11.3 数系的扩充与复数的引入.ppt

1、11.3 数系的扩充与复数的引入 基础知识 自主学习 要点梳理 1.数系的扩充 数系扩充的脉络是： ，用集合符号表示为 ，实 际上前者是后者的真子集.,自然数系,有理数系,实数系,N,Q,R,2.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,bR)的数叫复数，其中a,b分别 是它的 和 .若 ，则a+bi为实数， 若 ，则a+bi为虚数，若 ，则a+ bi为纯虚数. (2)复数相等：a+bi=c+di (a,b,c,dR). (3)共轭复数：a+bi与c+di共轭 (a,b,c,dR).,实部,虚部,b=0,b0,a=0且b0,a=c,b=d,a=c,b=-d,(4)复平面 建立直角坐

2、标系来表示复数的平面，叫做复平面. 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各 象限内的点都表示 . 复数集C和复平面内 组成的集合是一一对 应的，复数集C与复平面内所有以 为起点的向 量组成的集合也是一一对应的. （5）复数的模 向量 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作 或 ，即|z|=|a+bi|= .,x轴,y轴,实数,纯虚数,非纯虚数,所有的点,原点O,|z|,|a+bi|,3.复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，则 加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; 减法：z1-z2=(

3、a+bi)-(c+di)= ; 乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)= ; 除法： （2）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、 z3C，有z1+z2= ，（z1+z2）+z3= .,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,(c+di0).,z2+z1,z1+（z2+z3）,基础自测 1.（2009海安高级中学高三第四次检测）已知 mR，复数 （m2+2m-3）i，若z 对应的点位于复平面的第二象限，则m的取值范 围是 .,m-3或1m2,2.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数，则实数m的 值为 . 解

4、析 由题意知 m=0.,0,3.（2009海南）复数 = . 解析,2i,4.（2009天津）i是虚数单位， = . 解析,-1+2i,典型例题 深度剖析 【例1】当实数m为何值时， (m2+5m +6)i,(1)为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚 数；（4）复数z对应的点在复平面内的第二象限. 找准复数的实部与虚部，利用复数的概念 可求m的范围. 解 （1）若z为实数,分析,跟踪练习1 (2010泰州模拟)实数m分别取什么数值 时，复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)对应点在x轴 上方；(5)对应点在直线x+y+5=0上. 解

5、(1)由m2-2m-15=0, 得m=5或m=-3时，z为实数. (2)由m2-2m-150, 得m5且m-3时，z为虚数. 得m=-2时，z为纯虚数.,(4)由m2-2m-150,得m5时，z的对应点在 x轴上方. (5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0, z的对应点在直线x+y+5=0上.,【例2】已知x,y为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4- 6i，求x,y. 设x=a+bi，y=a-bi (a,bR)，根据复数 相等的条件求解. 解 设x=a+bi (a,bR)，则y=a-bi, x+y=2a,xy=a2+b2, 代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-

6、6i,分析,跟踪练习2 已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2= 2cos +(+3sin )i (R).若z1=z2,求的 取值范围. 解 z1=z2,m+(4-m2)i=2cos +(+3sin )i, =4-m2-3sin =4-4cos2-3sin =4sin2-3sin = -1sin 1, 当sin =-1时，max=7,【例3】（12分）如图所示，平行四边 形OABC，顶点O，A，C分别表示0， 3+2i,-2+4i，试求： （1） 所表示的复数； （2）对角线 所表示的复数; (3)求B点对应的复数. 利用复数的几何意义解题较好. 解题示范,分析,解,4分,跟踪练习3

7、(2010泰州模拟)若zC，且|z|=1，求 |z-i|的最大值. 解 方法一 设z=a+bi(a,bR)， 则|z-i|= a2+b2=1.|z-i|= 又|b|1，02-2b4, 当b=-1时，|z-i|=2为最大值. 方法二 因|z|=1，所以点Z是单位圆x2+y2=1上 的点， |z-i|= 表示点Z与点（0，1）之间 的距离，当点Z位于（0，-1）时，|z-i|有最大 值2.,思想方法 感悟提高 高考动态展望 高考中常以填空题的形式进行考查复数的概念、代 数运算、几何意义等，属容易题. 方法规律总结 1.注意复数a+bi是实数、虚数、纯虚数及两复数相 等的充要条件，注意实数与复数的区

8、别与联系.数 的概念扩展为复数之后，实数集中的一些运算性 质、概念、关系就不一定适用了（如不等式的性 质、绝对值的定义、偶次方非负等）.,2.复数运算可类比多项式的运算来加深理解和记忆. 如复数加、减运算等同于多项式合并同类项，乘 法等同于多项式相乘，只是注意i2=-1，除法运算 的基本思想是分母实数化（这类似于根式运算中 的分母有理化），复数加、减法几何意义本质上 是向量加、减运算等. 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. 4.复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重 要的思想方法.,定时检测 一、填空题 1.（2009山东改编）复数 = . 解析,2+i,

9、2.（2009浙江改编）设z=1+i(i是虚数单位)， 则 = . 解析 z=1+i, =(1-i)+ (1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.,1+i,3.（2010菏泽阶段检测）设 为复数z的共轭复 数，若复数z同时满足z- =2i， =iz，则z= . 解析 =iz,代入z- =2i，得z-iz=2i,-1+i,4.（2010无锡模拟）复数 的共轭复数是 . 解析,5.（2010南宁模拟）在复平面内，复数 对应的点位于第 象限. 解析 z对应的点在复平面的第四象限.,四,6.（2009山东济宁一模）设x,yR且 则x+y= . 解析 化简上式得 即5x(1+i)-2y(1+2

10、i)=5(1+3i)，,-6,7.（2010广州模拟）在复平面上，一个正方形 的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i，0， 则第四个顶点对应的复数为 . 解析 设第四个顶点对应的坐标为（x,y）, 则已知三点的坐标为（0，0），（1，2）， （-2，1），由题意设正方形的对边分别对应的 向量为z1，z2， 则有z1=z2,即(x+2,y-1)=(1,2),x=-1,y=3. 所以第四个顶点对应的复数为-1+3i.,-1+3i,8.（2009江苏徐州模拟）定义运算 若复数z符合条件 则复数z= . 解析 由定义运算可知 2zi-z=3+2i,9.（2009江苏苏中六校联考）给出下列四个命题

11、： 若zC,|z|2=z2，则zR; 若zC,z=-z，则z是纯虚数； 若zC,|z|2=zi，则z=0或z=i; 若z1，z2C，|z1+z2|=|z1-z2|，则|z1|z2|=0. 其中真命题的个数为 . 解析 设z=a+bi, 若|z|2=a2+b2=z2=a2-b2+2abi, b=0，zR，正确； 若z=0，则z不是纯虚数，错；,若a2+b2=-b+ai, 则a=0,b=0或b=-1, z=0或z=-i，错； 若|z1+z2|=|z1-z2|, 设z1=a+bi,z2=c+di. 则（a+c）2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2, 整理得ac+bd=0, 故此式不一定为0，错. 答案,1,二、解答题 10.（2010天津和平区调研）在复数范围内解方 程|z|2+ （i为虚数单位）. 解 设z=a+bi（a、bR），则|z|2=a2+b2，z+ =2a. 原方程同解于a2+b2+2ai=1-i，,11.（2009淮南调研）当实数m为何值时，复数 （m2-8m+15）+(m2+3m-28)i在复平面中的对应 点:(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上. 复数a+bi(a,bR)在复平面内的对应点. 对于（1）应满足 解,分析,12.（2010广东华南师大附中调研）已知z=m +3 i，其中mC，且 为纯虚数； （1）求m对应点的轨迹； （2）求|z|的最大值