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文档简介

1、6.2 点估计的评价标准,一、问题的提出,二、无偏性,三、有效性,四、相合性,1,五、均方误差,一、问题的提出,从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不同.然而, 原则上都可以作为未知参数的估计量.,问题,(1) 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?,(2) 评价估计量优劣的标准是什么?,下面介绍几个常用标准：,2,二、无偏性,定义6.1,3,证,例1,4,特别地,不论总体 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在,显然,5,分析,例2,设总体X的方差Var(X)存在，且 Var (X) 0, (X1, X2 , , Xn ) 为来自总体X的样本，试选择适当的常

2、数C，使得,为Var (X)的无偏估计.,需选择C，使,6,而X1, X2 , , Xn 相互独立，且与X 同分布,解,7,依题意，要求：,8,注,一般地，一个参数 的无偏估计量不唯一.,如：设样本(X1, X2 , , Xn ) 来自总体X，E(X)=,也均是的无偏估计.,问题：,对于同一个参数的多个无偏估计量，如何评价它们的优劣？,9,三、有效性,换句话说，,的波动越小，即方差,越小越好.,10,定义6.2,11,例3,来自总体X的样本，问：下列三个对 的无偏估计量哪一个最有效？,12,解,一般地，(可用求条件极值的拉格朗日乘数法证明)在 的无偏估计量,注,13,(1) 证,例4,14,1

3、5,16,解,17,18,三、相合性,例如,定义6.3,相合估计量(或一致,估计量).,19,证,(1) 由大数定律知,例5,20,由大数定律知,21,通过此例题,我们看到,要证明一个估计量具有相 合性,必须证明它依概率收敛,这有时很麻烦.因此,我们 下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理.,22,23,证明：,24,所以 是 的相合估计,25,无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参数真值 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方误差 均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望估计的均方误差越小越好。,四、均方误差,26,注意到 ，因此 (1) 若 是 的无偏估计，则 ， 这说明用方差考察无偏估计有效性是合理的。 (2) 当 不是 的无偏估计时，就要看其均方 误差 。 下面的例子说明：在均方误差的含义下有些有偏 估计优于无偏估计。,27,例7 对均匀总体U(0, )，由 的极大似然估计得到的无偏估计是 ，它的均方误差 现我们考虑的形如 的估计，其均方误差为 用求导的方

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