北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第二课时二次函数yax2与

1、九年级数学(下)第二章二次函数,2.2二次函数的图象和性质 第二课时 二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象和性质,二次函数y=x2的性质,.顶点坐标 2.对称轴,3.位置 4.开口方向,5.增减性 6.最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y= -x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,y最小值为0.,当x=0时,y最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的

2、增大而减小.,复习巩固,抛物线y=x2与y=-x2关于x轴对称,抛物线y=x2与y=-x2关于原点中心对称,在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象,(1)完成下表：,(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象,函数y=2x2的图象是什么形状?它与y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?,x,y,o,y=x2,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,y=2x2,二次项系数a0,开口都向上;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点都是 原点(0,0).,二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物

3、线.,(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,只是开口 大小不同.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?,二次项系数a0,开口都向下;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点都是 原点(0,0).,二次函数y=-2x2的 图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.,(4)二次函数y=-2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=-x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,只是开口 大小不同.,x,y,o,y=x2,y=2x2,-4,-3,-2

4、,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,二次函数y=ax2的图象的开口大小由|a|来决定， |a|越小，开口越大， |a|越大，开口越小，,小结：二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标 2.对称轴,3.位置 4.开口方向,5.增减性 6.最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,a0,a0,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,y最小值为0.,当x=0时,y最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大

5、而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,在同一坐标系中作出二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象.,二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,议一议,x,y,o,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,函数y=2x2+1的图象是什么形状? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=2x2的图象有什么相同和不同?,议一议,y,o,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,

6、8,9,x,y=2x2+1,y=2x+1,议一议,二次函数y=2x2+1图像可以由y=2x2 的图象向上平移一个单位得到.,5,y=2x2+1,y=2x2,二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).,二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样?,二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物

7、线.,二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).,二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同; 最大值不同: 分别是1和0.,二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.,在同一坐标系中作出二次函数y=3x-1的图象与二次函数y=3x的图象.,二次函数y=3x一l的图象与二次函数y=3x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,议一议,0.25.,

8、0.5.,0.75.,1.,y,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2,想一想,你知道函数y=3x2-1的大致图象和位置吗?,二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到.,0.25.,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2-1,二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).,二次函数y=3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同; 最小值不同: 分别是-1和

9、0.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样?,二次函数y=3x2-1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.,二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).,二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1.,请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.,二次函数y=-3x2-1的 图象形状与y=-3x2 一样,仍是抛物线.,抛物线,顶点

10、坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：二次函数y=ax2+c的图象和性质.,由|a|来决定， |a|越大，开口越小， |a|越小

11、，开口越大。,二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？,二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c 0 时 向上平移c个单位得到. 当c 0 时 向下平移-c个单位得到.,函数,y=ax2+c,y=ax2,开口方向,a0时,向上,a0时,向下,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0,0）,（0,c）,a0时,向上,a0时,向下,上加下减,二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象上下平移|c|个单位得到。,1. 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？,汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。,影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦

12、系数.,2. 刹车距离与什么因素有关？,数学理解,3.有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：,比较函数 与 的图象,完成下表：,在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象(先想一想,在函数(2)中,v可以取任何值吗?为什么?),数学理解,36,72,v速度(公里/小时),S距离(米),速度在60公里/小时时，雨天与晴天的刹车距离相差多少公里？,数学理解,1. 如图，请找出下列函数所对应的图象： 1). 图象为 . 2). 图象为 . 3). 图象为 . 4). 图象为 .,2. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2

13、 经过 得到的. 它的对称轴是 , 顶点坐标是 ,在x0时.y值随x的增大而 ； 与x轴有 交点。,y轴,沿y轴向上平移5个单位,（0，5）,增大,2个,例题讲解,3.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 _ 移 个单位. 4.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为 . 5.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ） _（在，不在）y=ax2+a的图象上. 6. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则 k_,下,1,y=-3x2-2,在, 0.5,例题讲解,7. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）,思维

14、与拓展,y,x,0,x,0,x,0,x,x,y,y,y,B.,A.,C.,D.,B,8. 函数y=ax2+a与y= （a0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）,y,A.,C.,D.,D,思维与拓展,思维与拓展,10.某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.,解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有 A(-0.8,0) B(0.8,0) 将x=0.8,y=0 代入y=ax2+2.4得 0=0.64a+2.4 a=- 设涵洞所在抛物线的函数解析式为 y=- x2+2.4,思维与拓展,达标检测,一：填空 1.抛物线y=3x25的开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_，顶点是最_点，所以函数有最_值是_ 2.抛物线y=4x21与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_ 3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数关系式为_ 4.抛物线y=4x23是将抛物线y=4x2，向_平移_个单位得到的 5.抛物线y=ax21的图像经过（4，5），则a=_,二：选择 6.抛物线，y=4x2，y=2x2的图象，开口最大的是（ ） Ay=x2By=4x2 Cy=2x2D无法确定 7