《固体物理学(黄昆)》课后习题答案(1)

1、黄昆固体物理黄昆固体物理黄昆固体物理黄昆固体物理 习题解答习题解答习题解答习题解答 ( (第一版第一版) ) 小木虫物理版出品小木虫物理版出品小木虫物理版出品小木虫物理版出品 2010201020102010-4-4-4-4 序序序序 经过和教师版 shiningx 版主商议，决定组织这个活动，用来帮大家汇总、 解答固体物理习题。由物理版负责搜集、整理现有固体物理各种版本的 习题解答，然后把有答案的习题都整理到一个电子书中。原帖网址： 在这里我们要特别感谢 Abigale209、bdtlyh、shiningx、jennyge、 wangzf1128、akakcolin、lxq0628、yzcl

2、uster、xiaomuchong916、冰月 6110、 chengran、wfliu2301、大葱 1890 等虫友，是他们为本版提供了答案和意见。 本书后期整理工作由物理版版主小木虫： ）完成。 本活动从 2008 年 12 月 1 日发起，至今已有 15 个月，一直拖到现在才整理 完，在此向大家表示深深的歉意。物理版的各位斑竹都是利用业余时间为大家无 偿服务，由于现实中各种各样的事情，工作效率较低，还望大家能理解。 本资料是小木虫物理版广大虫友和斑竹汗水的结晶， 但是由于我们时间和精 力有限，难免有错误和不尽人意之处，希望各位虫友不吝指教。 最后，感谢各位虫友一直以来对小木虫物理版的支

3、持！同时也希望，今后能 后更多的虫友来加入物理版，把这里建成大家交流的乐园！ zt978031 2010 年 4 月 7 日 目录目录目录目录 第一章习 题 1 第二章习 题 6 第三章习 题10 第五章习 题31 第六章习 题36 第七章习 题42 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 1 第一章第一章第一章第一章习习习习 题题题题 1.1如果将等体积球分别排列下列结构，设如果将等体积球分别排列下列结构，设x x x x表示刚球所占体积与总体积之比，证明表示刚球所占体积与总体积之比，证明 解解设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则

4、致 密度为:（设立方晶格的边长为a） r取原子球相切是的半径于是 3 4 3 nr V = 1.2证明理想的六角密堆积结构（证明理想的六角密堆积结构（hcphcphcphcp）的轴比）的轴比633 . 1 8 3 2 2/1 = c 解解 由1.1题，六角密排中，故 23 2 2 3 2c rah=633 . 1 8 3 2 2/1 = c 1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 解解 由倒格子定义 23 1 123 2 aa b a aa = 31 2

5、123 2 aa b a aa = 12 3 123 2 aa b a aa = 体心立方格子原胞基矢 123 (),(),() 222 aaa aijkaijkaijk= +=+=+ 结构x 简单立方(书P2, 图1-2)/60.52 体心立方(书P3, 图1-3) 3 /80.68 面心立方(书P3, 图1-7) 2/60.74 六方密排(书P4, 图1-6) 2/60.74 金刚石(书P5, 图1-8) 3 /160.34 结构rnV 简单立方a/21a3/60.52 体心立方a/21a3 3 /80.68 面心立方 3 /4a 2a3 2/60.74 六方密排 2 /4a 4a3 2/

6、60.74 金刚石a/22 3 2a3 /160.34 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 2 倒格子基矢 23 1 1230 2 2()() 22 aaaa bijkijk a aav =+ 2 0 2 () () 4 a ijkijk v =+ 2 ()jk a =+ 同理 31 2 123 2 2() aa bik a aaa =+ 3 2 ()bij a =+ 可见由为基矢构成的格子为面心立方格子 123 ,b b b 面心立方格子原胞基矢 1 2 3 ()/2 ()/2 ()/2 aa jk aa ki aa ij =+ =+ =+ 倒格子基矢 23 1 123 2 a

7、a b a aa = 1 2 ()bijk a = + 同理 2 2 ()bijk a =+ 3 2 ()bijk a =+ 可见由为基矢构成的格子为体心立方格子 123 ,b b b 1.4 证明倒格子原胞的体积为证明倒格子原胞的体积为，其中，其中为正格子原胞体积为正格子原胞体积 0 3 (2 ) v 0v 证证倒格子基矢 23 1 123 2 aa b a aa = 31 2 123 2 aa b a aa = 12 3 123 2 aa b a aa = 倒格子体积 * 0123 ()vbbb= 3 * 0233112 3 0 (2 ) () () ()vaaaaaa

8、v = 3 * 0 0 (2 ) v v = 1.5证明：倒格子矢量证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为的晶面系。的晶面系。 1 1223 3 Ghbh bh b=+ 1 23 ()hh h 证：证： 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 3 3312 1323 , aaaa CACB hhhh = 容易证明 1 2 3 1 2 3 0 0 h h h h h h GCA GCB = = 与晶面系正交。 1 1223 3 Ghbh bh b=+ 1 23 ()hh h 1.6如果基矢如果基矢构成简单正交系构成简单正交系, ,a b c

9、 证明晶面族证明晶面族的面间距为的面间距为()hkl 222 1( )( )( ) hkl d abc =+ 说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理 证证简单正交系abc 123 ,aaiabjack= 倒格子基矢 23 1 123 2 aa b a aa = 31 2 123 2 aa b a aa = 12 3 123 2 aa b a aa = 123 222 ,bibjbk abc = 倒格子矢量 123 Ghbkblb=+ 222 hikjlk abc =+ 晶面族的面间距()hkl 2 d G = 222 1( )( )( ) hk

10、l abc =+ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为a a a a，写，写 出最近邻和次近邻原子间距出最近邻和次近邻原子间距 解解 1. 1. 1. 1.8 8 8 8画体心立方和面心立方晶格结构的金属在画体心立方和面心立方晶格结构的金属在，面上面上)100()110()111( 原子排列原子排列 解：解： 简立方面心立方体心立方 最近邻数6128 最近邻间距a 2/2a2/3a 次

11、近邻数1266 次近邻间距 a2 aa 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 4 体心立方面心立方 1.9指出立方晶格指出立方晶格(111)(111)(111)(111)面与面与(100)(100)(100)(100)面，面，(111)(111)(111)(111)面与面与(110)(110)(110)(110)面的交线的晶向面的交线的晶向 解解(111)面与(100)面的交线的 ABAB 平移， A 与 O 重合。B 点位矢 B Rajak= + （111）与（100） 面的交线的晶向 晶ABajak= + 向指数011 (111)面与(110)面的交线的 AB

12、 将 AB 平移 ， A 与原 点 O 重合 ， B 点位 矢 B Raiaj= + (111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj= + 晶向指数110 01.10 找出立方体中保持找出立方体中保持x x x x 轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果 解：解：立方体中保持x轴不变，可有绕x轴转、加上不动C1，所有对称操作构2/2/3 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 5 成群C4:C4=（C1C2C3C4） ，群中任意两元素乘积仍是群中元素。 11.11

13、 证明六角晶体的介电常数张量为证明六角晶体的介电常数张量为 3 2 1 00 00 00 证明证明 若是一旋转对称操作，则晶体的介电常数满足，对六角晶系，绕x轴A AAT = （即轴）旋转 180 度和绕z轴（即轴）旋转 120 度都是对称操作，坐标变换矩阵分别为a c = 100 010 001 x A = 100 02/12/3 02/32/1 z A 假 设 六 角 晶 系 统 的 介 电 常 数 为则 由得 = 333231 232221 131211 x T AAx = 可见将上式代入 = 333231 232221 131211 333231 232221 131211 = 333

14、2 2322 11 0 0 00 z T z AA = 得所以 + + = 33 2323 2322112211 2322112211 3332 2322 11 22 3 244 3 4 3 4 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4 0 0 00 可得到六角晶系的介电常数为选择相应的坐标变换0 113223 = = 33 22 11 00 00 00 可得到 = 3 2 1 00 00 00 21.12比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、NaclNaclNaclNacl 晶格的晶系、布拉伐格子、平晶格的晶系、布拉伐格子、平

15、 移群、点群、空间群。移群、点群、空间群。 晶格晶系布拉伐格子点群空间群 面心立方晶格立方面心立方OhFm3m 金刚石晶格立方面心立方OhFd3m 闪锌矿晶格立方面心立方Td m F 34 Nacl 晶格的晶系立方面心立方OhFm3m 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 6 第二章第二章第二章第二章习习习习 题题题题 2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为. . . .2ln2= 证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子 （这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号

16、，遇负离子取负号） ，用 r 表 示相邻离子间的距离，于是有 ( 1)1111 2. 234 j ij rrrrrr =+ 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， i r 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 234 (1). 34 n xxx xx x +=+ 当 X=1 时，有 111 1.2 234 n += 2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对讨论使离子电荷加倍所引起的对 NaclNaclNaclNacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变） 解解( ) n r C r e ru+=

17、 2 由解 可 得于 是 当e变 成2e时 有0 1 0 2 0 2 0 = +n r r nC r e dr du ( ) 1 1 2 0 + = n e nC er ()( )er e nC er n n 0 1 1 1 1 2 0 4 4 2 + + = = 结合能为当e变成2e时有( ) = nr e ru 1 1 0 2 () () ( ) 1 0 2 4 1 1 2 4 2 + = = n n eu ner e eu 2.3若一晶体的相互作用能可以表示为若一晶体的相互作用能可以表示为( ) mn u r rr = + 求求 1 1 1 1）平衡间距）平衡间距2 2

18、 2 2）结合能）结合能 WWWW（单个原子的）（单个原子的）3 3 3 3）体弹性模量）体弹性模量4 4 4 4）若取）若取0r ，计算，计算值。值。 0 2,10,0.3,4mnrnm WeV=, 解解1）晶体内能( )() 2 mn N U r rr =+ 平衡条件 0 0 r r dU dr = = 11 00 0 mn mn rr + += 1 0 ()n m n r m = 111 21. 234 =+ 22 n = 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 7 2)单个原子的结合能 0 1 ( ) 2 Wu r= 0 0 ( )() mn r r u r rr = = +

19、 1 (1)() 2 m n m mn W nm = 3)体弹性模量 0 2 0 2 ()V U KV V = 晶体的体积A 为常数，N 为原胞数目 3 VNAr= 晶体内能( )() 2 mn N U r rr =+ 112 1 () 23 mn Nmn rrNAr + = 2 2112 1 () 23 mn UNrmn VVrrrNAr + = 体弹性模量 0 2 0 2 ()V U KV V = 0 222 22 00000 1 2 9 mnmn V V UNmnmn VVrrrr = =+ 由平衡条件 0 112 000 1 ()0 23 mn V V UNmn VrrNAr + =

20、= 00 mn mn rr = 0 222 22 000 1 2 9 mn V V UNmn VVrr = =+ 体弹性模量 0 2 0 2 ()V U KV V = 0 00 () 2 mn N U rr =+ 0 222 22 000 1 2 9 mn V V UNmn VVrr = =+ 0 2 22 000 1 2 9 mn V V UNmn mn VVrr = =+ （） 00 mn mn rr = 2 000 2 9 mn N nm Vrr = + 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 8 0 2 0 22 0 () 9 V V Umn U VV = = 0 0 9 m

21、n KU V = 4） 00 mn mn rr = 1 0 ()n m n r m = 1 (1)() 2 m n m mn W nm = 10 0 2 W r= 9510 1.18 10eV m = 2 0 10 0 2rW r =+ 192 9.0 10eV m = 2.4经过经过spspspsp3 3 3 3杂化后形成的共价键， 其方向沿着立方体的四条对角线的方向， 求共价键之杂化后形成的共价键， 其方向沿着立方体的四条对角线的方向， 求共价键之间间 的夹角。的夹角。 解解sp3轨道杂化过程形成的共价键如图所示 共价键沿立方体四对角线方向，与中心可构成正四面体，易得键角

22、为28109 2.5假设假设 III-VIII-VIII-VIII-V 族化合物中，族化合物中，IIIIIIIIIIII 族、族、V V V V 族原子都是电中性的（族原子都是电中性的（q*=0q*=0q*=0q*=0）求其电离度）求其电离度f f f fi i i i 解解 对于 III 族原子，有效电荷电中性时q*=0，所以 2 2 * 1 83 + =q5/3 2 = 由 Coulson 定义电离度得 III-V 族化合物（q*=0）的电离度为 25 . 0 1 1 2 2 = + = + = BA BA i pp pp f 2.6用林纳德用林纳德琼斯

23、琼斯(Lennard(Lennard(Lennard(LennardJones)Jones)Jones)Jones)势计算势计算 NeNeNeNe 在在bccbccbccbcc（球心立方）和（球心立方）和fccfccfccfcc（面心立方）（面心立方）结结 构中的结合能之比值构中的结合能之比值 解解 126126 1 ( )4()(), ( )(4 )()() 2 nl u ru rNAA rrrr = 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 9 2 66 612 00 612 ( )1 02 2 r AAdu r ruN rAA = 22 066 2 01212 ( )12.25

24、/9.11 ()/()0.957 ( )14.45 /12.13 bccbcc fccfcc u rAA u rAA = 2.7对于对于，从气体的测量得到，从气体的测量得到 LennardLennardLennardLennardJonesJonesJonesJones 势参数为势参数为 2 H 6 50 10,2.96.JA = 计算计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/molKJ/molKJ/molKJ/mol单位） ，每个氢分子可当做球单位） ，每个氢分子可当做球形形 2 H 来处理结合能的实验值为来处理结合能的实验值为

25、0.751kJ0.751kJ0.751kJ0.751kJmo1mo1mo1mo1，试与计算值比较，试与计算值比较 解解以为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作 2 H 用，则晶体的总相互作用能为： 126 126 2. ijij ij UNPP RR = 612 14.45392;12.13188, ijij ji PP = 1623 50 10,2.96 ,6.022 10/.ergA Nmol = ()() 126 2816 2.962.96 2 6 022 10/50 1012.1314.452.55/. 3.163.16 U Umol

26、ergKJ mol = 0 将R 代入得到平衡时的晶体总能量为 。 因此，计算得到的晶体的结合能为 2.55KJmol，远大于实验观察值 0.75lKJmo1 2 H 对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正， 2 H 这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 10 第三章第三章第三章第三章习习习习 题题题题 3.1 已 知 一 维 单 原 子 链 ， 其 中 第 已 知 一 维 单 原 子 链 ， 其 中 第个 格 波 ， 在 第个 格 波 ， 在 第个 格 点 引 起 的 位 移 为 ，个 格 点

27、 引 起 的 位 移 为 ，jn ，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平sin(_) njjjjj atnaq=+ j 均能量为均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。，具体计算每个原子的平方平均位移。kT 解解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 （1）sin() nnjjjjj jj atnaq=+ 2*2* nnjnjnjnjnj jjjjj =+ i 由于数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项 njnj 相比是一小量，可以忽略不计。所以 22 nnj j = 由于是时间 的周期性

28、函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 nj t （2） 0 222 0 0 11 sin() 2 T jjjjjj atnaqdta T =+= 已知较高温度下的每个格波的能量为 kT，的动能时间平均值为 nj 00 2 2 222 000 00 111 sin() 224 LTT njjj njjjjjjj dw a TdxdtLatnaqdtw La TdtT =+= 其中 L 是原子链的长度，使质量密度，为周期。 0 T 所以（3） 22 11 42 njjj Tw LaKT= 因此将此式代入（2）式有 2 2 nj j KT PL = 所以每个原子的平均位移为 22 22 1

29、 nnj jjj jj KTKT PLPL = 3.2讨论讨论 N N N N 个原胞的一维双原子链个原胞的一维双原子链( ( ( (相邻原子间距为相邻原子间距为 a)a)a)a)，其，其 2N2N2N2N 个格波解，当个格波解，当 M=mM=mM=mM=m 时与时与一一 维单原子链结果一一对应维单原子链结果一一对应 解解质量为 M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为 m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 。 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 11 牛顿运动方程 222121 2121222 (2) (2) nnnn nnnn m M +

30、 + = = 体系有 N 个原胞，有 2N 个独立的方程 方程的解 222121 2121222 (2) (2) nnnn nnnn m M + + = = (2) 2 (21) 21 itna q n itnaq n Ae Be + + = = A, B 有 非零解 2 2 22cos 0 2cos2 maq aqM = 1 22 2 2 ()4 1 1sin () mMmM aq mMmM + = + 两种不同的格波的色散关系 1 22 2 2 ()4 1 1sin () mMmM aq mMmM + + =+ + 1 22 2 2 ()4 1 1sin () mMmM aq mMmM +

31、 = + 对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为 2N M=m 4 cos 2 aq m += 4 sin 2 aq m = 长波极限情况下0qsin() 22 qaqa (2)q m = 与一维单原子晶格格波的色散关系一致 2 2 (2)(2cos)0 (2cos)(2)0 mAaq B aq AMB = += 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 12 3.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c c c c 和和 10101010 c c c c令两种令

32、两种 原子质量相同，且最近邻间距为原子质量相同，且最近邻间距为求在求在和和处的处的大略地画出色散关大略地画出色散关 2 a 0k=k a =( )k 系本题模拟双原子分子晶体，如系本题模拟双原子分子晶体，如。 2 H 解解a/2C10c 1s u 1s v s u s v 1s u +1s v + ，()() 2 1 2 10 s ssss d u MC VuC Vu dt =+ ()() 2 1 2 10, s ssss d V MC uVC uV dt + =+ 将代入上式有 ,. isKai tisKai t ss uueeVVee = () () 2 2 1011, 1011, ika

33、 ika MuCeVCu MVC euCV =+ =+ 是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为 =0，解出 2 2 11 ,(10) (10),11 iKa iKa MC Ce C eMC + + () 2422 2 2220(1)0 11121 20 1. MMCCconKa C conKa M += = 当 K=0 时，当 K=时/a 2 2 22/, 0, C M + = = 2 2 20/, 2/, C M C M + = = 与的关系如下图所示这是一个双原子(例如)晶体 2 K 2 H 3.4考虑一个全同离子组成的平面格子，用记第l行，第m列的原子垂直于格平面的 lm U

34、位移，每个原子质量为M，最近邻原子的里常数为c （a）证明运动方程为 () () mlmlmlmlmlml ml uuuuuuc dt ud M ,1,1, 1, 1 2 , 2 22+= + （b）设解的形式为。 这里 a 是最近邻原子的间距， 证明( )()tamkalkiuu yxml +=exp0 , 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 13 运动方程是可以满足的，如果。这就是问题的色散关系()akakcM yx coscos22 2 = （c）证明独立解存在的k k k k空间区域是一个边长为的正方形，这就是平方格子的第 1 布 a 2 里渊区，构出k=kx，而ky=0

35、时，和kx=ky时的图k （d）对于，证明1 a kk M ca kk M ca yx 2 22 2 =+= 解解 （a）对于 0 原子（）考虑左右上下原子与其相对位移有 lm U ()()()() mllmlmmllmlmlmlmlm UUCUUCUUCUUCUM 1111+ += ()() lmmlmllmlmlmlm UUUCUUUCUM22 1111 += + （b）由题知为平面格子运动方程的解，故( )()tamkalkiUU yxml +=exp0 , ( )()()tamkakliUU yxml += + 1exp0 , 1 ( )()()tamkakliUU yxml += 1

36、exp0 , 1 ( )()()takmalkiUU yxml += + 1exp0 1, ( )()()takmalkiUU yxml += 1exp0 1, 将上式嗲如平面运动方程可得色散关系()akakcM yx coscos22 2 = （c）由色散关系周期性边界条件知道故在独立解存在的k aa kx , aa ky , 空间区域为一边长为的正方形，即二维方正格子的第一布里渊区。 a 2 k=kx而ky=0时()kacMcos22 2 = kx=ky时() = 2 cos22cos22 2 ka cakcM x （d）对于ka1，由() 2 1 2 sin21coscos2 2 22

37、2 akka kaak M c x = 即() yx y x kk M c ak ak M c += 2 2 1 2 12 2 2 2 2 ()k M ca kk M ca yx 22 =+= 3.5 已知某离子晶体每对离子平均互作用能为已知某离子晶体每对离子平均互作用能为其中马德隆常数其中马德隆常数 n rr q ru += 2 )( 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 14 ，平衡离子间距，平衡离子间距。9,75 . 1 =nA82 . 2 0 =r 试求离子在平衡位置附近的振动频率。试求离子在平衡位置附近的振动频率。 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与计

38、算与该频率相当的电磁波的波长，并与 NaClNaClNaClNaCl红外吸收频率的测量值红外吸收频率的测量值进行进行比比u61 较。较。 解：解： 把一对 NaCI 离子看成一对谐振子，其振动势能可表示为 (1) 2 00 2 1 ru= 其中为力常数。它与振动频率有如下关系. (2) 2 = 其中，(3) Mm 111 += (1)式左边为每对离子的平均作用能。 0 u 因为0 4 1 0 2 00 2 0 = + = n rr r nc r e r u 所以(4) nr e r c n 1 4 00 2 0 = J nr e ruEb 18 00 2 0 1027 . 1 ) 1 1 (

39、4 )( =+= 由(1)(2)(3)式得 ) 11 ( 222 0 2 0 Mm u rr += 把数值代入得 13 1025. 5= 所以 112 1035 . 8 2 =sv 波长。与吸收频带的关察值mm v c 361059 . 3 1035 . 8 103 5 12 8 = = 很接近。m61= 3.6计算一维单原子链的频率分布函数计算一维单原子链的频率分布函数( ) 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 15 解解设单原子链长度LNa= 波矢取值每个波矢的宽度 2 qh Na = 2 Na 状态密度dq 间隔内的状态数 2 Na 2 Na dq 对应取

40、值相同，间隔内的状态数目,q d ( )2 2 Na ddq = 一维单原子链色散关系 22 4 sin () 2 aq m = 令 0 4 m = 0sin( ) 2 aq = 两边微分得到 0 cos() 22 aaq ddq= 2 2 0 cos()1 2 aq = 22 0 2 a ddq= 22 0 2 a ddq= 22 0 2d dq a = 代入( )2 2 Na ddq = 22 0 1 2 N d = 一维单原子链的频率分布函数 22 0 21 ( ) N = 3.7设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在q=0q=0q=0q=0 附近的长波极限有附近

41、的长波极限有 2 0 ( )qAq= 求证：频率分布函数为求证：频率分布函数为; ; ; ;() 1/2 00 23/2 1 ( ), 4 V f A = 解解() 1 1 2 2 22 0000 0 ( )0,0AqfAqqA=时， 依据，并带入上边结果有 () 3 ( )2,( ) ( )2 q q Vds qAq f q = = ( ) ()() () ()() () 1/2 1/2 00331/22 23/2 0 11 4 2( ) 222 q VdsVAV f AAq = 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 16 所以 () 222 222 22 2, 222 Bxy

42、KK mmaama =+=+= B点能量/2 BA = 3.8有有 N N N N 个相同原子组成的面积为个相同原子组成的面积为 S S S S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低低 温极限比热正比于温极限比热正比于。 2 T 证明：证明：在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积kkdk+nndn+ ，且则2ndn( ) 2 2 53 2 222 Ls ndnkdkkdkd v =即 ()() 2 33 22 0 /22222 0 333 212121 mDD BB x BBBB k Tk Tx DD d s k

43、Ts k Tk Tk Tsdx dx EE veveve =+= 2 0,() vs E TETCT T = 3 时， 3.9 写 出 量 子 谐 振 子 系 统 的 自 由 能 ， 证 明 在 经 典 极 限 下 ， 自 由 能 为 写 出 量 子 谐 振 子 系 统 的 自 由 能 ， 证 明 在 经 典 极 限 下 ， 自 由 能 为 0 q Bn q B FUk T k T + 证明证明: : : :量子谐振子的自由能为 1 1 2 q B qk T Bn q B FUk Te k T =+ 经典极限意味着（温度较高） BTg k 应用 2 1. x exx= + 所

44、以 2 1. q B qqk T BB e k Tk T = + 因此 0 1 1 1 2 qq qBnBn qq BB FUk TUk T k Tk T + + 其中 0 1 2 q q UU+ 03.10 设晶体中每个振子的零点振动能为设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体的零点振动能。，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 1 2 证明证明: : : :根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能就是各振 0 E 动模零点能之和。和代入积( ) ( )( ) 000 0 1 2 m EEgdE = 将( ) 2 23 3 2 s V

45、 g v = 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 17 分有，由于 4 0 23 39 168 mm s V EN v = 0 9 8 mBDBD kENk=得 一股晶体德拜温度为，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热 2 10K 能相比拟 13.11一维复式格子一维复式格子 241 5 1.67 10,4,1.5 10/ M mgN m m = = 4 ( 1.51 10/),dyn cm即 求（求（1 1 1 1） ，光学波） ，光学波，声学波，声学波。 00 maxmin , max A （2 2 2 2） ，相应声子能量是多少电子伏。

46、） ，相应声子能量是多少电子伏。 （3 3 3 3） ，在） ，在300k300k300k300k 时的平均声子数。时的平均声子数。 （4 4 4 4） ，与） ，与相对应的电磁波波长在什么波段。相对应的电磁波波长在什么波段。 0 max 解解 （1） ， 4 131 max 24 22 1.5 10/ 3.00 10, 4 5 1.67 10 A dyn cm s M = ()() 424 131 max 2424 22 1.5 104 551.67 10/ 6.70 10 4 5 1.67 105 1.67 10 o Mmdyn cm s Mm + + = 4 131 max 24 22

47、1.5 10/ 5.99 10 5 1.67 10 A dyn cm s m = （2） 161312 max 161312 max 161312 min 6.58 105.99 101.97 10 6.58 106.70 104.41 10 6.58 103.00 103.95 10 A o o seV seV seV = = = （3） maxmax maxmax / 11 0.873,0.221 11 AO BB AO k Tk T nn ee = min min / 1 0.276 1 O B O k T n e = （4） 2 28.1 c m = 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和

48、物理版的支持！ 18 第四章第四章第四章第四章习习习习 题题题题 4.1根据根据根据根据状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与及及及及相应的波函数相应的波函数相应的波函数相应的波函数及及及及。说明它们。说明它们。说明它们。说明它们k a = EE+ 都代表驻波，并比较两个电子云分布（即都代表驻波，并比较两个电子云分布（即都代表驻波，并比较两个电子云分布（即都代表驻波，并比较两个电子云分布（即）说明能隙的来源）说明能隙的来源）说明能隙的来源）说明能隙的来源( ( ( (假设假设假设假设= = = =) ) ) )。 2

49、n V * n V 解解令，简并微扰波函数为k a = +k a = 00 ( )( ) kk AxBx=+ 0* ( )0 n EkE A V B+= 取( ) 0 0 n V AEkE B+= EE+= 带入上式，其中 0( ) n EEkV + =+ V(x)0,从上式得到 B= -A,于是0 n V 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe = = 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个 12 个最邻近格点的位置 ,0 22 ,0 22 ,0 22 ,0 22 aa aa aa aa 0, 22 0, 22 0, 22 0, 22 aa aa aa aa

50、 ,0, 22 ,0, 22 ,0, 22 ,0, 22 aa aa aa aa 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 21 0 22 s aa Rijk=+ 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe = = () (0 ) 22 () 2 (cossin)(cossin) 2222 xyz s xy aa i k ik j k kijk ik R a ikk yy xx ee k ak a k ak a eii + + = = 类似的表示共有 12 项 归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应的能带 0 1 ( ) 4(coscoscoscoscos

51、cos) 222222 s s yy xxzz EkJ k ak a k ak ak ak a J = + 对于体心立方格子 任选取一个格点为原点 有 8 个最邻近格点 最近邻格点的位置 , 222 , 222 , 222 , 222 aaa aaa aaa aaa , 222 , 222 , 222 , 222 aaa aaa aaa aaa 222 s aaa Rijk=+ 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe = = () ()() 2222 (cossin)(cossin)(cossin) 222222 xyzxyz s aaaa i k ik j k k

52、ijkikkk ik R yy xxzz eee k ak a k ak ak ak a iii + = = 类似的表示共有 8 项 归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带 01 ( )8cos(/2)cos(/2)cos(/2) s sxyz EkJJk ak ak a= 4.5用用|n|n|n|n表示一维晶格的第表示一维晶格的第n n n n个格点的个格点的s s s s态，在只计入近邻作用的紧束缚近似下，写出态，在只计入近邻作用的紧束缚近似下，写出矩矩 阵元阵元的表达式的表达式 固体物理习题解答 感谢大家对木虫和物理版的支持！ 22 解解 对于N个原子组成的

53、相同一维晶格，第n个院子的位矢为，当作为孤立原子时，其 s n x 态电子的球对称性势能函数为，设归一化的波函数为，能量为，在() n xxu () n xx ( )0 E 晶格中该电子的势能函数为，电子态是N度简并的，考虑微扰后的零级近似波函数为( )xv 其中与有关不是的函数，根据 Bloch 定理，波函数可以( )() n n kn k xxCx = kn C kn x 写成即( ) () ()() n n xk i n n xxk ixk i k xxexxeex nnn = xk i kn eC = 薛定谔方程为()( )xExxH knk = 其中( )()( )()HHxxurv

54、xxu m rv m H nn +=+ + =+ = 22 0 2222 其中为微扰项，在附近非常小，而在离较远处，( )()Hxxurv n = n x H n x () n xx 又非常小，所求能量的一级近似为所求矩阵元 ( )( ) ( )( ) = dxx dxHx E kk kk * * ( )( ) ( )()( ) ( )()() ( ) ( )( )()() ( )() ()() ( )() ()() += += += += += =0 ( )( )()()bnaikbanaikJJkE i +=expexp0 10 ( )( ) + + = 2 exp 2 exp 2 12

55、exp0 10 a ik a ikba n ikJJkE i ( )( ) + = 2 cos 2 12 exp20 10 a ikba n ikJJkE i 4.7有一一维单原子链，间距为有一一维单原子链，间距为a a a a，总长度为，总长度为 NaNaNaNa。 （1 1 1 1）用紧束缚近似求出原子）用紧束缚近似求出原子 s s s s 态能级对应的能带态能级对应的能带 E(k)E(k)E(k)E(k)函数。函数。 （2 2 2 2）求出其能态密度函数的表达式。）求出其能态密度函数的表达式。 （3 3 3 3）如果每个原子）如果每个原子 s s s s 态只有一个电子

56、，求等于态只有一个电子，求等于 T=0KT=0KT=0KT=0K 的费米能级的费米能级及及处的能态密度。处的能态密度。 0 F E 0 F E 解：解： 010101 (1),( )()2cos2cos ikaika ss E kJJ eeJJkaEJka =+= 0 ( )() s ik R s E kEJJ p e = (2) , 11 21 ( )22 22sinsin LdkNaN N E dEJ akaJka = (3), 0 0 00 0 2 2 ( ) 222 22 F k F FF NakNa Nkdkkk a = 000 1 1 1 ()2cos,() 2 sin 2 FFsF NN