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文档简介
1、17.1 勾股定理,弦图,这个图形里蕴涵着怎样博大精深的知识呢?,它标志着我国古代数学的伟大成就!,4,4,8,SA+SB=SC,C,图甲,1.观察图甲,小方格 的边长为1. 正方形A、B、C的 面积各为多少?,正方形A、B、C的 面积有什么关系?,C,图乙,2.观察图乙,小方格 的边长为1. 正方形A、B、C的 面积各为多少?,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面积有什么关系?,4,4,8,SA+SB=SC,图甲,图乙,2.观察图乙,小方格 的边长为1.,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面积有什么关系?,4,4,8,SA+SB=SC,图甲,a,b,c
2、,a,b,c,3.猜想a、b、c 之间的关系?,a2 +b2 =c2,a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,用拼图法证明,用拼图法证明,用拼图法证明,S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab,a2+b2+2ab=c2+2ab,a2 +b2 =c2,a2+b2+2ab,c2+2ab,证法一:,勾股定理(毕达哥拉斯定理)(gougu theorem),如果直角三角形两直角边分别为a, b,斜边为c,那么,即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.,a,c,b,毕达哥拉斯定理:,毕达哥拉斯,“勾股定理”在国
3、外,尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理” 相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常,命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现,因此勾股定理又叫做“百牛定理”,毕达哥拉斯(毕达哥拉斯,前572前497),西方理性数学创始人,古希腊数学家,他是公元前五世纪的人,比商高晚出生五百多年,在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾,下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.,勾股定理,a,b,c,S大正方形c2,S小正方形(b-a)2,S大正方形4S三角形S小正方形,弦
4、图,现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧!,证法二:,赵爽弦图证明勾股定理,证法三:,=,c,数形结合思想,等 积 变 换,b,a,美国总统的故事,加菲尔德(James A. Garfield; 1831 1881),1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关数学结论,证法四:,a,a,b,b,c,c,总统证法:, a2 + b2 = c2,勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系,即两直角边的平方和等于斜边的平方。,c,b,a,公式变形,c2=a2 + b2,a2=c2b2,b2 =c2-a2,8,6,算一算,AC2=AB2+BC2=62+82=100 AC=100 = 10,A
5、,B,C,求图中直角三角形的未知边的长度。,在RtABC中,根据勾股定理,,比一比看看谁算得快!,2.求下列直角三角形中未知边的长:,可用勾股定理建立方程.,方法小结:,8,x,17,16,20,x,12,5,x,做一做,例1 .在RtABC中,=90. (1) 已知:a=6,=8,求c; (2) 已知:a=40,c=41,求b; (3) 已知:c=13,b=5,求a; (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.,例题分析,(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.,方法小结,、隔湖有两点A、,从与A方向成直角 的BC方向上的点C测得CA=13米,C
6、B=12米,则AB为 ( ),A.5米 B.12米 C.10米 D.13米,13,12,?,A,试一试:,例:在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m ,求AC长,1 m,2 m,在Rt ABC中,B=90,由勾股定理可知:,练习: 1、求下列图中字母所表示的正方形的面积,=625,=144,及时检验,2、求下图中字母所代表的正方形的面积。,225,400,A,625,3.求下列图中表示边的未知数x、y的值.,81,144,x,y,A,B,C,D,7cm,4如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A,B,C,D的面积之和为_c
7、m2。,49,练习: 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中, C=90,AC=6,CB=8,则 ABC面积为_,斜边为上的高为_.,24,4.8,A,B,C,D,1如图,在四边形ABCD中,BAD =900,DBC = 900 , AD = 3,AB = 4,BC = 12, 求CD;,练习,选一选,已知ABC的三边分别是a,b,c, 若B=Rt,则有关系式( ),A.a2+b2=c2,B.a2+c2=b2,C.a2-b2=c2,D.b2+c2=a2,B,A,B,C,若a=5,b=1
8、2, 则c =_.,试一试,在RtABC中,,13,当c是斜边时, c2= a2+b2,当b是斜边时, b2= a2+c2,13或119,5 或,、已知:RtBC中,AB,AC,则BC的长为 .,试一试:,数学的和谐美,、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 ( ),A 2、4、6, 4、6、8,B,试一试:, 6、8、10, 8、10、12,、本节课我们经历了怎样的学习过程?,经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理,再到探索定理,最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。,、本节课我们学到了什么?,通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理,还知道从特殊到一般的探
9、索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。,、学了本节课后你有什么感想?,很多的数学结论存在于平常的生活中,需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现,这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。,二填空题 1.在 ABC中,C=90, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=_,b=_. (2)若a=9,b=40,则c=_. 2.在 ABC中, C=90,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_,斜边为上的高为_.,6,8,41,24,4.8,试一试:,在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?,D,A,B,C,3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?,x+1,B,C,A,H,1,2,?,x,x2+22=(x+1)2,2. 如图,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢
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