热学第2章_分子动理学理论的平衡态理论.ppt

1、第二章: 分子动（理学）理论的平衡态理论,2.1 分子动理论与统计物理学 2.2 概率论的基本知识 2.3 麦克斯韦速率分布 2.4 麦克斯韦速度分布 2.5 气体分子碰壁数及其应用 2.6 外力场中自由粒子的分布 玻尔兹曼分布 2.7 能量均分定理,2.1 分子动理论与统计物理学,热学的微观理论是在分子动（理学）理论（简称分子动理论）基础上发展起来的。,分子动理论:分子运动学+分子动力学,从广义上来说，统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。分子动理论也应归于统计物理学的范畴。统计物理学的狭义理解仅指玻尔兹曼统计与吉布

2、斯统计,分子动理论: 考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动分子碰撞的详情。它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。,说明,特点:,1. 气体分子动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上一些近似假设。,2. 由于微观模型细致程度不同，理论的近似程度也就不同，对于同一问题可给出不同理论深度的解释。微观模型考虑得越细致，越接近真实，数学处理也越复杂。,3. 重点应掌握基本物理概念、处理问题的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理论的重要基础基本实验事实。,4. 在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的十

3、分严密与结果的十分精确。因为相当简单的例子中常常包含基本物理方法中的精华，它常常能解决概念上的困难并能指出新的计算步骤及近似方法。,2.2 概率论的基本知识,讨论气体分子碰壁数及气体压强公式时简单地认为每一分子均以平均速率运动，并以此来替代相应物理量的统计平均，这里面有相当大的近似。就算这样是允许的，也有一个如何求平均速率的问题。,2.2.1伽尔顿板实验,有关概率统计的最直观的演示是伽尔顿板实验,解决上述问题的关键： 分子按速率的概率分布律,1. 只要小球总数足够多（N ，则每一小槽内都有小球落入，且第i个槽内小球数Ni 与小球总数N（N=Ni）之比有一定的分布。,2. 若重复做实验甚至用同一

4、小球投入漏斗N次（N ），其分布曲线都相同。,说明,1.统计规律：单个小球的运动服从力学规律，大量小球按槽的分布服从统计规律.,2.涨落：涨落现象是统计规律的基本特征之一,结论,2.2.2 等概率性与概率的基本性质,一. 概率的定义,在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生，我们就称这样的事件为随机事件。,例如：掷骰子哪一面朝上完全是随机的，受到许多不能确定的偶然因素的影响。,若在相同条件下重复进行同一个试验（如掷骰子），在总次数N足够多的情况下（即N ），计算所出现某一事件（如哪一面向上）的次数NL ，则其百分比即该事件出现的概率,二. 等概率性,在掷骰子时，一般认为出现每一

5、面向上的概率是相等的。,例:四个气体分子处于容器两侧不 同状态的分布方式,等概率性原理：在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。,若在某一面上钻个小孔，在小孔中塞进些铅，然后再封上，虽然骰子仍是一个规则的正方体，但可以肯定，塞铅这一面出现向上的概率最小，而与它相对的一面出现概率最大，因为我们已经有理由说明塞铅面向上的概率应大些。,（2）相乘法则:,例:把一个骰子连续掷两次,三. 概率的基本性质,（1）相加法则:,n个互相排斥(关联,不独立)事件发生的总概率是每个事件发生概率之和.,同时或依次发生的，互不相关（没有关联,独立）的事件发生的概率等于各个事

6、件概率之乘积,(3) 概率归一化:,2.2.3 平均值及其运算法则,统计分布的最直接的应用是求平均值。,求年龄之和可以将人按年龄分组，设ui为随机变量（例如年龄），其中出现（年龄）u1值的次（或人）数为N1，u2值的次（或人）数为N2，则该随机变量（年龄）的平均值为,因为 是出现ui值的百分比，当N时它就是出现ui值的概率Pi，故,概率分布: Pi ,(2),（3）若C为常数，则,(4) 若随机变量u和随机变量v是相互统计独立。f(u)又是u 的某一函数，g（v）是v的另一函数，则,（5）应该注意到，以上讨论的各种概率都是归一化的，即,（1) 设f（u）是随机变量u的函数，则, 平均值的运算公

7、式,2.2.4 均方偏差,随机变量会偏离平均值 ，即 。 一般其偏离值的平均值为零（即 )，但均方偏差不为零。,因为 0，所以,定义相对均方根偏差,相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开的程度，也称为涨落、散度或散差。,2.2.5 概率分布函数,实际中有很多变量是连续变化的，例如粒子的空间位置或粒子的速度。,在随机变量取连续值时，上述求平均值公式中 Pi 的也是连续分布的。,但是因为测量仪器总有一定误差，在测量分子速率时，我们测不出分子速率恰好为100m/s的分子数是多少，若仪器的误差范围为1m/s，则我们只能测出分子速率从99.5m/s到100.5m/s的分子数是多少。我们也不能讲分

8、子速率恰好处于100m/s的概率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如99m/s101m/s）内的概率。,有关打靶试验的例子:,v到v+dv的概率分布,图（a）是用直角坐标来表示靶板上的分布；而图（b）则是用极坐标来表示其分布的。,现以靶心为原点，以直角坐标x、y来表示黑点的空间位置，把靶板平面沿横轴划分出很多宽为x的窄条,x的宽度比黑点的大小要大得多。,只要数出在x到x+x范围内的那条窄条中的黑点数N，把它除以靶板上总的黑点数N（N应该足够大），则其百分比就是黑点处于xx+x范围内这一窄条的概率。,然后以 为纵坐标，以x为横坐标，画出图.若令x0，就得到一条连续曲线。,这时的纵坐标 称为黑点沿

9、x方向分布的概率密度，表示黑点沿x方向的相对密集程度。而f(x)dx表示处于x到x+dx范围内的概率。,在曲线中xx+dx微小线段下的面积则表示黑点处于xx+dx范围内的概率,位置处于x1到x2范围内的概率,(归一条件),类似地可把靶板沿y方向划分为若干个宽为y的窄条,数出 每一窄条中的黑点数，求出 并令 可得到黑点处于yy+dy范围内的概率为f(y)dy。,显然，黑点处于xx+dx，yy+dy范围内的概率就是图中打上斜线的范围内的黑点数与总黑点数之比。,根据概率相乘法则，粒子处于该面积上的概率为,概率密度分布函数:,若要求出处于x1x2、y1y2范围内的概率，只要对x、y积分,1. 平均值：

10、黑点的x方向坐标偏离靶心（x=0）的平均值,x的某一函数的平均值, 说明,2. 极坐标表示,考虑对称性,麦克斯韦速度分布-麦克斯韦速率分布,dr,rr+dr小圆环内的dN,2.3 麦克斯韦速率分布,气体分子热运动的特点是大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰撞，分子以各种大小不同的速率向各个方向运动，在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使每一分子的速度不断变化。,处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多数分子之间存在一种统计相关性，这种统计相关性表现为平均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于v到v+dv的概率（即速率分布函数）是不会改变的

11、,2.3.1 分子射线束实验,德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。,1. 分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽，除非它的速率v 满足如下关系,测量原理,通过改变角速度的大小，选择速率v,3. 以 为纵坐标（其中N是单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分子数），以分子的速率v为横坐标作一图形，如图所示。,2. 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间,4. 当v0时，即得图（b）所示的一条光滑的曲线，称为分子束速率分布曲线。,5. 在v到v+dv速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介于vv+dv区间范围内的概率,2.3

12、.2 麦克斯韦速率分布,一 . 气体分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布,气体分子的速率分布与分子束速率分布不同,但它们存在一定关系，故可利用实验测得的曲线求得理想气体速率分布。,意义：,分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率,二. 麦克斯韦速率分布定律,( 麦克斯韦速率分布函数 ),m为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量,k = 1.3810-23 J / K,1. 麦克斯韦速率分布定律,这一规律称为麦克斯韦速率分布定律, 注意,说明,(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。,(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的

13、混合气体的各 组分分别适用。,2. 麦克斯韦速率分布曲线,v,( 速率分布曲线 ),(1),由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。,(2),在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布 在vv+ dv 中的分子 数与总分子数的比率,vdv,(3),在v1v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间 的分子数与总分子数的比率,v1,v2,T,T,( 速率分布曲线 ),(4),曲线下面的总面积， 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子 数与总分子数的比 率的总和,最概然速率v p,f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率,(5),(归一化条件),

14、 m 一定,T 越大,这时曲线向右移动, T 一定, m 越大,这时曲线向左移动,v p 越大,v p 越小,T1,T2( T1),m1,m2( m1),由于曲线下的面积不变,由此可见,不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系,(6),三. 分子速率的三种统计平均值,1. 平均速率,式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量,思考：,是否表示在v1 v2 区间内的平均速率 ？,2. 方均根速率,理想气体状态方程,3. 最概然速率,T,(1) 一般三种速率用途各 不相同,讨论分子的碰撞次数用,说明,讨论分子的平均平动动 能用,讨论速率分布一般用,(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系:,

15、例:试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。 解（1）氮分子平均速率 （2）氢分子平均速率 以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级,根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vpvp+v 区间内的分子数与温度 成反比( 设v 很小),将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有,例,证,例,在温度为300K时，空气中速率在 (1)vp附近；(2)10vp附近，速率区间v1m/s 内的分子数占分子总数的比率是多少？,麦克斯韦速率分布为,解,式中vp 为最概然速率,当T=300K时，空气分子的最概然速率为,(1)在v= vp附近，v1m/s内单位速率区

16、间的分子数占分子总数的比率为,(2)在v= 10vp 附近， v1m/s 的速率区间内的分子数占分子总数的比率为,例：金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容 器中的气体分子很类似。设金属中共有 N 个电子，其 中电子的最大速率为 v m , 设电子速率分布函数为,解：,式中A 为常数。求该电子气的平均速率。,有N 个粒子，其速率分布函数为,(1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数,解,例,求,(1) 由归一化条件得,(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以,因此，vv0 的分子数为 ( 2N/3 ),同理

17、vv0 的分子数为 ( N/3 ),的分子数与总分子数的比率为,例：气体分子按平动动能的分布规律,麦克斯韦速率分布定律,上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在 +d 区间内的分子数与总分子数的比率。,意义：,代入上式得,思考,最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?,两边微分,2.4 麦克斯韦速度分布,麦克斯韦是先导出速度分布，然后再从速度分布得到速率分布的。本节中介绍麦克斯韦速度分布。为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。,2.4.1速度空间,一、速度矢量、速度空间中的代表点,要描述气体分子的速度大小和方向，需引入速度矢量这一概念，速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子速度的

18、大小、方向一致。,一个分子仅有一个速度矢量。,(1) 速度空间中的代表点,把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、vy、vz作直角坐标图，且把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原点O上。,在平移时，矢量大小、方向都不变。,平移后，仅以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把矢量符号抹去。,这样的点称为代表点。如图的P点所示。,(2) 以直角坐标表示的速度空间,以速度分量vx、vy、vz为坐标轴,以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐标称为速度空间。,速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位置，而是速度的大小与方向。,二、速度空间中代表点的分布,若把某一瞬时所有

19、分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，,可以发现，速度空间中的代表点分布与前面介绍过的靶板上的靶点分布图十分类似：靶点位于xx+dx，yy+dy范围内的概率是以f（x，y）dxdy来表示的，其中dxdy为这一区域大小，f（x，y）是黑点的概率密度。,同样我们也可在三维速度空间中，在vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz区间内划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。,数出在这微分元中的代表点的数目dN（vx、vy、vz）,坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度，,速度在vxvx+dvx，vyvy+dvy， vzv

20、z+dvz区间分子的概率:,2.4.2 麦克斯韦速度分布（Maxwell velocity distribution）,麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分子的速度分布，这一分布可表示为,因为,麦克斯韦速度分布有,其中i 可分别代表x、y、z。,欲求分子速度的x分量在vxvx+dvx内而vy、vz任意的分子数dN(vx), 可对vy、vz积分后求出：,利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1，故,概率分布曲线如图所示：,它对称于纵轴，图中打上斜线的狭条的面积即,最后说明，由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律一般适用于平衡态的理想气体

21、。,思考：,*2.4.3 相对于vp 的（麦克斯韦）速度分量分布与速率分布 误差函数,有时需要计算气体分子速度分量（或速率v）在某给定范围内的分子数或概率。这时可把麦克斯韦速度分布式或速率分布式分别作变量变换，使之变换为相对于最概然速率的速度分量分布或速率分布的形式。,一 、相对于vp的速度分量（麦克斯韦）分布,令,相对于最概然速率的速度分量分布,若要求出分子速度x方向分量小于某一 vx数值的分子数所占的比率，则可对上式积分,在概率论和数理统计中称上式为误差函数，以erf（x）表示,误差函数有表可查，如表,例 试求在标准状态下氮气分子速度的x分量小于800ms-1的分子数占全部分子数的百分比。

22、 解 首先求出273 K时氮气分子（摩尔质量Mm=0.028 kg）的最概然速率,查得erf（2）=0.995，故这种分子所占百分比为=49.8%,这么小?,二、相对于的麦克斯韦速率分布,若令 ，可将麦克斯韦速率分布表示为,再利用误差函数可求得在0v范围内的分子数,考虑对称性,麦克斯韦速度分布-麦克斯韦速率分布,dr,rr+dr小圆环内的dN,2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布,一、以极坐标表示的射击点分布,二、气体分子的速率分布,对于麦克斯韦速度分布，则在速度空间中，所有分子速率介于vv+dv 范围内的分子的代表点应该都落在以O原点为球心，v 半径，厚度为dv的一 薄层球壳中,根据分

23、子混沌性假设，代表点的数密度是球对称的。,在球壳内的代表点数dN,设代表点的数密度为:,麦克斯韦速度分布,代入,这就是麦克斯韦速率分布.,思考:最概然速率与最概然速度为何不一?,例:物理意义?,2.5 气体分子碰壁数及其应用,前面已用最简单的方法导出了单位时间内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数的近似公式,在推导中简单地在把立方容器中的气体分子分为相等的六组，每一组都各垂直于一个器壁运动，且认为每一分子的平均速率都为 。,本节将用较严密的方法导出 （通常有两种方法：一种是利用速率分布；另一种是利用速度分布，这里仅介绍速度分布法）。,2.5.1 由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及气体压强公式,

24、一. 的证明,若容器内装有分子数密度为n的理想气体。内壁上有一dA的面积元。,现以dA的中心O为原点，画出一直角坐标，其x轴垂直于dA面元。,为了表示容器内气体分子的速度方向，还引入一个速度坐标。速度坐标的方向正好与以O为原点的位置坐标方向相反。,显然，在容器中处于位置坐标为vxdt，vydt，vzdt的B点附近的小体积内的气体，只要其速度在vxvx+dvx，vyvy+dvy， vzvz+dvz范围内的分子，在dt时间内均可运动到dA面元之相碰。,只有在以dA为底、vxdt为高，其母线与BO直线平行的斜柱体中的所有速度 的分子，在dt时间内均会与dA碰撞.,这些碰撞分子的总数等于单位体积内速度

25、在 范围内的分子数与斜柱体体积的乘积.,dt时间内，速度分量在vxvx+dvx，-vy， -vz范围内的，碰撞在dA面元上的分子数,若要求出dt 时间内碰撞在dA面元上所有各种速度分子的总数N则还应对vx积分: vx0,其中 为麦克斯韦分布的平均速率。,单位时间内碰在单位面积上总分子数为,二. 气体压强公式,气体压强是在单位时间内大多数气体分子碰撞器壁而施于单位面积器壁的平均冲量。,一个速度分量为vx、vy、vz的分子，对图中面元dA作完全弹性碰撞时将施予器壁2mvx的冲量，而与 vy、vz 的大小无关.,若在dt时间内，所有速度分量在vxvx+dvx，-vy，-vz范围内的、碰撞在面元dA上

26、的分子数为dN（vx），则所有这些分子由于碰撞而给予面元dA的冲量为,则气体分子给予器壁的压强为,考虑到处于平衡态的理想气体其分子的混沌性，故有,代入,在dt时间内，所有各种速度的分子碰撞在dA上的总冲量为,三. 理想气体定律的推证,在相同的温度和压强下，各种气体的分子数密度相等。,2. 道尔顿分压定律,混合气体的分子数密度为,温度相同,混合气体的压强为,混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。,1. 理想气体定律,例：小孔泻流: 容器体积V, 真空, 小孔面积A, 大气压强P0, 温度T0, 打开小孔,求：容器中气体压强增至P0 /2时所需时间?,解：,进入:,流出:,温度相同:,则:,即:

27、,则:,2.6 外力场中自由粒子的分布玻尔兹曼分布,按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体其分子数密度n处处相等，但这仅在无外力场条件下才成立。若分子受到重力场、惯性力场等作用，气体分子数密度将有一定的空间分布，这类分布均可看作玻尔兹曼分布的某种特例。,2.6.1 等温大气压强公式,一. 等温大气压强公式（isothermal barometric formula),现假设大气是等温的且处于平衡态，则大气温度随高度变化是怎样的？现考虑在大气中垂直高度为z到z+dz， 面积为A的一薄层气体（见图). 该系统达到平衡的条件为,积分，则有,其中p（0）及p（z）分别为高度0及z处大气压强。,改写为气体

28、分子数密度随高度分布公式，则,气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。,注意,等温气压公式,二. 等温大气标高,因指数上量纲为1，故 中的 具有高度的量纲。定义大气标高H,大气标高的物理意义,（1）在高度z=H处的大气压强为z=0处大气压强的1/e,（2）设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面的、其密度与海平面处大气密度相等的一层假想的均匀大气层，则这一层大气的厚度也是H,实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压 约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面 上大气压按1.013105 Pa 计，温度取273K）。,解,例,等温气压公式,将上式两边微分，有,拉萨海

29、拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，,由等温气压公式得,设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次,(1) 拉萨的大气压强； (2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样的质量的空气。M=2910-3 kg/mol,解,例,求,则有,2.6.3 玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution）,等温大气重力场中分布公式式,接下来看麦克斯韦速度分布,分布都是按粒子能量的分布，它们都有一个称为“玻尔兹曼因子”的因子,规律:这些分布中都有 因子 ，称为玻尔兹曼因子。具有玻尔兹曼因

30、子的分布，称为玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution）,若n1和n2分别是在温度为T的系统中，处于粒子能量为 的某一状态与粒子能量为 的另一状态上的粒子数密度。,则玻尔兹曼分布可表示为,玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的；粒子处于能量不同的各状态的概率是不同的，粒子处于能量高的状态上的概率反而小-能量最小原理。,玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式,对于粒子只能取两个能级的系统：,产生激光的系统，就处于粒子数反转（population inversion）的负温度状态。,讨论,若,若,有外力场时分子按能量的分布规律,分子处于保守力场中时，

31、分子能量既有动能又有势能,分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关.,其中n0 表示Ep=0处气体分子的数密度.,（玻耳兹曼分子按能量分布定律）,重力场中微粒按高度分布,根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质,则玻耳兹曼分布可以写为：,（粒子数密度按势能的分布）,分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式.,如果保守外力场为重力场，势能为 Ep=mgz （z为高度），则,(重力场中粒子数密度按高度的分布),将其代入理想气体状态方程有,*2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的速度分布与速率分布 费米球,金属自由电子模型指出，金属中

32、的价电子是无相互作用的自由电子。在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球。其球心位于速度空间的原点，球的半径为vF（称为费米速率，是一个与金属种类有关的常数）,具体说来，电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零，位于球内的概率密度为常数，设为De 。,由归一化条件知 ，故,其速率分布可表示为,通常以 来表示费米球面的能量（其中me为电子质量），称为费米能。,不同金属，EF值不同，一般它取eV的量级。,例: 铜的EF=1.110-18J，而me=9.110-31kg，由此知T=0 K时铜中自由电子平均速率,说明即使在T=0 K时，金属中自由电子还在以106ms-1的

33、数量级的平均速率在运动着， 这是经典理论无法解释的（按照麦克斯韦分布，T=0 K时的自由电子平均速率为零）。这种运动称为零点运动。,2.7 能量均分定理,在之前已得到 ，本节将在此基础上，通过与实验测量值的比较，得到能量均分定理，并指出这一定理的局限性。,2.7.1 理想气体的热容,（一）热容（heat capacity）,热容：在存在温度差所发生的传热过程中，物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。,若以Q表示物体在升高T 温度的某过程中吸收的热量，则物体在该过程中的热容C定义为,（二）理想气体热容与理想气体内能,单原子理想气体只有热运动平动动能，没有势能。,分子的热运动平均平动动能,由于

34、在等体过程中不作功，所吸收热量就等于内能增加，即,摩尔内能为,单原子理想气体的定体摩尔热容,理想气体热运动无择优取向,而,这说明在理想气体中，x、y、z三个方向的平均平动动能都均分,但是将这一规律用来解释双原子及多原子气体时，却与实验事实并不相符,自由度数：确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目.,刚性分子：分子内原子之间的距离保持不变的分子.,2.7.2 自由度与自由度数,自由度（degree of freedom）定义：描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度。,1. 非刚性双原子分子有一个沿两质心联线振动的振动自由度,说明,2. N个原子组成的多原子分子，其自由度数最多为3N个。一般来说，在这3N自由度中，有三个（整体）平动、三个（整体）转动及3N-6个振动自由度。,每个平动自由度的平均平动动能为,由于沿x,y,z三个方向运动的概率均等，有,在温度为T 的平衡态下，物质(气体、液体和固体)分子的 每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为,这一结论称为能量按自由度均分定理.,一个分子的平均平