Fourier分析在偏微分方程中的应用

1、Fourier分析在偏微分方程中的应用2008-01-02，偏微分方程的研究对象是作为偏微分方程解的函数，“知道”函数似乎是一个明显的问题，但实际上这是一个非常深刻、革命性地推进偏微分方程发展的重要问题。 从时空“知道”函数(经典分析)从实验函数“知道”函数(广义函数)从谱域“知道”函数(Fourier分析)更一般地说，在一个基础上“知道”一个函数。 从Fourier分析开始微局部分析：模拟微分算子模拟微分算子微局部分析的应用是Fourier分析1822年Fourier发表了他的名萧热的分析理论。 从那时起，有Fourier级数、Fourier积分，有左不过调整和分析。 和谐分析是数学中百年来

2、为数不多充满活力前进、对科学有重大影响的数学分支。 根据(Joseph fourier，17681830)Fourier分析，Fourier在1807年提出了第一篇关于热传导的论文。 当时的Laplace(17491827 )和Lagrange(17361813 )等是审核员。 Fourier在1811年提交了修改的论文，得到了奖金，但在当时的科学院报告中没有发表。1922年Fourier发表了他的名萧热的解析理论后，Fourier成为科学爱琪美秘书，在科学爱琪美上发表了1811年修改的论文。 从Fourier分析出发，Fourier用他热的解析理论研究了有限长杆上的热传导方程式混合初边值问题

3、的解，并用今天众所周知的分离变量法将解写成级数。 Fourier在他的热解析理论的最后一部分讨论了半无限长杆上的温度分布，得到了Fourier积分，即我们后述的Fourier变换。 Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一头地。 Fourier的工作被迫修改了函数的概念。 也就是说，函数可以分阶段表达。 根据Fourier解析，Fourier级数： -、以连续函数或复数形式称为Fourier系数，其中和分别形成正交化学基。 从、Fourier分析开始，Fourier定理告诉了我们：一个周期函数总是可以用正弦函数和侑弦函数表示：从Fourier分析开始，四个不同频率的基波合成为一个波，从射频

4、波、次低频、Fourier分析开始从Fourier分析来看，小提琴家演奏的主唱，从Fourier分析来看，从频谱领域知道音乐是比从时域知道音乐聪明得多的方法。 音色音乐由适当的简单音(正弦波)组合而成，单音被称为泛音。 泛音中频率最低的叫基音，次低的叫第二泛音等。 音色音乐有音量、音调、音色、时间值四个要素。 从Fourier分析中，音量：由振幅决定，一般与振幅的平方成正比。 音调：(即声音的高度)由基音的频率决定，大致上频率提高2倍，音调提高1倍频程。 时间值：振动持续的时间。 音色：由声波的形状决定。 根据Fourier分析，如果知道乐器或者声音的话，知道对应的Fourier系数就可以了。

5、 正因为有了针对声音的数学研究，即Fourier分析的研究，人声识别、电子音乐等才成为可能。 从Fourier分析开始，Fourier变换：对应于Fourier级数的是Fourier变换，这是时频分析的重要技术，通常这里相当于Fourier级数的是频率变量。 时域内给出或频率域内给出，并通过在时间-频率之间进行变换和分析可获得许多有用信息。 从、Fourier分析到Fourier变换的性质，即函数的微分和乘法对。 具体地说，一个函数的导数是Fourier变换的乘法因子。Fourier变换是一种非常有吸引力的方法，它将函数的光滑性转化为Fourier变换的有界性，这种函数根据Fourier变换的

6、性质从Fourier分析转换为代数方程，以此类推。 问题也继续了：一个函数的Fourier变换不能写原来的函数的变量的方程式不能Fourier变换微局部分析，古典的偏微分方程考虑，微局部分析考虑。 或者在侑切丛中思考。 从空间和频率域两个方面知道函数。 直观地，多维空间定义的一个函数是一个点附近的形式是局部的，然而函数也涉及该点的不同方向。 点和方向是微小局部。 微局部分析拟微分算子，提出问题： 1维度空间波算子的分解：多维空间波算子的分解如何进行椭圆算子的逆运算子定义？ 微局部分析拟微分算子、拟微分算子成为一个系统科学是20世纪六十年代中期，集大成者是瑞典数学家，菲尔兹奖获奖者Hormand

7、er .拟微分算子的直接前身是Calderon，Zygmund创立的奇异积分算子理论。 微局部分析拟微分算子、拟微分算子的形式定义：其中称为象征(symbol )。 如果那是通常的微分运算符的话。 但是，一般可以作为有条件的光滑函数来展开。 例如，算子不是导数，其特征在于，导数局部分析，具有导数的定义，并且可以回答上述问题：云同步上定义了所有的分数阶导数、无理数阶导数和负导函数。 考虑了微局部分析拟微分算子、经典偏微分方程，拟微分算子必须考虑他的对偶变量，因此在上面进行了考虑。 拟微分算子理论的发展为解决线性偏微分方程的重大问题作出了重要贡献。 例如，Cauchy问题解的唯一性，椭圆算子的指标

8、问题(Atiyah-Singer指标定理)。 微局部分析以拟微分算子、拟微分算子为代表的微局部分析是一个很大的理论体系，微局部分析反映了超越偏微分方程的区域，成为现代分析的重要思想. 这方面最完整的摘要是Hormander的4卷书的巨大的萩。 微局部分析拟微分算子问题的提出：研究非线性偏微分方程解的正则性时，探讨系数的正则性影响解的正则性. 这会产生新的工具。 微局部分析模拟微分算子，J. M. Bony于20世纪80年代提出了模拟微分算子理论。 那个工作基于上世纪30年代的Littlewood-Paley分解。 微局部分析的新发展。 微局部分析拟微分算子的基本思想是分解：其中，各射频波优良，确定了其正则性. 微局部分析、拟微分算子和拟微分算子也属于调和分析的范畴，微局部分析和调和分析实际上难以划分界限： E.M. Stein的专着Harmonic Analysis中有第4章的拟微分算子和Fourier积分算子的拟微分算子的核表现为关奇异积分微局部分析的应用，问题的提出：线性Navier-Stoke方程的基本解的估计，微局部分析的应用，看运输方