ch5_structure.ppt

1、（第十讲）数字滤波器结构,1,第五章 数字滤波器的结构Structures for Discrete-Time System,（第十讲）数字滤波器结构,2,第五章 离散时间系统的结构 Structures for Discrete-Time System,线性时不变系统的输入输出序列满足线性常系数差分方程。由于系统函数是单位脉冲响应的Z变换，而输入和输出满足的差分方程又可以凭直观从系统函数来确定，因此差分方程、单位脉冲响应和系统函数都是线性时不变离散时间系统输入/输出的等效表征。 当这样的系统用离散时间模拟或数字硬件给予实现时，就必须将差分方程或系统函数表示转换成一种以所需要的技术能给予实现的

2、算法或结构。 本章学习将看到，由线性常系数差分方程描述的系统能够用由加法、乘法和延迟等基本运算的互联所组成的结构来表示。,（第十讲）数字滤波器结构,3,第五章 离散时间系统的结构 Structures for Discrete-Time System,本章将会看到：输入序列和输出序列之间有多种运算结构可以实现相同的关系。因此在系统实现中发现并讨论一些重要的论题： 1、代表线性时不必因过系统的线性常系数差分方程的运算结果或网络的方框图和信号流图描述。 、利用代数运算和方框图表示的处理，可以导出实现一个因果线性时不变系统的许多基本等效结构。 、对于系数和变量的无限精度表示，对系统的输入输出特性来说

3、，不同结构可能是等效的；但当数值精度有限时，它们在性能上可能有很大的差异，这就是对研究不同实现结构感兴趣的主要原因。 、系统系数有效精度表示的影响，以及在中间计算工程中的截断和舍入效应均应予以考虑。,（第十讲）数字滤波器结构,4,5.1 数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波器的功能本质上说是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台完成给定运算的数字计算机。,Characterizations of the input/output relation of a linear time-invariant discrete-time system: 1)

4、 difference equation 2) impulse response 3) system function For example: A system with the system function:,（第十讲）数字滤波器结构,5,The impulse response of this system is:,（第十讲）数字滤波器结构,6,第五章 数字滤波器的结构 Structures for Discrete-Time System,数字滤波器一般可以用两种方法来实现： 用数字硬件装配成一台专门的设备，成为数字信号处理机。 直接利用通用计算机的软件来实现。 例如，一个数字滤波器

5、，它的系统函数（也即滤波器的传递函数）如果为 它所表达的运算可用差分方程来表示,（第十讲）数字滤波器结构,7,（第十讲）数字滤波器结构,8,（第十讲）数字滤波器结构,9,Generalized to higher-order difference equation:,（第十讲）数字滤波器结构,10,这个运算可以用图5.1所示的专用设备来实现。 这个设备是由输入输出延时部分、系数ai、bi存储器、运算器及控制器组成。 每一部分都可以用数字硬件来构成，这就是一台硬件结构的数字滤波器。 可编程器件： FPGA、CPLD Xilinx Altera,（第十讲）数字滤波器结构,11,第五章 数字滤波器的

6、结构 Structures for Discrete-Time System,同样这个运算也可以在通用计算机上实现。编程灵活，调试方便，但实时性相当差。 以一阶数字滤波器为例： 只要按照图5.2的流 程图编成程序，就可以让 一台通用计算机来完成 这个运算。,输入b0 b1 x(n),图5.2,（第十讲）数字滤波器结构,12,第五章 数字滤波器的结构Structures for Discrete-Time System,一个数字网络可以用差分方程表示，也可以用单位脉冲响应表示，或者用系统函数来表示。 对于研究这个系统的实现方法（即它的运算结构）来说，用方块结构图最直接。 这种运算结构也可以用信号

7、流图来表示。对于延时、乘以系数以及相加这三种基本运算来说，信号流图表示法如图5.4所示。,b0,（第十讲）数字滤波器结构,13,第五章 数字滤波器的结构,图5.3所示的一阶数字滤波器的结构可以用信号流图表达为一个6节点的简单图。节点上的信号值称为节点变量或节点状态，图中所示的六个节点状态分别是： = 可以看到，用信号流图表达数字网络的结构可以更简洁，我们在下面将普遍采用信号流图的办法来分析数字滤波器的结构。,图5.5一阶数字滤波器的信号流图,191,滤波器实现结构的多样性, 不同结构可以有相同的系统函数 ( 无限精度 ) 不同结构在有限字长情况下不尽相同 ( 有限精度 ) 资源 (number

8、 of delays, adders, multipliers) 鲁棒性（ robustness） 误差传播等,运算结构的不同将会影响系统许多重要的性能 ： 1、系统的运算量和存储量-运算速度 2、系统系数量化灵敏度-系统精度 3、误差的传播等-系统误差及稳定性 对于无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器与有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器，它们在结构上各自有自己不同的特点，下面将对它们分别加以讨论。,（第十讲）数字滤波器结构,15,第五章 数字滤波器的结构 Structures for Discrete-Time System,一个N阶LTI DTS的系统函数：,用差分方程可以表达为：,（第十讲

9、）数字滤波器结构,16,（第十讲）数字滤波器结构,17,第五章 数字滤波器的结构 Structures for Discrete-Time System,5.2 IIR(Infinite Impulse Response)滤波器的结构 IIR滤波器的传递函数 在有限z平面上有极点存在。它的单位脉冲响应 延续到无限长，而它的结构上的特性是存在反馈环路，也即结构上是递归型的。 具体实现起来，结构并不是唯一的。同一个传递函数 ，可以有各种不同的结构形式，其中主要的基本结构形式有以下几种:,（第十讲）数字滤波器结构,18,第五章 数字滤波器的结构,(1) 直接型 Direct forms 一个N阶II

10、R滤波器的传递函数可以表达为 (5-1) 用差分方程可以表达为,图5.6 N 阶数字滤波器的信号流图表达,(5-2),b0,H(z)的 零点相,H(z)的 极点相,Adder：M+N Multiplier: M+N+1 Unit Delayer: M+N,（第十讲）数字滤波器结构,19,第五章 数字滤波器的结构,从这个差分方程表达式可以看出， 是由两部分相加构成： 第一部分 是一个对输入 的N节延时链结构，每节延时抽头后加权相加，也即是一个横向结构网络。 第二部分 也是一个N节延时链的横向结构网络，不过它是对 延时，因此是个反馈网络。 它的结构也可以用方框结构图表示，如下图5.7：,(5-2)

11、,（第十讲）数字滤波器结构,20,第五章 数字滤波器的结构,从图中我们可以看到，直接型结构需要2N级延时单元。,(b) 图5.7 直接型方框结构图,b0,b0,（第十讲）数字滤波器结构,21,第五章 数字滤波器的结构,(2) 正准型 上面直接型结构中的两部分也可分别看作是两个独立的网络，其第一部分的传递函数为 差分方程是 其第二部分的传递函数为 差分方程是,（第十讲）数字滤波器结构,22,第五章 数字滤波器的结构,这两部分串接后即构成总的传递函数 由于系统是线性的，显然将级联的次序调换不会影响总的结果。即 其结构如图,图5.8 直接型的变形,b0,特征: 1. (N+M+1) 乘法器 2. (

12、 N+M) 加法器 3. ( N+M) 延迟单元,（第十讲）数字滤波器结构,23,第五章 数字滤波器的结构,即信号先经过反馈网络 ，其输出为中间变量 再将 通过直馈网络 ，就得到系统的最后输出,（第十讲）数字滤波器结构,24,第五章 数字滤波器的结构,改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这样延时单元可以节省一倍，即N阶滤波器只需要N级延时单元。这种结构称为正准型结构或直接II型结构，而把直接型称为直接I型。,直接II型(正准型),b0,b0,特征: 1. (N+M+1) 乘法器 2. ( N+M) 加法器 3. ( N) 延迟单元,H(z)的 零点相,H(z)的 极点相,（第十讲

13、）数字滤波器结构,25,EXAMPLE:,（第十讲）数字滤波器结构,26,MATLAB IMPLEMENTATION,In Matlab the direct form structure is described by two row vectors: b containing the bn coefficients a containing the an coefficients The structure is implemented by the filter function.,y = filter(b,a,X),The filter function is implemented

14、as a direct form II transposed structure,（第十讲）数字滤波器结构,27,直接型实现的优缺点,1、优点：简单、直观、而且所用资源最少。 2、缺点： 系统参量（系数）ak、bk与系统函数H(z)的零、极点关系不明显，特别是高阶系统。-频率响应、稳定性？ 理论上系数可为无限精度 实际系统有限字长效应，存在量化误差：,（第十讲）数字滤波器结构,28,直接型实现的优缺点,2、缺点： 高阶系统对参量（系数）ak、bk的量化误差比较敏感（影响大） 实际系统的量化精度由系统字长确定； 但对系数量化误差的灵敏度则取决于系统的结构及零、极点位置。 具体：奥本海姆P303

15、结论：直接型实现系统对量化误差敏感，适用于一、二阶IIR系统，高阶IIR系统一般不采用直接型。,（第十讲）数字滤波器结构,29,Effects of Coefficients Quantization in IIR Systems,1. Sensitivity: Suppose a system with system function:,Quantize the coefficients:,（第十讲）数字滤波器结构,30,Effect of quantizing the denominator coefficients on the locations of the poles of the

16、 system:,-coefficient quantization error sensitivity 系数量化误差灵敏度,量化精度由系统字长确定,系数极点对 量化误差 的灵敏度,第i极点对 第k个系数ak变化的 灵敏度,（第十讲）数字滤波器结构,31,（第十讲）数字滤波器结构,32,The equation is a measure of sensitivity of the ith pole to the quantization error in the kth coefficient in the denominator of H(z),See in figure： 结论：系统极点（

17、零点）分布越密集，系统对在相同的 量化误差，灵敏度越高，即零、极点偏差越大。 If the poles (or zeros) are tightly clustered, it is possible that small errors in the denominator (numeration) coefficients can cause large shifts of the poles (or zeros) for the direct form structures.,（第十讲）数字滤波器结构,33,The larger number of clustered poles, the

18、 greater the sensitivity.,（第十讲）数字滤波器结构,34,一般来说，一、二阶系统极点少而稀疏，可采用直接型实现； 高阶系统极点数目多且密集，系统对有限字长量化误差敏感程度高， 并且阶数增加，总偏差将更大，一般不宜采用直接型实现。 解决思路：将高阶系统分解成各低阶子系统。,而总的偏差为：,（第十讲）数字滤波器结构,35,第五章 数字滤波器的结构Structures for Discrete-Time System,(3) 级联型 Cascade forms 一个N阶的传递函数也可以用它的零、极点来表示，也即它的分子、分母都表达为因子形式 (5-3) 由于 的系数 都是实

19、系数，因此零极点 只有两种情况：或者是实根，或者是共轭复根。即,（第十讲）数字滤波器结构,36,第五章 数字滤波器的结构,式中 表示实根； 表示复根，并且 。 再将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子，则 如果把单实根因子也看作是二阶因子的一个特例：即二次项系数( 或 )等于零的二阶因子，则整个函数 可以完全分解成实系数二阶因子的形式,(5-4),（第十讲）数字滤波器结构,37,第五章 数字滤波器的结构,这样滤波器就可以用若干二阶网络级联起来构成，这些二阶网络也成为滤波器的二阶基本节。它的传递函数的一般形式为 这样一个二阶基本节可以采用直接II型结构来实现，整个滤波器则是他们的级联。

20、 整个结构如图,典范型,（第十讲）数字滤波器结构,38,Example,(a) Cascade structure (Direct form I subsystem) (b) Cascade structure (Direct form II subsystem),（第十讲）数字滤波器结构,39,MATLAB IMPLEMENTATION,function b0,B,A = dir2cas( b,a ) %Direct-form to cascade-form conversion % b0=gain coefficient % b = numerator polynomial coeffic

21、ients of direct form % a = denominator polynomial coefficients of direct form % compute gain coefficient b0 b0=b(1); b=b/b0; a0=a(1); a=a/a0; b0=b0/a0; % M=length(b); N=length(a); if N M b=b zeros(1,N-M); elseif M N a=a zeros(1,M-N); else N=M; end,% K=floor(N/2); % N/2 取整 B=zeros(K,3); A=zeros(K,3);

22、 if K*2=N b=b 0; a=a 0; end % broots=cplxpair(roots(b); % 分子多项式 零点共轭对 aroots=cplxpair(roots(a); % 分母多项式 极点共轭对 for i=1:2:2*K Brow=broots(i:1:i+1,:); Brow=real(poly(Brow); B(fix(i+1)/2),:)=Brow; Arow=aroots(i:1:i+1,:); Arow=real(poly(Arow); A(fix(i+1)/2),:)=Arow; end,（第十讲）数字滤波器结构,40,EXAMPLE:16y(n)+12y

23、(n-1)+2y(n-2)-4y(n-3)-y(n-4) =x(n)-3x(n-1)+11x(n-2)-27x(n-3)+18x(n-4)Determine its cascade form structure., b=1,-3,11,-27,18 a=16,12,2,-4,-1 b0,B,A=dir2cas(b,a) b0 = 0.0625 B = 1.0000 0.0000 9.0000 1.0000 -3.0000 2.0000 A = 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 -0.2500 -0.1250,（第十讲）数字滤波器结构,41,function y = cas

24、filtr( b0,B,A,x),function y = casfiltr( b0,B,A,x) %CASCADE from realization of IIR and FIR filters % K,L=size(B); N=length(x); w=zeros(K+1,N); w(1,:)=x; for i=1:1:K w(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),w(i,:); end y=b0*w(K+1,:);,（第十讲）数字滤波器结构,42,To check the cascade structure is correct, let us compute the

25、first 8 samples of the impulse response using both forms.,% 级联形式转换 % b = 1,-3,11,-27,18; a = 16,12,2,-4,-1; b0,B,A = dir2cas(b,a) format long; delta = impseq(0,0,7); hcas = casfiltr(b0,B,A,delta) hdir = filter(b,a,delta),（第十讲）数字滤波器结构,43,delta = 1 0 0 0 0 0 0 0 hcas = Columns 1 through 4 0.0625000000

26、0000 -0.23437500000000 0.85546875000000 -2.28417968750000 Columns 5 through 8 2.67651367187500 -1.52264404296875 0.28984069824219 0.49931716918946 hdir = Columns 1 through 4 0.06250000000000 -0.23437500000000 0.85546875000000 -2.28417968750000 Columns 5 through 8 2.67651367187500 -1.52264404296875 0

27、.28984069824219 0.49931716918945,（第十讲）数字滤波器结构,44,级联型的特点：,1、各子系统的零极点可单独调整，且为系统零极点，因而可准确调整系统零极点，达到系统频响特性。 2、每个子系统为一、二阶系统，零极点密度较高阶网络稀疏，各子系统量化敏感度较低。 注意： 1、各子系统级联排列顺序可以调整，对无限精度系统来说，次序不同但可表示同一H(z)，但对有限精度系统，各子系统量化误差不互相影响，但不同次序排列，总误差将有所不同，因而排列有优化问题。 2、实零极点项两两因子组合有配对问题，同样分子分母多项是也有配对问题，同样对有限字长系统，配对有优化问题。 3、级联

28、计算必须注意计算溢出，否则须乘以比例因子。,（第十讲）数字滤波器结构,45,配对和排列次序对系统有重要影响，一般配对和排列次序准则： 1、靠近单位圆的极点和z平面上与之相近的零点配对，直到所有零极点配对完为止。 2、根据极点靠近单位圆的原则，对得到的二阶子系统排序，以距离单位圆近或远来对各基本系统排序。,级联型的特点：,（第十讲）数字滤波器结构,46,第五章 数字滤波器的结构,(4) 并联型 Parallel forms 将传递函数展开成部分分式就可以用并联的方式构成滤波器。 对于其中的共轭复根部分，再将它们成对地合并为二阶实系数的部分分式，则 其中， 。,(5-5),（第十讲）数字滤波器结构

29、,47,第五章 数字滤波器的结构,这样就可以用L个一阶网络、M个二阶网络、以及一个常数A0网络并联起来组成滤波器H(z)，其结构如图5.11。 当然也可以全部采用二阶节的结构，这时可将式(5-5)中实根部分两两合并以形成二阶分式。,典范型,（第十讲）数字滤波器结构,48,MATLAB IMPLEMENTATION,function C,B,A = dir2par( b,a ) %Direct-form to parallel-form conversion,function y = parfiltr( C,B,A,x),（第十讲）数字滤波器结构,49,Problem:16y(n)+12y(n-

30、1)+2y(n-2)-4y(n-3)-y(n-4) =x(n)-3x(n-1)+11x(n-2)-27x(n-3)+18x(n-4)Determine its parallel form structure., b=1,-3,11,-27,18 a=16,12,2,-4,-1 C,B,A=dir2par(b,a) C = -18 B = 10.0500 -3.9500 28.1125 -13.3625 A = 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 -0.2500 -0.1250,（第十讲）数字滤波器结构,50,To check the parallel structure i

31、s correct, let us compute the first 8 samples of the impulse response using both forms.,% 并联形式转换 % b = 1,-3,11,-27,18; a = 16,12,2,-4,-1; b0,B,A = dir2par(b,a) format long; delta = impseq(0,0,7); hpar = parfiltr(b0,B,A,delta) hdir = filter(b,a,delta),（第十讲）数字滤波器结构,51,delta = 1 0 0 0 0 0 0 0 hpar = Co

32、lumns 1 through 4 0.06250000000000 -0.23437500000000 0.85546875000000 -2.28417968750000 Columns 5 through 8 2.67651367187500 -1.52264404296875 0.28984069824219 0.49931716918945 hdir = Columns 1 through 4 0.06250000000000 -0.23437500000000 0.85546875000000 -2.28417968750000 Columns 5 through 8 2.6765

33、1367187500 -1.52264404296875 0.28984069824219 0.49931716918945,（第十讲）数字滤波器结构,52,并联型的特点：,1、各子系统并联，相互独立，各支路参数量化误差互不影响，因而系统对有限字长引起的影响的灵敏度低（突出优点）。 2、每个子系统为一、二阶系统，零极点密度较高阶网络稀疏，各子系统量化敏感度较低。 3、各子系统的极点为系统的极点，系统极点调整准确。 但是：各子系统分子多项式系数与系统零点无明显关系。,（第十讲）数字滤波器结构,53,Conclusion:,If the poles (or zeros) are tightly c

34、lustered, it is possible that small errors in the denominator (numeration) coefficients can cause large shifts of the poles (or zeros) for the direct form structures. (2) The cascade is generally much less sensitive to coefficient quantization than the equivalent direct form realization. (3) The par

35、allel structures are usually considered less sensitive to coefficient quantization than the equivalent direct form realization too.,（第十讲）数字滤波器结构,54,第五章 数字滤波器的结构Conclusion:,IIR滤波器的几种结构形式的性能： 直接型(直接I型)：需要2N级延时单元。 正准型(直接II型)：只需要N级延时单元，节省资源。 直接(I,II)型在实现原理上是类似的，都是直接一次构成。共同的缺点是，系数ai bi对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方

36、便。更严重的是当阶数N较高时，直接型结构的极点位置灵敏度太大，对字长效应太明显，因而容易出现不稳定现象并产生较大误差。因此一般来说，高阶系统采用另两种结构将具有更大的优越性。,（第十讲）数字滤波器结构,55,第五章 数字滤波器的结构,级联型：每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点，便于准确实现滤波器的零、极点，也便于性能调整。 级联结构可以由许多不同的搭配方式，在实际工作中，由于运算字长效应的影响，不同排列所得到的误差和性能也不一样。 并联型：可以单独调整极点位置，但不能直接控制零点。在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联型总的说，误差要稍小一些。 因此当要求有准确

37、的传输零点时，采用级联型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联型稍好一点。,（第十讲）数字滤波器结构,56,第五章 数字滤波器的结构,例5. 1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分方程如下：,（第十讲）数字滤波器结构,57,试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到,例5. 2 设系统函数H(z)如下式：,roots(b); roots(a);,（第十讲）数字滤波器结构,58,例5. 3 画出例题5. 2中的H(z)的并联型结构。 解： 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：,将每一部分用直接型结构

38、实现，其并联型网络结构。,（第十讲）数字滤波器结构,59,5.3 FIR(Finite Impulse Response)滤波器的结构,有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的特点是它的 是一个有限长序列，例如长度为N。因此它的传递函数一般具有如下形式,（第十讲）数字滤波器结构,60,5.3 FIR(Finite Impulse Response)滤波器的结构,因此它的传递函数一般具有如下形式 FIR滤波器具有以下几种基本结构形式。 (1) 横截型 将式(5-6)直接用差分方程表达,(5-6),(5-7),（第十讲）数字滤波器结构,61,第五章 数字滤波器的结构,很明显，这就是一条输入 延时链的横

39、向结构，如图5.12所示，稍加改变也可形成图5.13的结构。 横截型的差分方程式(5-7) 也就是信号的卷积形式，因此横截型结构也可称为卷积型结构，有时也称为FIR直接型。,转置型,M,M,M-1,M-1,M-2,特征: 1. (M+1) 乘法器 2. ( M) 加法器 3. ( M) 延迟单元,5.3 FIR(Finite Impulse Response)滤波器的结构,（第十讲）数字滤波器结构,62,Matlab Implementation In Matlab the direct form FIR structure is described by the row vector b c

40、ontaining the bn coefficients. The structure is implemented by the filter function, in which the vector a is set to the scalar value 1. Function: y = filter(b,1,x),（第十讲）数字滤波器结构,63,第五章 数字滤波器的结构,(2) 级联型 当需要控制滤波器的传输零点时，可将传递函数分解为二阶实系数因子的形式： 这样就可以用二阶节级联起来构成，如图5.14 这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用。但它所需要的系数

41、 比直接型的 多，运算时所需的乘法运算也比直接型多。,(5-8),5.3 FIR(Finite Impulse Response)滤波器的结构,（第十讲）数字滤波器结构,64,例5.4 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。,解 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其级联型结构和直接型结构如图所示。,5.3 FIR(Finite Impulse Response)滤波器的结构,第五章 数字滤波器的结构,（第十讲）数字滤波器结构,65,

42、Matlab ImplementationFunction: dir2cas, cas2dir,Although it is possible to develop a new Matlab function for the FIR cascade form, dir2cas function for IIR can be used to obtain the FIR cascade form by setting the denominator vector a equal to 1. Similarly, cas2dir function can be used to obtain the

43、 direct form from the cascade form.,（第十讲）数字滤波器结构,66,4）线性相位FIR滤波器结构 Structures For Linear Phase FIR System,For frequency-selective filters(e.g. lowpass filters) it is generally desirable to have a phase response that is a linear function of frequency; that is , we want Where =0 or /2 and is a constan

44、t.,（第十讲）数字滤波器结构,67,1. Assuming that M is an even integer (type I and III), the output of the linear phase system is: For type I systems：,设： k=M-m,m置换回k,（第十讲）数字滤波器结构,68,For type III systems：,（第十讲）数字滤波器结构,69,EXAMPLE-TYPE I SYSTEM,?,（第十讲）数字滤波器结构,70,EXAMPLE-TYPE III SYSTEM,?,（第十讲）数字滤波器结构,71,2. Assuming

45、that M is an odd integer (type II and type IV), the output of the linear phase system is:,（第十讲）数字滤波器结构,72,EXAMPLE-TYPE II SYSTEM,?,（第十讲）数字滤波器结构,73,EXAMPLE-TYPE IV SYSTEM,?,（第十讲）数字滤波器结构,74,四种类型的频率响应Type I,（第十讲）数字滤波器结构,75,四种类型的频率响应Type III,（第十讲）数字滤波器结构,76,四种类型的频率响应Type II,（第十讲）数字滤波器结构,77,四种类型的频率响应Type

46、 IV,（第十讲）数字滤波器结构,78,EXAMPLE,An FIR filter is given by the system function Determine and draw the direct, linear-phase, and cascade form structures.,Solution: a、Direct form: b、Linear-phase form,X(n),（第十讲）数字滤波器结构,79,C、Cascade form: b=1,0,0,0,16+1/16,0,0,0,1 broots=roots(b),broots = -1.4142 + 1.4142i -

47、1.4142 - 1.4142i 1.4142 + 1.4142i 1.4142 - 1.4142i -0.3536 + 0.3536i -0.3536 - 0.3536i 0.3536 + 0.3536i 0.3536 - 0.3536i, poly(broots(1),broots(2) ans = 1.0000 2.8284 4.0000, poly(broots(3),broots(4) ans = 1.0000 -2.8284 4.0000, poly(broots(5),broots(6) ans = 1.0000 0.7071 0.2500, poly(broots(7),bro

48、ots(8) ans = 1.0000 -0.7071 0.2500,（第十讲）数字滤波器结构,80,d、Linear-phase cascade form: b=1,0,0,0,16+1/16,0,0,0,1 broots=roots(b),broots = -1.4142 + 1.4142i -1.4142 - 1.4142i 1.4142 + 1.4142i 1.4142 - 1.4142i -0.3536 + 0.3536i -0.3536 - 0.3536i 0.3536 + 0.3536i 0.3536 - 0.3536i, poly(broots(1),broots(2)，bro

49、ots(5),broots(6) ans =1.0000 3.5355 6.2500 3.5355 1.0000, poly(broots(3),broots(4)， broots(7),broots(8) ans =1.0000 -3.5355 6.2500 -3.5355 1.0000,（第十讲）数字滤波器结构,81,第五章 数字滤波器的结构(5) 频率采样型,我们在前面讨论了有限长序列可以进行频域采样。现在既然 是长度为N的序列，因此也可以对传递函数 在单位圆上作N等分采样，这个采样值也就是 的离散傅里叶变换值 用频率采样表达z函数的内插公式： 这个公式为我们实现FIR滤波器提供了另外一

50、种结构，这种结构是由两部分级联而成,(5-9),（第十讲）数字滤波器结构,82,第五章 数字滤波器的结构 (5) 频率采样型,第一部分 是一个由N节延时单元所构成的梳状滤波器： 它在单位圆上有N个等分的零点： 它的频响是梳齿状的，如图5.15所示。,(5-10),(5-11),（第十讲）数字滤波器结构,83,第五章 数字滤波器的结构,第二部分是一组并联的一阶网络： 其中每一个一阶网络都是一个谐振器，构成一个谐振器柜： 这个一阶网络在单位圆上有一个极点：,(5-12),（第十讲）数字滤波器结构,84,第五章 数字滤波器的结构,因此网络对频率为 的响应将是，所以，网络是一个谐振频率为 的无耗谐振器

51、。这些并联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使在这个频率点上的响应等于 。,由这样两部分级联起来后，就得到图5.16所示的总结构。这个结构的特点是它的系数 直接就是滤波器在 处的响应。因此控制滤波器的响应是很直接的。,（第十讲）数字滤波器结构,85,第五章 数字滤波器的结构,但是这个结构有两个主要的缺点： 一是所有的相乘系数 都是复数，乘起来较麻烦； 二是所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量化的影响，有些极点实际上是不能与梳状滤波器的零点相抵销的，这样，系统是不稳定的。,（第十讲）数字滤波器结构,86,第五章 数字滤波器的结构,为了克服这个缺点，首先我们做一点修正，将所有

52、的谐振器的极点从单位圆向内收缩一点，使它处在一个靠近单位圆但半径比单位圆小 的圆上，同时，梳状滤波器的零点也移到r圆上，也即 将频率采样由单位圆移到修正半径 圆上，如图5.17。这时,其中 是修正点上的采样值，但由于修正半径 ，因此 。即,（第十讲）数字滤波器结构,87,第五章 数字滤波器的结构,因此 另外，为了使系数为实数，可以将谐振器的共轭根合并，这些共轭根在圆周上是对称的。即 同时，如果 是实数的话，它的DFT也是周期共轭对称的。 因此，可以将第 及第 个谐振器合并为一个二阶网络：,(5-13),（第十讲）数字滤波器结构,88,第五章 数字滤波器的结构,其中 这个二端网络是一个有限Q值的

53、谐振器。谐振频率为 ，结构如图5.18,(3-14),(3-15),（第十讲）数字滤波器结构,89,第五章 数字滤波器的结构,除了共轭复根外，尚有实根。当N为偶数时，有一对实根，它们分别为 ，因此尚有两个对应的一阶网络： 其结构如图5.19所示。当N为奇数时，只有一个实根 ，因此相对应只有一个一阶网络 。,(5-16),(5-17),图5.19,（第十讲）数字滤波器结构,90,第五章 数字滤波器的结构,这样就可以得到改进后的总结构。 N为偶数时 但是，N为奇数时,(5-18),(5-19),（第十讲）数字滤波器结构,91,第五章 数字滤波器的结构,为偶数时，其总结构如图5.20，在谐振器柜中，

54、两端两个是一阶的，其余中间的都是二阶的，其内部结构分别见图5.18和图5.19。 但是当N为奇数时，最后一个一阶网络 就不必要了。 这种结构我们可以看到，既有递归部分谐振器柜，也有非递归部分梳状滤波器,（第十讲）数字滤波器结构,92,第五章 数字滤波器的结构,一般看，频率采样的结构比较复杂，所需的存储器及乘法器也比较多。但是在以下几种情况下，使用频率采样结构却可以带来一定的好处。 如果多数采样值 为零，例如在窄带低通滤波器的情况下，这时谐振器柜中只剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接法少用乘法器，但存储器还是要比直接法用得多一些。 在有些情况下，信号处理需要同时使用很多并列的滤波器。例如

55、在信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时这些并列的滤波器可以采用频率采样结构。并且可以大家,（第十讲）数字滤波器结构,93,第五章 数字滤波器的结构,公用一个梳状滤波器及谐振器柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需滤波器，这样的结构就有很大的经济性。 频率采样的结构还有一个本身的特点，就是它的每个部分都具有很高的规范性。只要改变二阶谐振节中的系数 及一阶节中的 就可以构成不同的滤波器，而不用改变整个结构以及其它各系数，因此做时分复用时有一定好处。,（第十讲）数字滤波器结构,94,第五章 数字滤波器的结构,小结： 1.数字滤波器结构的表示方法（信号流图法） 2.

56、IIR数字滤波器的基本结构 直接型，转置型，级联型，并联型 3.FIR数字滤波器的基本结构 直接型（横截型、卷积型），级联型，频率采样结构 线性相位FIR滤波器结构,（第十讲）数字滤波器结构,95,有限精度数值效应概述 奥本海姆 P297,一个特定的线性时不变离散时间系统可以用各种不同的运算结构来实现。 对简单的直接性结构可供参考的选择方法之一就是理论上等效的这些不同结构； 当用有限数值精度实现时，其特性可以是不同的。,（第十讲）数字滤波器结构,96,量化 奥本海姆 P297,数的表示法 在离散时间系统的理论分析中，一般都假设信号值和系统的系数都是用真精确数值表示的。 然而，对于数字信号处理系

57、统，必须将信号和系数用某种数字式的数制来表示，而数字计算机或专用硬件都采用二进制数制，因而这些数字式的数制总是有限精度的。,一个任意实数x要能准确地用二进制数表示，要求有无限位数,若仅用（B+1）位有限位数，那么：,（第十讲）数字滤波器结构,97,量化 奥本海姆 P297,若仅用（B+1）位有限位数，那么：,得到了二进制表示的量化的数，数之间的最小差是： 量化了的数就在 范围内。,小数部分可以用定位符合表示为：,将一个数量化到（B+1）位的运算可以按舍入或截尾来完成。但量化都是一种非线性运算。 P298 图6.37给出了舍入和截尾的输入/输出关系，在考虑量化效应是，定义量化误差e=QBx-x,

58、（第十讲）数字滤波器结构,98,饱和溢出,如果一个数大于Xm（溢出），就必须要以某种方法确定量化结果。 如当两个数相加时，其和大于Xm： 以4位二进制数为例， P299 图6.38 当发生溢出时，所得误差就非常大。 （b）所示为另一种处理方法： 饱和溢出法，一般A/D转换时就采用该方法。而且，在专用DSP微处理器实现补码数运算时也用该方法。用饱和溢出，在发生溢出时，误差大小不会突然增加，这是优点。 其缺点是没有利用补码运算的一个有趣有用的特性：如果几个其和不会溢出的补码数相加，那么即使中间计算中某些和可能有溢出，但这些数的补码累加的结果仍是正确的。,（第十讲）数字滤波器结构,99,量化和溢出都在数字表示中引入了误差。 不幸的是要减小溢出而保持位数不变，只有增大Xm，这样就正比地增大了量化误差。 因此，要同时达到较宽的动态范围和较低的量化误差，在二进制数的表示中就必须增加位数。 P299 最后一段：,（第十讲）数字滤波器结构,100,IIR 数字系统定点实现中的零输入极限环,对于用无限精