年当选苏联科学院院士并任科学院斯捷克洛夫数学所所长, 1980年获得沃尔夫奖 研究工作几乎遍及一切数学领域, 主要有调和分析、概率论、遍历论和动力系统, 发表学术论文488篇 20世纪苏联最有影响的数学家、20世纪为数极少的几个最有影响的数学家之一,数理逻辑,弗雷格(德, 1848-1925),1879年概念语言提供数理逻辑的体系, 一切数学可以化归为逻辑, 成为数理逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人 1884

13、年算术基础作为逻辑的延展建立数学, 从逻辑推出算术 由于罗素(英, 1872-1970)的工作, 弗雷格的工作受到重视,逻辑代数,施罗德(德, 1841-1902)逻辑代数讲义(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰,施罗德,数学基础,数理逻辑,皮亚诺(意, 1858-1932),以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面 1889年算术原理新方法完成了整数的公理化处理, 给出了自然数公理 1895-1908年5卷本的数学公式汇编试图从逻辑记号的若干基本公理出发, 建立整个数学体系, 希望将数理逻辑的概念应用在数学各分支的所有已知结果上 对罗素(英, 1872-1970

14、)及布尔巴基学派的工作产生影响,数学基础,数学基础,逻辑主义,罗素(英, 1872-1970) 受弗雷格(德, 1848-1925)和皮亚诺(意, 1858-1932)的影响 1903年数学的原理, 19101913年数学原理 数学就是逻辑 1920年来中国讲学一年, 1950年获得诺贝尔文学奖,直觉主义,布劳威尔(荷, 1881-1966) 受庞加莱(法, 1854-1912)的影响 1907年论数学基础 数学独立于逻辑，数学的基础是“原始知觉” 构造主义,数学基础,形式主义纲领,1900年希尔伯特问题: 连续统假设；算术公理的相容性 1922年提出希尔伯特纲领: 将数学形式化, 构成形式系

15、统, 通过有限的证明方法, 借助超限公理, 导出无矛盾的数学系统 1928年提出4个实施步骤:,希尔伯特(德, 1862-1943),分析的无矛盾性 选择公理的无矛盾性 算术及分析形式的完全性 一阶谓词逻辑的完全性,数学基础,数学原理,论数学基础,数理逻辑基础,1903年罗素悖论. 把集合分成两类 ： 凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合设m表示第一类集合全体所成的集合若m是第一类集, 则mm, 由m的定义, mm, 矛盾; 若m是第二类集, 则mm, 由m的定义, mm, 矛盾.,数学基础,公理集合论,康托(德,

16、1845-1918)意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾 . 1900年巴黎icm上庞加莱(法, 1854-1912)说: 绝对的严密性已经达到了.,集合论矛盾的出现，形成第三次数学危机，动摇了整个数学的基础, 导致了策梅罗系统的诞生.,罗素(英, 1872-1970),策梅罗(德, 1871-1953),数学基础,公理集合论,1963年柯恩(美, 1934-2007, f)证明了连续统假设的独立性,哥德尔(奥-美, 1906-1978),科恩(美, 1934-2007),公理集合论的主要开创者 1904年发表“每一集合都能够被良序地证明”, 提出了良序定理, 选择公理 1908年给出

17、策梅罗系统 1921-1923年费兰克尔(德 , 1891-1965)提出“替换公理”, 1925年冯 诺伊曼(匈-美, 1903-1957)提出“正则公理” 1929-1930年策梅罗确定为“策梅罗-费兰克尔公理系统”(zf系统, zfc系统) 1938年哥德尔(奥-美, 1906-1978)证明了选择公理、连续统假设的相容性,数学基础,哥德尔时代,哥德尔(奥-美, 1906-1978),亚里士多德、莱布尼茨以来最伟大的逻辑学家 数学家、哲学家 19061924年：捷克布尔诺，“为什么先生” 19241939年：奥地利维也纳，博士，不完备性定理、连续统假设，3次赴美国讲学，维也纳大学无薪讲师； 19401978年：美国普林斯顿，教授，研究哲学 1951年“爱因斯坦勋章”，1975年美国“总统奖”,数学基础,爱因斯坦与哥德尔,第十一讲思考题,1、以抽象代数为例谈谈数学的抽象性。 2、代数学的发展经历了哪几个不同的阶段？在这些不同的阶段中，代数学的中心问题是什么？ 3、在数学国际化中看“孤独的数学家”。 4、谈谈公理化运动在您所学过的哪些数学课程中有所体现。,教学工作安排,今天是第14周星期三(5月28日) 第15周