云南省峨山彝族自治县2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何备考学案 新人教A版选修2-1（通用）

1、备注方案3空间向量和立体几何一、空间向量的概念和运算1 .在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量2 .矢量可以用有向线段表示。 有向线的长度表示矢量的大小，箭头指向的方向表示矢量的方向3 .将向量的大小称为向量的类型(或长度)，记为4 .地震震级(长度)为0的向量称为零向量，类型为1的向量称为单位矢量5 .将与向量长度相等方向相反的向量称为的相反向量。6 .方向相同、类型相等的矢量称为相等矢量即，若将空间上以相同点o为起点的两个已知的向量作为邻接边来制作平行四边形，则以o为起点的对折角线为和，求该向量和的方法是向量相加的平行四边形8 .求两个向量差的运算称为向量减法，遵循三角形法则9 .实数

2、和空间向量的乘积是向量，称为向量的乘法。 当时和方向相同，当时和方向相反，零矢量记载为.的长度是长度的两倍10 .实数，只要空间上的任何两个向量，乘法都满足分配律和联合律分配律： 结合律。11 .如果存在表示空间的有向线段的直线相互平行或者重叠，则将这些个的向量称为共线向量或者平行向量，规定零向量和任何向量都是共线12 .向量共线的充分条件：对于空间的任意两个向量，的充分条件是存在实数1-3 .平行于同一平面的向量称为共面量14 .向量共面定理：空间的一点在平面内的充分条件是有序实数对存在，或者对于空间的任意点，或者是4点，共面的话15.2个非零向量的和是已知的，如果在空间上取任意点，则称为向

3、量、的夹角， 2个向量夹角可取的值的范围为：16 .对于两个非零向量之和，如果向量相互垂直。17.2个非零向量之和已知，称为的数量积，即.零向量和任意向量的数量积标记为0。18 .在相等长度和方向上的心理投射的乘积19 .非零矢量，如果是单位矢量，则有； 、； 。20、矢量积的运算法则： ；。例1 :如该图所示，在空间四边形OABC中，如果=a、=b、=c、点m在OA上，并且OM=2MA、n在BC中点，则等于()A.a-b cB.-a b cC.a b-cD.-a b-c已知例|a|=1、|b|=，如果a-b垂直于a，则a和b的夹角为()A.60B.30C.135D.45二、空间向量的坐标和坐

4、标运算1 .如果是，则空间的三个垂直向量，其中对于任何空间向量存在规则真实阵列，并且向量被称为“、上的分量”2 .空间向量基本定理： 3个矢量，如果不在同一平面内，则对于任何空间矢量都存在实阵列3 .由三个向量、非共面的所有空间向量构成的集合，该集合称为向量、生成的、空间的一个基底，可以认为空间的任意三个非共面的向量构成空间的一个基底。4 .以具有共同起点的3个垂直的单位矢量(将这些个称为单位正交基底)、的共同起点为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向来作成空间直角坐标系设定为.是零以外的矢量如果是那样的话.。，是。例1 :已知的空间4点a (4，1，3 )、b (2，3，1 )、c (3

5、，7，-5)、D(x，- 1，3 )共面。A.4B.1 C.10D.11已知a=(1，2，-y )、b=(x，1，2 )，如果(a2b )是(2a-b )的话()。A.x=、y=1B.x=、y=-4C.x=2，y=- D.x=1，y=-1例3 :已知a=(2，4，x )、b=(2，y，2 )，如果|a|=6，ab，则xy的值为()A.-3或1B.3或-1C.-3D.1例4 :已知空间三点a (0，2，3 )、b (-2，1，6 )、C(1，- 1，5 )。求出以(1)、为邻边的平行四边形面积(|a|=、且a分别垂直于、则求向量a的坐标。三、立体几何中的矢量方法1 .在空间中，如果以某一点为基点

6、，则能够用矢量表示空间中任意点的位置.点是直线上的点，向量表示直线的方向向量。对于直线上的任何点，这样的点和向量不仅表示直线的位置，也可以具体表示直线上的任何点。假设这两条交叉线与点相交，则它们的方向向量分别是平面上的任意点，因为存在规则的实数对，所以该点和向量决定平面的位置.4 .直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量5 .如果空间不重叠两条直线，则的方向向量分别为、的双曲馀弦值。6 .如果直线的方向矢量是，则平面的法向量是的双曲馀弦值。7 .空间不重叠的两个平面的法向量分别是、的双曲馀弦值。8 .异面直线所成的角度，方向向量所成的角度有的9 .设直线的方向矢量与平面的法向量所成

7、的角为所成的角，则为10 .二面角的两个面，如果是其法向量，则向量，的夹角(或其校正角)为二面角的平面角的大小。11 .点和点之间的距离能够被转换为两点对应向量的地震震级校正运算12 .在直线上搜索点，如果经过定点并且与直线垂直的向量是，则从定点到直线的距离是13 .点是平面外的点，是平面内的一定点，是平面的法向量，从点到平面的距离是例1 :在图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是立方形，得出以下结论。直线DD1的单向式向量为(0，0，1 )； 直线BC1的单向式向量为(0，1，1 )；平面ABB1A1的法向量为(0，1，0 )； 平面B1CD的一个法向量是(1，1，1 )。正确的个数

8、是()a .一个b .两个c .三个d .四个例2 :平面的法向量u=(x，1，-2)、平面的法向量v=、，我的意思是例3 :在正四棱锥P-ABCD中，底面正方形的边的长度为3，角锥的棱的长度为5，e、f、g分别在BC、CD、PC的中点，求出证据。(1)EFPA(2)EF平面PBD(3)直线PA与平面EFG不平行。例4 :如图所示，在四角锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形、PA平面ABCD、AP=AB=2，BC=2、e、f分别在AD、PC的中点求证： PC平面BEF。例5 :如图所示，在四角锥P-A BCD中，ABCD、ABAD、AB=4、AD=2、CD=2，PA平面ABCD，PA=4。(1

9、)求证： BD平面PAC；(2)点q是线段PB的中点，求出直线QC与平面PAC所成的角的正弦值.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，e是CD中点。(1)征求证据： B1EAD1；(2)棱AA1上是否存在少许p，DP平面B1AE？ 如果存在，求出AP的长度如果不存在，说明理由(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30，则求出AB的长度。例7 :三角柱ABC-A1B1C1的各角锥的长度都是a的正三角柱，d是侧棱CC1的中点。(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求出从点c到平面AB1D的距离。参考回答：一、空间向量的概念和运算例1 :【回答】b【解析】=-=

10、()-=-a b c。例2 :【回答】da-b与a垂直，a=0。aa-ab=|a|2-|a|b|cosa，b=1-1cosa，b=0，cosa，b=。0a、b180、a、b=45。二、空间向量的坐标和坐标运算例1 :【解答】d分析=(-2，2，-2)、=(-1，6，-8)、=(x-4，- 2，0 )，存在a、b、c、d共面、共面、，= ，即，(x-4、-2、0)=(-2-、2 6、-2-8)、 )例2 :【回答】b解析： a 2b=(2x 1、4、4-y )、2a-b=(2-x、3、-2y-2 )、(a 22y )例3 :【回答】a分析，分析，分析，分析，分析，分析。另外，ab、ab=4 4y

11、 2x=0，在x 2y 2=0.x=4的情况下，y=-3；在x=-4的情况下，y=1；x y=1或-3。例4 :解： (1)从问题中的条件可知=(-2，- 1，3 )、=(1，- 3，2 )，cos ，=，sin ，|，以、为邻边的平行四边形面积： S=|sin 、7。假设(a=(x，y，z )，从问题的意义中得到、解开或a=(-1，1，1 )或a=(-1，-1，-1)。三、立体几何中的矢量方法例1 :【解答】cDD1AA1，=(0，0，1 )； BC1AD1，=(0，1，1 )，直线AD平面ABB1A1，=(0，1，0 )； C1点坐标为(1，1，1 )，与平面B1CD不垂直，对，错误。例2

12、 :【回答】分析，分析，分析，分析。例3 :把AC和BD的升交点设为o，把P-ABCD设为正四棱锥，把po平面ABCD、ACBD、o设为原点，把OB、OC、OP分别设为x轴、正方形ABCD的边长为3，OB=OC=3，另外，PC=5，OP=4，点A(0，- 3，0 )、b (3，0，0 )、c (0，3，0 )、d (-3，0，0 )和p ()e、f分别是BC、CD的中点、点e (、0 )、F(-、0 )，(-3，0，0 )、=(0，-3，-4)、=0，EFPA(2)很明显，=(0，3，0 )是平面PBD的法向量，平面PBD平面PBD .将g设为PC中点，将点g (0，2 )，将平面EFG的法向

13、量设为n=(x，y，z )，n=0，n=0，。n=(0，1，0 )，n=-30，pa与平面EFG不平行。例4 :解：如图所示，以a为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别是x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2，BC=AD=2，四边形ABCD为矩形，点a (0，0，0 )、b (2，0，0 )、c (2，0 )、d (0，2，0 )、p (0，0 )另外，e、f分别是AD、PC的中点，点e (0，0 )、f (1，1 )。(2，2，-2)、=(-1，1 )、=(1，0，1 )，=2 0-2=0，=2 0-2=0，、PCBF、PCEF。另外，BFEF=F，PC平面BEF。例5 :解

14、：制作如图所示的空间直角坐标系A-xyz。点a (0，0，0 )，d (0，2，0 )，b (4，0，0 )，p (0，0，4 )，c (2，2，)(1)=(-4，2，0 )，=(0，0，4 )，=(2，2，0 )，=0，=-8 8=0，BDAP、BDAC、还有APAC=A，BD平面PAC。(2)=(0，- 2，2 )。设平面PAC的一个法向量为n=(x，y，z )时，。n=(1，-，0 )。如果将直线QC与平面PAC所成的角设为cos|=。直线QC与平面PAC所成角的正弦值为。例6 :解：以(1)a为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，制作空间直角坐标系(下图)。假设AB=a，则点a

15、 (0，0，0 )、d (0，1，0 )、d1(0，1，1 )、e (1，0 )、b1。因此，等于=(0，1，1 )、=(-，1，-1)、=(a，0，1 )、=(，1，0 )。数字=-0 11 (-1)1=0，B1EAD1。(2)假设在棱AA1上存在点p (0，0，z0)，则设DP平面B1AE .此时=(0，-1，z0)。平面B1AE的法向量n=(x，y，z).n平面B1AE，n、n、得到、当设x=1时，得到平面B1AE的法向量n=(1，-、-a )。要使用DP平面B1AE，如果有n、-az0=0，则解z0=。另外，存在dp平面B1AE、点p，满足DP平面B1AE，此时AP=。(3)连接a1d、B1C，从长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1得到AD1A1D。B1CA1D，ad1。另外，从(1)可知b1e、B1CB1E=B1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的法向量