高三数学（理数）总复习练习专题十一 立体几何

1、 1(2015浙江，2，易)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是() A8 cm3 B12 cm3 C. cm3 D. cm3 32 3 40 3 【答案】C由题意得， 该几何体由一个正方体与一个正四棱锥组合而成， 所以体积 V23 22 1 3 2. 32 3 2(2015安徽，7，中)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是() A1 B2 C12 D23322 【答案】B将三视图还原为几何体，如图所示 OABC，且 OB，OD2BD22 OAC 与ABC 为直角三角形，OAB 与OBC 为等边三角形 S表2SOAC2SOAB 2 2()2 1 2 22 3

2、4 2 2 . 3 3(2015山东，7，中)在梯形 ABCD 中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为() A. B. C. D2 2 3 4 3 5 3 【答案】C如图， 以 AD 所在的直线为轴旋转一周，形成的几何体为一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱挖去一个底面 半径为 1，高为 1 的圆锥，所以其体积为 V122 121.故选 C. 1 3 5 3 4(2015课标，6，中)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为() A. B. C. D.

3、1 8 1 7 1 6 1 5 【答案】D如图所示为正方体被一个平面截去后剩余部分的几何体 设正方体棱长为 a， . 1 11 A A B D V V 剩 1 3 1 2a 2a a31 3 1 2a 2a 1 5 5(2015课标，9，中)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若 三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为() A36 B64 C144 D256 【答案】C设球的半径为 r，则 VOABC r2h r336，故 r6.故 S球4r2144. 1 3 1 2 1 6 6(2015课标，6，中)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学

4、名著，书中有如下问题“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图， 米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为 多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有() A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 【答案】B设圆锥底面半径为 r， 2r8， 1 4 r，V 5.设米堆共有 x 斛，则 1.62x，解得 x22(斛) 16 1 4 1 3 162 2 320 9 320 9 7(2015课标，11，中)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(

5、半径为 r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r() A1 B2 C4 D8 【答案】B由题意知，该几何体是由半个圆柱与半个球组合得到的 则表面积 S2r22 r24r22r25r24r22016，r2. 1 2 8(2015江苏，9，中)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆 柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则 新的底面半径为_ 【解析】设新的底面半径为 r，根据题意得 524228 r248r2，即 28r2196，r. 1 3 1 3

6、 7 【答案】 7 1(2014福建，2，易)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是() A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱 【答案】A因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均 不可能是三角形，故选 A. 2(2013广东，5，易)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是() A4 B. C. D6 14 3 16 3 【答案】B由四棱台的三视图可知， 该四棱台的上底面是边长为 1 的正方形， 下底面是边长为 2 的正方形，高为 2，所以 V (142)2.故选 B. 1 3 14 3 思路点拨：解题的关键是由三视图判断几何体的结构特征并确定相应的

7、数量关系 3(2014湖南，7，中)一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球， 则能得到的最大球的半径等于() A1 B2 C3 D4 【答案】B根据三视图得如图所示的三棱柱，即底面 ABC 是直角三角形的直棱柱 要想得到最大的球， 只需球与三个侧面都相切 因为直角三角形中， 6282102， 所以直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r2，故得到的最大球的半径为 2. 6810 2 4(2014安徽，7，中)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为() A21 B1833 C21 D18 【答案】A由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分，如图所示，

8、 则 SS正方体2S三棱锥侧2S三棱锥底2423 112()221. 1 2 3 4 23 5(2013课标，6，中)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm， 如果不计容器的厚度，则球的体积为() A. cm3 B. cm3 500 3 866 3 C. cm3 D. cm3 1 372 3 2 048 3 【答案】A设球半径为 R，如图所示，B 为弦的中点，OAOCR，由垂径定理，知OBA 为 直角三角形 BC2，BA4，OBR2，OAR， 由 R2(R2)242，得 R5， 所以球的体积为

9、53(cm3)，故选 A. 4 3 500 3 6(2013辽宁，10，中)已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上若 AB3，AC4， ABAC，AA112，则球 O 的半径为() A. B2 3 17 2 10 C. D3 13 2 10 【答案】C方法一(补形法)：过点 C 作 AB 的平行线，过点 B 作 AC 的平行线，交点为 D，同理 过点 C1作 A1B1的平行线，过点 B1作 A1C1的平行线，交点为 D1，连接 DD1，则 ABCDA1B1C1D1恰好成 为球的一个内接长方体，故球的半径 r. 3242122 2 13 2 方法二：如图，由球心作平面

10、ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM BC ，OM AA16，所以球 O 的半径 ROA. 1 2 5 2 1 2 ( 5 2 ) 2 62 13 2 7(2014湖北，8，中)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现 存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“ 盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六 成一 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h， 计算其体积 V 的近似公式 VL2h.它实际上是将 1 36 圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取 2 75 为() A. B. C. D

11、. 22 7 25 8 157 50 355 113 【答案】BV r2hhL2h，由 VL2h 得：L2hL2h， 1 3 3( L 2) 2 1 12 2 75 2 75 1 12 即. 25 8 8(2014天津，10，易)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 _m3. 【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，底面圆半径为 2，高为 2， 下部是一个圆柱，底面圆半径为 1，高为 4，故该几何体的体积 V 222124 1 3 8 3 4. 20 3 【答案】20 3 考向 1空间几何体的三视图与直观图 1空间几何体的三视图 (1)几何体的三视图

12、包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上 方观察几何体画出的轮廓线 (2)三视图的画法 基本要求：长对正，高平齐，宽相等 画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线 2用斜二测画法画几何体直观图的注意点 (1)用斜二测画法画几何体直观图时，要注意原图与直观图中的“三变” 、“三不变”： “三变” 坐标轴的夹角改变， 与y轴平行线段的长度改变（减半）， 图形改变. ) “三不变” 平行性不变， 与x轴平行的线段长度不变， 相对位置不变. ) (2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积 S 与其直

13、观图面积 S之间的关 系：SS，并能进行相关的计算 2 4 (1)(2014湖北，5)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别 是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图 和俯视图分别为() A和 B和 C和 D和 (2)(2013四川，3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是() 【思路导引】解题(1)的关键是先根据点的坐标画出几何体的直观图，再由直观图推测正视图和俯 视图；解题(2)的方法是根据正视图和侧视图判断上面是台体、下面是柱体，再由俯视图可得答案 【解析】(1)如图，A(0，0，2

14、)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，B，C，D 点在面 yOz 上 的射影分别为 B1，C1，D1，它们在一条线上，且 C1为 B1D1的中点从前往后看时，看不到棱 AC，所 以正视图中 AC1应为虚线 ； 故正视图应为图.点 A，D，C 在面 xOy 内的射影分别为 O，B，C2，俯视图 为OC2B，故俯视图应为图.综上选 D. (2)由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，圆台的下底面和圆柱的底面恰 好重合 【答案】(1)D(2)D 1.由三视图还原直观图的方法 (1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体 (2)注意图中实、虚线，实际是

15、原几何体中的可视线与被遮挡线 (3)想象原形， 并画出草图后进行三视图还原， 把握三视图和几何体之间的关系， 与所给三视图比较， 通过调整准确画出原几何体 2已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法 先根据已知的三视图中的某两个， 还原、 推测直观图的可能形式， 找余下一个三视图的可能形式 作 为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的三视图是否符合 (1)(2014江西，5)一个几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是() (2)(2014北京，7)在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)， D，若 S1，S2，S3分别是三棱

16、锥 DABC 在 xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，(1，1， 2) 则() AS1S2S3 BS2S1且 S2S3 CS3S1且 S3S2 DS3S2且 S3S1 (1)【答案】B俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选 B. (2)【答案】D如图，在空间直角坐标系中， S1 ABBC2， 1 2 S2 ABDE， 1 2 2 S3 BCDE， 1 2 2 S1S2S3，故选 D. 考向 2空间几何体的表面积 1多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底 面积的和 2旋转体的侧面积和表面积 (1)

17、若圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，则 S侧2rl，S表2r(rl) (2)若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 S侧rl，S表r(rl) (3)若圆台的上、下底面半径分别为 r，r，则 S侧(rr)l，S表(r2r2rlrl) (4)若球的半径为 R，则它的表面积 S4R2. (1)(2014重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A54 B60 C66 D72 (2)(2014大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球 的表面积为() A. B16 C9 D. 81 4 27 4 【思路导引】解题(1)的关键是将三视图准

18、确地还原成直观图，并弄清直观图中相对的位置关系； 解题(2)的关键是根据题意，借助辅助面，画出相应的图形，求出半径 【解析】(1)根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的几何体 ABCDEF， 故其表面积为 SSDEFSABCS梯形 ABEDS梯形 CBEFS矩形 ACFD 35 3 1 2 1 2 4 (52)4 (52)53560. 1 2 1 2 (2)如图所示，R2(4R)22， R2168RR22，R ， 9 4 S表4R24，选 A. 81 16 81 4 【答案】(1)B(2)A 求解空间几何体表面积的注意点 (1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空

19、间几何体的形状，再根据题目所给 数据与几何体的表面积公式，求其表面积 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理 (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积 是侧面积与底面圆的面积之和 (4)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点， 即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径， 同时要作一圆面起衬托作用 (1)(2014浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是() A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm2 (2)(2013福建， 12)已知某一多面体内接于

20、球构成一个简单组合体， 如果该组合体的正视图、 侧视图、 俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是_ (1)【答案】D由题干中的三视图可得原几何体如图所示 故该几何体的表面积 S246234363334352 34138(cm2) 1 2 (2)【解析】由三视图知，棱长为 2 的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为 2，即为球的 3 直径长所以球的表面积为 S412. ( 2 3 2 ) 2 【答案】12 考向 3空间几何体的体积 空间几何体的体积公式 几何体名称体积 棱(圆)柱VSh(S 为底面面积，h 为高) 棱(圆)锥V Sh(S 为底面面积，h 为高)

21、 1 3 棱(圆)台 V (SS)h 1 3 SS (S，S 为上、下底面面积，h 为高) 球VR3(R 为球半径) 4 3 (1)(2014课标，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的 是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分 的体积与原来毛坯体积的比值为() A. B. C. D. 17 27 5 9 10 27 1 3 (2)(2014陕西，5)已知底面边长为 1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的2 体积为() A. B4 C2 D. 32 3 4 3 【思路导引】解题(

22、1)时先根据三视图判断出几何体的结构特征，再由体积公式计算；解题(2)的关 键是弄清楚球的直径等于正四棱柱的体对角线 【解析】(1)由三视图可知， 该零件是由两个圆柱组合而成， 两个圆柱的体积之和 VV1V2 22432234.底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯的体积 V32654，所以切 削掉部分的体积为 543420，故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为，故 20 54 10 27 选 C. (2)依题意可知， 正四棱柱体对角线的长度等于球的直径， 可设球半径为 R， 则 2R 1212（ 2）2 2，解得 R1，所以 VR3. 4 3 4 3 【答案】(1)C(2)D

23、 求几何体体积的类型及思路 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积转换法或割补法进行求解其中， 等积转换法多用来求锥体的体积 (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 (1)(2014辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为() A82 B8 C8 D8 2 4 (2)(2014江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积 相等，且 ，则的值是_ S1 S2 9 4 V1 V2 (1)【答案】B由三视

24、图知，原几何体是棱长为 2 的正方体挖去两个底面半径为 1，高为 2 的四 分之一圆柱，故几何体的体积为 822 8. 1 4 (2)【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为 r1、h1，r2、h2，由侧面积相等，即 2r1h1 2r2h2，得 . h1 h2 r2 r1 又 ，所以 ， S1 S2 r r 9 4 r1 r2 3 2 则 . V1 V2 rh1 rh2 r r h1 h2 r r r2 r1 r1 r2 3 2 【答案】3 2 1(2014河南南阳联考，5)已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为 2 的 正三角形，侧视图是有一条直角边为 2 的直角三

25、角形，则该三棱锥的正(主)视图可能为() 【答案】C由已知条件得直观图如图所示， 正(主)视图是直角三角形，中间的线是看不见的线 PA 形成的投影，应为虚线，故选 C. 2(2015山东淄博模拟，4)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三 棱锥 ABCD 的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧(左)视图的面积为() A. B. 2 2 1 2 C. D. 2 4 1 4 【答案】D由正(主)视图与俯视图可得三棱锥 ABCD 的一个侧面与底面垂直， 其侧(左)视图是直 角三角形，且直角边长均为，所以侧(左)视图的面积为 S . 2 2 1 2 2 2 2 2 1 4 3

26、(2015吉林长春质检，6)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为() A2 B2 1 5 2 12 5 2 C2(1) D25 2 5 2 【答案】A由几何体的三视图可知，该几何体是经过旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半 径是 1，高是 2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角5 形的面积的和，即 222，故选 A. 1 2 1 2 5 1 2 1 5 2 4(2015河北石家庄调研，8)已知球 O，过其球面上 A，B，C 三点作截面，若 O 点到该截面的距 离是球半径的一半，且 ABBC2，B120，则球 O 的表面积为() A. B. 64 3 8

27、 3 C4 D.16 9 【答案】A由余弦定理，得 AC2.22222 2 2 cos 1203 设ABC 所在截面圆的半径为 r，则 2r4，即 r2.O 点到截面的距 AC sin 120 2 3 sin 120 离是球半径的一半，即 d ，且 d2r2R2，4R2，即 R2. R 2( R 2) 2 16 3 S球4R24. 16 3 64 3 5(2015安徽蚌埠一模，7)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三2 角形，做成一个蛋巢，将表面积为 4的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球 心)与蛋巢底面的距离为() A. B. 2 2 1 2

28、6 2 1 2 C. D. 3 2 3 2 1 2 【答案】D蛋巢的底面是边长为 1 的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为 1. 因为鸡蛋的表面积为 4，所以球的半径为 1，所以球心到截面的距离 d，而截面到底面的11 4 3 2 距离即为三角形的高 ，所以球心到底面的距离为 . 1 2 3 2 1 2 6(2014湖北宜昌二模，8)某几何体的三视图如图所示，当 xy 最大时，该几何体的体积为() A2 B4 C8 D167777 【答案】D该几何体的直观图如图所示，由直观图可知 PA2102y2x2(2)2，x2y27 128. 又128x2y22xy，当且仅当 xy 时 xy

29、 取得最大值， 此时 x2y2128， xy，) x8， y8，) hPA6， V SABC|PA| 28616. 1 3 1 3 1 2 77 思路点拨：先根据三视图画出几何体的直观图，找出关于 x，y 的等量关系，求出当 xy 取最大时的 x，y 值，再求体积 7(2015陕西西安模拟，9)已知三棱锥 DABC 中，ABBC1，AD2，BD，AC，BC52 AD，则该三棱锥的外接球的表面积为() A. B66 C5 D8 【答案】B由勾股定理，知 DABC，ABBC， BC平面 DAB，BCBD， CD.BD2BC26 AC2AD2246CD2， DAAC. 取 CD 的中点 O，由直角三

30、角形的性质知，O 到点 A，B，C，D 的距离均为， 6 2 其即为三棱锥的外接球球心 故三棱锥的外接球的表面积为 46. ( 6 2) 2 8(2015山东临沂模拟，14)四面体 ABCD 中，共顶点 A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为 2， 3，4.若四面体 ABCD 的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为_ 【解析】依题意，原几何体是一个三棱锥，可以看作一条棱与底面垂直且其长度为 3，底面是一 个直角三角形，两直角边长分别为 2，4，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为 4，2，3 的长方体的 一部分，则其外接球的半径为 R，故这个球的表面积为 S4R24 1 2 422232

31、 29 2 ( 29 2 ) 2 29. 【答案】29 9(2015山东德州模拟，12)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几 何体的体积是_ 【解析】观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为 2， 四棱锥底面边长分别为 3， 4， 它们的高均为2， 所以该几何体的体积为 222 42( 4 2 ) 2 3 1 2 1 3 3 4328. 1 3 33 4 3 3 【答案】8 4 3 3 3 10(2014江苏南京二模，8)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60， 侧棱 PA底面 ABCD，PA2，E

32、为 AB 的中点，则四面体 PBCE 的体积为_ 【解析】由于四边形 ABCD 是菱形， 所以以 EB 为底边的CBE 的高 hADsin 602， 3 2 3 从而四面体 PBCE 的体积 VPBCEVCPBE 12. 1 3 1 2 3 3 3 【答案】 3 3 思路点拨：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式 V Sh 进行计算即可常用方 1 3 法有割补法、等体积变换法，本题使用了等积变换法 1(2015浙江，13，中)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_ 【解析】如

33、图，连接 BM，取 BM 的中点 G，连接 NG，AG， 则ANG 为异面直线 AN，CM 所成的角 显然 NG CM，AN2. 1 2 22 ABBD，BMAD. 在 RtAMG 中， AG. AM2MG23 在ANG 中， cosANG|AN| 2|NG|2|AG|2 2|AN|NG| . 823 2 2 2 2 7 8 【答案】7 8 2(2015四川，14，中)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动 点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB，BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最 大值为_ 【解析】设 AD2

34、，QMm，则 0m2， 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则 E(1，0，0)，A(0，0，0)，F(2，1，0)，M(0，m，2) (1，m，2)，(2，1，0)， EM AF cos | EM AF |EM |AF | | m2 5m2 5| . 2m 255m2 令 f(m)(m0，2)， 2m 5m225 易知 f(m)在0，2上为单调递减函数， 故 f(m)maxf(0) ，即 cos 的最大值为 . 2 5 2 5 【答案】2 5 1(2011四川，3，易)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l

35、3l1l3 Cl1l2l3 l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 【答案】BA 项，l1与 l3还可能相交或成异面直线，故 A 错误；B 项，l2l3，l1l2，l1 l3，故 B 正确；由三棱柱和三棱锥可知 C，D 错误，故选 B. 2(2012四川，6，易)下列命题正确的是() A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C对于选项 A，这两条直线可以相交或为异面直

36、线，A 错误；对于选项 B，这两个 平面可以相交，B 错误；对于选项 D，这两个平面还可能相交，D 错误；而由线面平行的性质定理 可证 C 正确故选 C. 3(2012重庆，9，中)设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1，和 a，且长为 a 的棱与长为22 的棱异面，则 a 的取值范围是() A(0，) B(0，) C(1，) D(1，)2323 【答案】A如图，构造四面体 ABCD，使 ABa，CD，ADACBCBD1，取 CD 的2 中点 E，则 AEBE，a，0a，故选 A. 2 2 2 2 2 2 2 4(2013江西，8，中)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且

37、ABCD，正方 体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为 m，n，那么 mn() A8 B9 C10 D11 【答案】A如图， CE平面 ABPQ，CE平面 A1B1P1Q1，CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，m4； EF平面 BPP1B1，且 EF平面 AQQ1A1，EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，n4，故 m n8，故选 A. 5(2012上海，19，12 分，易)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD， E 是 PC 的中点已知 AB2，AD2，PA2.求：2 (1)三角形 PCD 的面积； (2)异面直线 BC

38、 与 AE 所成的角的大小 解：(1)因为 PA底面 ABCD，所以 PACD，又 ADCD，所以 CD平面 PAD，从而 CDPD. 因为 PD2，CD2， 22（2 2）23 所以三角形 PCD 的面积为 222. 1 2 33 (2)方法一：如图，取 PB 的中点 F，连接 EF，AF，则 EFBC， 从而AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 在AEF 中，由 EF，AF，AE2 知AEF 是等腰直角三角形且AFE90，所以AEF 22 . 4 因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4 方法二：如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 分别为 x 轴，

39、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，E(1， ，1)，(1， ，1)， 22AE 2 (0，2，0)， BC 2 设与的夹角为 ，则 AE BC cos ， ， AE BC |AE |BC | 4 2 2 2 2 2 4 由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角为 . 4 考向 1空间中点、线、面位置关系的判断 1平面的基本性质 名称 图形 文字语言符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条 直线在这个平面内 Al， Bl， A， B l 公理 2 过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面

40、A，B，C 不共线A，B， C平面， 则是唯一 的 推 论 1 经过一条直线和直线外 的一点，有且只有一个平 面 若点 A直线 a，则 A 和 a 确定一个平面 推 论 2 经过两条相交直线，有且 只有一个平面 abP有且只有一 个平面， 使 a， b 公 理 2 的 推 论 推 论 3 经过两条平行直线，有且 只有一个平面 ab有且只有一个平 面，使 a，b 公理 3 如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的 公共直线 若 P，P，则 a，Pa，且 a 是 唯一的 公理 4 平行于同一直线的两条 直线平行 l1l，l2ll1l2 要证明“点共线”可将线看作两个平面的

41、交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公 理 3 可知这些点在交线上，因此共线 2空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 平行关系 相交关系 独有关系 (1)(2014广东，7)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3 l4，则下列结论一定正确的是() Al1l4 Bl1l4 Cl1与 l4既不垂直也不平行 Dl1与 l4的位置关系不确定 (2)(2014辽宁，4)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是() A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n

42、 【解析】(1)不妨令 l1，l2，l3分别为如图所示正方体的边所在直线若 l4为直线 B1C1，则有 l1l4； 若 l4为直线 C1D1，则 l1l4；若 l4为直线 A1C1，则 l1与 l4异面，故 l1与 l4的位置关系不确定. (2)对 A，m，n 还可能异面、相交，故 A 不正确；对 B，由线面垂直的定义可知正确；对 C，n 还可 能在平面 内，故 C 不正确；对 D，n 还可能在 内，故 D 不正确。 【答案】(1)D(2)B 解决空间位置关系问题的方法 (1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法， 把空间中位置关系的问题转化为平

43、面问题解决 (2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题 (1)(2013安徽，3)在下列命题中，不是公理的是() A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (2)(2013课标，4)已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面 ，直线 l 满足 lm，ln，l， l，则() A且 l B且 l C与 相交，且交线垂直于 l D与 相交，且交线平行于 l (1)【答案】A选项

44、A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的；而选项 B，C，D 分别是 公理 2、公理 1 和公理 3，故选 A. (2)【答案】D若，则 mn，这与 m，n 为异面直线矛盾，所以 A 不正确将已知条件转 化到正方体中，易知与 不一定垂直，但 与 的交线一定平行于 l，从而排除 B，C，故选 D. 考向 2异面直线所成的角 1两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两 条异面直线所成的角若记这个角为 ，则 . (0， 2 2判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过

45、点 B 的直线是异面直线 (2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面 (1)(2012大纲全国，16)三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1 CAA160，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为_ (2)(2014山东潍坊一模，14)已知三棱锥 ABCD 中，ABCD，且直线 AB 与 CD 所成的角为 60， 点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，则直线 AB 和 MN 所成的角为_ 【解析】(1)由BAA1CAA160可得四边形 BCC1B1为正方形如图， 把底面 ABC 补成菱形 ABCD，把底面 A1B1C1补成菱

46、形 A1B1C1D1，即把三棱柱补成 平行六面体 ABCDA1B1C1D1， 则B1AD1为异面直线 AB1与 BC1所成的角 不妨设棱 长为 2， 则 AD1BC12，AB1B1D12，在AB1D1中， 由余弦定理可得2 3 cosB1AD1. ABADB1D 2AB1AD1 6 6 (2)如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PMAB，且 PM AB.PNCD， 1 2 且 PN CD， 1 2 所以MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或其补角) 则MPN60或MPN120. 若MPN60， 因为 PMAB，所以PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或其补角) 又因为 ABC

47、D，所以 PMPN， 则PMN 是等边三角形，所以PMN60， 即 AB 与 MN 所成的角为 60. 若MPN120，则易知PMN 是等腰三角形 所以PMN30， 即 AB 与 MN 所成的角为 30. 综上，直线 AB 和 MN 所成的角为 60或 30. 【答案】(1)(2)60或 30 6 6 【点拨】解题(1)的关键是合理“补形” 作出异面直线所成的角；解题(2)时应注意异面直线所成的 角归结到一个三角形的内角时，存在两种情况 求异面直线所成角的方法 (1)几何法 作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移 到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位

48、置上 证：证明作出的角为所求角 求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线 所成的角，也可能等于其补角 (2)向量法 建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量的夹角若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异 面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直角所成的角为该角的补角 (1)(2014大纲全国，11)已知二面角 l 为 60，AB，ABl，A 为垂足，CD，C l，ACD135，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为() A. B. C. D. 1 4 2 4 3 4 1 2 (2)(201

49、2四川，14)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 CD，CC1的中点，则异面 直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是_ (1)【答案】B如图，在平面内过 C 作 CEAB， 则ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角 不妨取 CE1，过 E 作 EO 于 O. 在平面 内过 O 作 OHCD 于 H，连接 EH，则 EHCD. 因为 ABCE，ABl，所以 CEl. 又因为 EO，所以 COl. 故ECO 为二面角 l 的平面角，所以ECO60. 而ACD135，COl，所以OCH45. 在 RtECO 中，COCEcosECO1cos 60 . 1 2

50、 在 RtCOH 中，CHCOcosOCH sin 45. 1 2 2 4 在 RtECH 中，cosECH. CH CE 2 4 1 2 4 所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为. 2 4 (2)【解析】连接 D1M，图略则 D1M 为 A1M 在平面 DCC1D1上的射影，在正方形 DCC1D1中， M，N 分别是 CD，CC1的中点，D1MDN.又A1D1平面 DCC1D1，DN平面 A1MD1，A1MDN， 即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为 90. 【答案】90 1(2015江西赣州四所中学联考，2)若平面平面 ，点 A，C，B，D，则直线 AC直 线 BD 的充要条

51、件是() AABCD BADCB CAB 与 CD 相交 DA，B，C，D 四点共面 【答案】D因为平面平面 ，要使直线 AC直线 BD，则直线 AC 与 BD 是共面直线，即 A，B，C，D 四点必须共面 2(2014山西太原期末检测，3)已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l() A平行 B相交 C垂直 D异面 【答案】C直线 l 与平面斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；l时，在平 面内不存在与 l 异面的直线，D 错；l时，在平面内不存在与 l 相交的直线，B 错无论哪 种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直 3(2015山东莱芜二模，4)设 m，n 是空

52、间两条直线，是空间两个平面，则下列命题中不正 确的是() A当 n时， “n”是“”的充要条件 B当 m时， “m”是“”的充分不必要条件 C当 m时， “n”是“mn”的必要不充分条件 D当 m时， “n”是“mn”的充分不必要条件 【答案】CC 中，当 m时，若 n，则直线 m，n 可能平行，可能异面 ； 若 mn，则 n 或 n，所以“n”是“mn”的既不充分也不必要条件，故 C 项不正确 4(2015浙江六校联考，6)已知两个不同的平面 ，和两条不重合的直线 a，b，则下列四个命题 正确的是() A若 ab，b，则 a B若 a，b，a，b，则 C若，b，ab，则 a D若，a，a，a

53、，则 a 【答案】D若 ab，b，则 a或 a，故 A 错 ； 当，相交时，a，b，且 a， b 都和交线平行，也满足 a，b，故 B 错；空间内垂直于 b 的直线 a 有无数条，与平面 的位置 关系不确定，故 C 错；由空间面面平行和线面平行的性质定理，可知 D 正确 5(2014安徽淮南三模，5)已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a平面 M，b平面 N，MNc. 若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交；若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；若 ab，则必有 ac；若 ab，ac，则必有 MN.其中正确命题的个数是() A0 B1 C2 D3 【答

54、案】C命题正确，命题错误其中命题中 a 和 b 有可能垂直；命题中当 bc 时，平面 M，N 有可能不垂直，故选 C. 6(2015山东枣庄模拟，6)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中， GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是() A B C D 【答案】C如图，把平面展开图还原成正四面体，知 GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DE 与 MN 垂直，故正确 7(2015上海模拟，

55、13)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1， 则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是_ 【解析】连接 BC1，图略由于 ACA1C1，所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的 角在BA1C1中，A1B，A1C11，BC1，cosBA1C1. 65 615 2 6 1 6 6 【答案】 6 6 8(2014山东济南一模，13)在正四棱锥 VABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，侧棱长为 2， 则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为_ 【解析】如图，设 ACBDO，连接 VO， 因为四棱锥 VABCD 是正四棱锥，所以 VO平面

56、ABCD，故 BDVO.又四边形 ABCD 是正方形， 所以 BDAC，所以 BD平面 VAC，所以 BDVA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 . 2 【答案】 2 9(2015山东临沂二模，13)在三棱锥 SACB 中，SABSACACB90，AC2，BC ，SB，则 SC 与 AB 所成角的余弦值为_1329 【解析】方法一 ： 如图， 取 BC 的中点 E， 分别在平面 ABC 内作 DEAB， 在平面 SBC 内作 EFSC， 则异面直线 SC 与 AB 所成的角为FED，过 F 作 FGAB，连接 DG，则DFG 为直角三角形 由题知 AC2，BC，SB，可得 DE，EF

57、2，DF .在DEF 中，由余弦定理可 1329 17 2 5 2 得 cosDEF. DE2EF2DF2 2DEEF 17 17 方法二：如图，以 A 为原点，以 AB，AS 所在直线分别为 y，z 轴，以垂直于 y 轴、z 轴的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，则由 AC2，BC，SB，得 B(0，0)，S(0，0，2)，C 1329173 ， (2 13 17， 4 17，0) ，(0，0)， SC (2 13 17， 4 17， 2 3) AB 17 设 SC 与 AB 所成的角为 ， 4，|4， SC AB SC AB 17 cos . |SC AB | |SC |AB | 17

58、17 【答案】 17 17 方法点拨 ： 求异面直线所成的角常采用“平移法” 与“向量法” 其中，平移的方法一般有三种类型 ： 利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线 所成的角通常放在三角形中进行相比较来说， “平移法” 是最基本的求解方法，适用于异面直线所成的 角易作的情况；“向量法”是一种能力解法，使用更广，适用于异面直线所成的角不易作、垂直关系多 的情况 (2015江苏，16，14 分，中)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C；

59、 (2)BC1AB1. 证明：(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DEAC. 又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC. 因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1. 又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1， BC平面 BCC1B1，BCCC1C， 所以 AC平面 BCC1B1. 又因为 BC1平面 BCC1B1， 所以 BC1AC. 因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1B1C. 因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC. 又