★教学生学会思考—解题教学

1、教学生学会思考解 题 教 学,一、教学的首要任务教“怎样思考”,经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了。” 什么原因？你老师没有把“让他自己会做”的方法教给他。 首先是解决“你是怎么想到的”？然后解决怎样让他也想到？ 好的教师“想给学生听”，“想给学生看”。 差的教师做给学生看，或 让好学生做给差学生看。 教大多数学生能想到的方法“教育效法自然” (卢梭)。 教本原的方法，有“技巧”也要教技巧怎么想出来的。 如求 1+2+3+100，要想高斯怎么会想到“首尾相加”的? 而不是仅学习“首尾相加”这一操作。 教“怎样思考”，“怎样才能想到”是数学教学的首要任务

2、。,二、解题教学教学生“学解题”,学生的主要任务并不是解题，而是“学”解题 教师教的重点和学生学的重点， 不在于“解”而在于“学解”。,作为,关注,“解” 出发点,解题的结果,“学解” 出发点,思路的寻找,作为,关注,学解题,为了,学解一类题,笛卡儿名言 我所解决的每一个问题都将成为一个范例，用以解其它问题。,“理解题意” 解题学习第一环节 解题第一位的是理解题意，但它却往往被学习者所忽视。 善于解题的人用一半时间理解问题, 只用另一半时间完成解答 学生不能很好解题的最重要原因， 没有树立重视理解题意的意识， 没有养成理解题意的良好习惯， 更没有掌握如何理解题意的方法。,遇到一个陌生的问题，怎

3、么去想？如何着手解题? 如何“从无到有” 地寻找思路，由“所有”探索“所无”,如何着手解题?如何理解题意?,三、“从无到有” 地寻找思路,教学生学,四、着手解题 的 启发性提示语,1)它是一个什么问题？它要求(证)的是什么？ 什么范畴的问题？“盯着目标”求(证)什么? 2)现有哪些材料？题设中的条件 3)有哪些工具？已经学过的 相关概念、 命题、公式 和 方法 4)还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？ 5)如何运用这些 条件 和 工具？ 6)是否还有条件没有利用？如何利用？,这些思考，不是 文字的简单浏览 和 思想上的一掠而过， 是深究每一个对象的意义、性质， 不同对象的关系, 特别

4、 能否转换 为其它的意义、关系. 这些思考并不是孤立进行，是贯穿在上述所有问题思考之中。 这是用于着手解题的最基本的思考方法，但不是万能的方法。,如何深究？如何转换?,五、理解题意 的 启发性提示语,它是什么？如何表示？还能如何表示？(转换) 它有什么性质？如何表示？还能如何表示？ 它们有什么关系？如何表示？ 还能如何表示？ 由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？ 中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？ 它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？,如何深究？ 对题意深究,如何转换？ 将形式转换,教学生寻找解题思路 就要提供 有效的指导思维操作的策略, 解题的启发性提示语 正提供了

5、有效的指导思维操作的程序。,“它” 每一个句子，名词，概念，关系，表达式，符号， 符号的上标下标，图形，图形中的点线面，等等。,已知函数 f (x)= (a0)是偶函数，求 a.,它是一个什么问题？函数问题。 求什么？ 求a。 已有什么材料？条件是什么？ 理解题意逐一搞清楚：“它”是什么？怎么表示？还能 f(x) 是什么？与自然对数、分式有关的比较复杂的函数。,f (-x) = f (x),“偶函数”是什么? f (-x) =f (x)。,f(-x)是什么? 还能怎么表示?, a 是什么?, a 是参数, a0。,a =1,a0,若 3a = 0.618, ak, k+1, kz . 则 k

6、= .,a-1, 0,k =-1,k, k+1是什么?,求值问题， 求 k，区间左端点。,是什么问题?求什么？,3a = 0.618 是什么?,数学符号,具体化,相邻整数区间,幂；当 a =？时 3 a = 0.618,3k 3a 3k+1,ak , k+1是什么?,kak+1,-1a 0, 3a ,30,3-1,它能推出什么？,1/3=0.33 ,3a =0.618, 1 = 30,还能推出什么？,基本策略,k 是什么？,k =0,1,2,-1,-2,抽象符号具体化,反比例函数y1=(3-k)/x (x0)和一次函数y2=kx+m(k, m常数, 且k1)的图像交于a, b两点。已知 a,

7、b 横 坐标是1和4. (1)求使y2y1的x的取值范围; (2)求两函数的具体表达式；(3)求aob的面积。 着手解题：这是什么问题？ 求什么？,理解题意：“使 y2y1”是什么(意思)？ 直线y2在曲线y1的上方部分, 即线段ab； 在a, b的横坐标之间，已知a, b 横坐标是1和4， (2)求具体表达式就是求k, m, (3)aob的面积怎么表示？ 设ab交x轴c(5,0)， 它们的底和高是什么？是a, b的坐标(1,4), (4,1)。,(1)求 x 的取值范围；,“底乘高除以2”？不通.,还能怎么表示？,能求出 saoc和 sboc 吗?,saob=saoc-sboc，,得saob

8、=15/2。,将 y1, y2联立方程组, 解得 k=-1, m=5;,函数及其图像的问题。,使 y2y1 。,这部分x取值范围是什么？,还能怎么表示？,恰好是 1x4；,有什么要求？,图形表示。,着手解题：它是一个什么问题？ 求什么？ 理解题意：a, b在第二象限, 是什么(意思)？ 点c(-1, 0)还表示什么？ b点横坐标是a， 则a=op, cp=a+1= 2cp。 解：|op|=oc+cp， 所以|op|=pc+oc=(a+1)/2+1=(a+3)/2， 得 -|op|=-(a+3)/2。,如图a, b在第二象限, 点c(-1, 0), 以c为中心 作abc位似图形abc，且把边长放

9、大 2倍。b横坐标是a, 则b的横坐标是( ). (a)-1/2 (b)-(a+1)/2 (c)-(a-1)/2 (d)-(a+3)/2,求 b点的横坐标。,cb =2cb。,直角坐标系里的位似图形问题。,b的横坐标是 -(a+3)/2，选d。,a, b横坐标是负的。,oc=1。,能不能求出|op|？,由 cp=a+1=2cp, 有cp=(a+1)/2；又oc=1；,还能怎样表示？,b的横坐标=-|op|。,边长放大2倍是什么？,过b, b作x轴垂线，垂足p，p，,b的横坐标是什么？,d,(2011.13) 设 1=a1a2a7, 其中a1, a3, a5, a7 成公比为 q 的等比数列,

10、a2, a4, a6 成公差为 1 的等差数列, 求 q 的最小值.,它是一个什么问题? 求什么? 数列问题,奇数项等比数列,偶 数项等差数列,求公比q最小值.,1=a1a2a7, a1=1，其它各项递增不减；,它表示什么?,1=a1a2 a7， 它还能怎么表示？具体化。 1a2qa2+1q2a2+2q3 还缺少什么？ a2 有什么性质？ q 有什么性质？ 要 q 最小， 代入，有2 q2 , 3q3，,缺少a2 和q ;,1=a1a2a3 ,得 q,1=a1a2,1a2q,必须q=a2,则 a2=1.,1a2q, q1,a2, a4, a6成等差数列, 公差为1 它还能怎么表示？ a2， a

11、4=a2+1， a6=a2+2；,a1, a3, a5, a7成等比数列, 公比q 它还能怎么表示？ a3=a1q=q， a5=q2， a7=q3；,那么a2要最小，,得 q, ，,得 q .,如图，o为正方形abcd中心，dbc的平分线交cd于e，延长bc 到点f，使cf=ce，连接 df 交 be 延长线于g，连接og。(1)求证：bcedcf；(2) og与bf 有什么数量关系？(3)若egbg=4-2 ，求正方形abcd的面积。,(2)由(1)得fdc=fbg, 易得fgb=90, bg 既是角平分线 又是高，得bd=bf，dg=fg；则 og是中位线，og:bf=1:2。 (3)求什

12、么？ 设正方形边长bc=x， abcd面积=x2. eg是deg的一边，bg是bdg的一边；,(1)明显；略。,deg与bdg 有什么关系？ 都是直角三角形，degbdg； 相似三角形有什么性质？ eg:dg=dg:bg，得 dg2=egbg； 则 dg2=egbg= 4-2 .,abcd的面积怎么表示？,eg，bg是什么？,怎么求边长x？,求正方形abcd面积。,利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、 整理，包括过程中出现的新对象，要一个不漏。 那么在理解题意的同时，基本上就能得到问题的解法。 对提示语的掌握也有一个从不会到会, 不熟练到熟练的过程, 只要坚持，不断领悟，就能

13、产生明显的效果。,知道了dg有什么好处？ 那又有什么好处呢？ cdf是rt，如求出cf即可求出cd(x)。 能求出cf 吗？ cf2+cd2=df2， 得(bf-bc)2+cd2=(2dg)2， 解得 x2= 4 .,就知道 df=2dg。,尝试尝试。,cf=bf-bc，,df和cd在cdf中,又bf=bd= x，,正方形abcd面积是4 。,由勾股定理,得 ( x-x)2+x2=4(4-2 )2,着手解题：这是一个什么问题？ 求什么？ (2) 求p点坐标； 函数 y图像的顶点b及点a怎么表示? 由(1)容易得 b(-2, 0)，a(0，1)。 圆o与ab相切于b, 可推出什么？ pbab。

14、连接pc，bpc+cbp=90， 即bcp=90， 由此可推出什么？,已知函数y=ax2+x+1的图像与x轴只有一个公共点。(1)求a； (2)设函数y图像顶点是b，与y轴交点是a，图像上任一点p ；圆o以pb为直径，与ab相切于点b，交x 轴另一点c，求p点坐标； (3)设点c关于pb的对称点是点m，试问m是否在函数y图像上？如果在，求出m点坐标；如果不在，说明理由。,得 a=0, 或a=1/4.,理解题意,(1)求系数a；,还能推出什么？,二次函数图像与圆的综合问题。,rtbpcrtabo；,且abo=bpc ；,可得bc:pc=ao:bo=1:2,怎么求？,bc:pc=ao:bo=1:2

15、, p坐标怎么表示? bo=2, 得 p点坐标是 (-b-2, 2b). p点在函数y 图像上, p点坐标代入函数式, 函数值=纵坐标, 即得 2b=(-b-2)2+(-b-2)+1, 解得 b=8, b=0(舍去).,得 pc=2bc.,co=bc+bo.,(3) m是否在函数y图像上？ m点坐标代入函数式, 函数值=纵坐标. 作c, m关于pb对称, 过m, q作x 轴垂线, 垂足为d, e; 易知 rtbpc rtabo rtbcq rtbqe rtqce 由(2), 相似比是1:2, 所以eq=16/5, 将14/5代入(1/4)x2+x+1, 得 144/5,画图,则e是cd中点.,

16、它是什么(意思)?,则pb垂直平分cm于q, q是cm中点.,怎么求m点坐标？,要求m, 先求出q.,m在函数y图像上, 它是什么(意思)?,则ce=2qe=4be;,bc=8, bc=5be, 得be=8/5;,od=cd-co=14/5,md=32/5,cd=64/5;,m (14/5, 32/5).,所以m不在函数y图像上.,32/5.,设bc=b,则cp=2b, co=b+2,得 p(-10, 16).,先求co,六、培养学生良好的读题习惯,1要求学生解题时先反复读题。 2要求学生用自己的语言反复叙述问题。 3要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。 4要求用不同的表达方式反

17、复叙述问题。 5要求解释题中各个名词的意义(用概念思考)，包括每个符号 的含义(用符号表示)，每句话的含义(换一种说法或表述)。 6要求尽可能画一张图。 7要求尽可能对每个名词, 每个符号, 每句话换一种表示。 8要求把看不懂的符号或表达式具体化。(抽象符号具体化) 9要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的 表达形式。 10要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想。,七、培养学生寻找解题思路,数学解题的启发性提示语要在“用”上下工夫 数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展 看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。 关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了

18、， 解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了。 必须在运用提示语的过程中学习提示语，在“用”中学， 只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力。 对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平。 教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用。 教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到。 教师首先自己一定要坚持用，用给学生看， 学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然,然后是,八、理解题意是一种独创性活动,“理解题意的启发性提示语”是一种元认知提示语 是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考。 启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现， 而不是代替学生去

19、探索和发现。 所以，用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动。 波利亚：“问题的求解比起问题的明确表达来， 就常常不需要那么多的见识和独创了。” 可见，理解题意，明确表达问题是需要较多见识和独创的。 说明，理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的。 所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养。 教学生“理解题意的启发性提示语”， 就是教学生如何去探索，就是教学生学会思考。,数学特色的教学设计原理,1. “教学生学会思考”的新授课原理; 2. “运用研究问题一般方法”的原理; 3. “问题结构推进教学”的原理 (“问题解决问题解决”结构) ; (每课提出问题说，化新授课为解题教学说

20、，课堂问题结构说) 4. “创设情境，提出问题”的原理 ; 5. “从无到有探究”的原理; (引导式探究，发现式探究；教师引导策略，学生探究方式) 6. “由远及近启发”的提示语原理; (元认知, 方法论, 认知性提示语) 7. “反思性教学”的原理(回顾，追问，反诘) ; 8. “归纳先导，演绎跟进”的原理 ; 9.“以理解题意为核心”的解题教学原理; (“学解新问题”的解题教学) 10. “教师是教学向导主角, 学生是探究活动主体”的原理.,理念：教育的科学发展观 数学教学的“二重对应”原理,谢 谢 大 家,p是 f (x)= ex (x0)图像上的动点,理解题意每一个句子,名词,表达式,

21、符号,符号的上标,下标,图形, 以及图形的点, 线, 面。,它是一个什么问题？求什么？,是关于函数 y=ex 的, 与图像切线有关的最值问题; 求线段中点纵坐标 t 的最大值.,函数 f (x)= ex (x0)图像,它是什么 (意思) ?,p 是图像上的动点 过 p 点的切线 l1 交 y 轴于点 m, (画) 过 p 点垂直于 l1 的直线交 y 轴于点 n,画图,图像的右半支,mn 中点纵坐标 t .,p 是图像上一点；,已知 p 是函数 f (x)= ex (x0)图像上的动点, 过 p 点的切线 l 交 y 轴于点 m, 过 p 点垂直于 l 的直线交 y 轴于点 n. 设 mn 中

22、点 的纵坐标为 t, 则 t 的最大值是 . (2012年江苏高考12题),p点 怎么符号表示?,过p点的切线l1, 切线方程：y-y0=k1(x-x0), k1是切线 l1的斜率,还能怎么符号表示？,斜率k1怎么表示？,先求函数 f (x)= ex 的导数 f (x)=ex, x=x0代入, 得 y0=f (x0)=ex0, k1=f (x0)=ex0, 把 y0= ex0, k1= ex0 代入 y -y0 =k1 (x-x0), 得切线 l1方程： y-ex0= ex0(x-x0).,过p 垂直于l1的直线l2,还能怎么表示？,直线 l2 的斜率是 k2=-k1-1= -e-x0, 直线

23、 l2 方程为: y-ex0=-e-x0(x-x0).,m, n点坐标怎么表示? 设m(0, ym), n(0, yn), ym , yn 怎么表示？,由 l1方程, 令 x =0 得 ym=ex0-x0ex0 ; 由 l2方程, 令 x =0 得 yn= ex0+ x0e-x0 .,t =(ym + yn), t(x0)=2ex0+x0(e-x0-ex0) t(x0)=ex0+x0(e-x0-ex0).,中点 公式,图形语言,符号语言,设p(x0, y0),除了图形表示, 还能怎样表示?,k1是什么？,线段 mn 中点纵坐标 t 怎么表示?,p是动点,m, n点坐标怎么表示? 设m(0, y

24、m), n(0, yn), ym , yn 怎么表示？,由 l1方程, 令 x =0 得 ym=ex0-x0ex0 ; 由 l2方程, 令 x =0 得 yn= ex0+ x0e-x0 .,盯着目标 求什么？,求函数t (x0)最大值,怎么求?,求极值点:由 t (x0)=0, 求出 x0=?,t(x0)=ex0+ x0(e-x0-ex0) t (x0) (求导) = (e-x0+ex0)-x0(e-x0+ex0) = (e-x0+ex0)(1-x0) 由于e-x0+ex00, 所以 1-x0= 0, 得 x0=1. 即 x0=1 时, t(x0) 取极值. 还要证明取最大值, 怎么证明？ 考

25、查x0=1附近t(x0)单调性,当 x0(-, 1)时, t (x0)0; 即 t(x0)在(-, 1)单调增. 当 x0(1,+)时, t (x0)0; 即 t(x0)在(1, +)单调减. 所以, 当 x0=1时, t (x0)取得最大值： t(x0)max=t(1)= (e-1+e).,注：这部分基本是运算操作，是基本 技能,牢固掌握十分必要。,接下来做什么？,=0,着手解题：它是什么问题？ 理解题意： 5c-3ab4c-a , 由可得, 2ac,已知正数a，b，c，且 5c-3ab4c-a，clnba+clnc，那么b/a 的取值范围是 . (2012年江苏高考13题),是由不等关系，

26、求取值范围的问题。,求 b/a 的取值范围。,b/a 是什么?,将代入 b4c-a,还能写出b/a其它的表达式吗？,“它”是什么(意思)?,“它”怎么表示?,求: ？ b/a ？,只能到条件里去找！,求什么？,还能怎么表示？,5c-3a4c-a, ,则b/a7.,得 b8a-a,b7a,b4c-a.,5c-3ab,已知a, b, c是正数,(这极大便利不等式运算),还能怎么表示?,(8a4c),b/a 大于什么？小于什么？,再求 b/a？,所以 x=e 时, lnx=1, y取最小值，,已知正数a，b，c，且 5c-3ab4c-a，clnba+clnc，那么b/a 的取值范围是 .,e，7,由

27、clnba+clnc 能推出什么?,推得 aclnb-clnc=cln(b/c)，,缺少什么?b。,y=(x/lnx)=(lnx-1)/ln2x,令(lnx-1)/ln2x=0 解得 x=e.,得a/b(c/b)ln(b/c),得 b/a y e.,用它能表示b/a 吗？,要求 b/a？,将不等式两边同除以b,b/a x/ lnx, (lnx0).,要求 x/ lnx 极值, 怎么求?,xe 时, lnx1, y=(lnx-1)/ln2x0。,即y = x/lnxe.,已得 b/a7,b/a还能怎么表示？,得 ac ln(b/c) ，,颠倒分子分母, 可得 b/a(b/c)/ln(b/c),令

28、(b/c)=x, 由得,用函数求导.,令 y= x/lnx,xe 时, lnx1, y=(lnx-1)/ln2x0；,ln(b/c) a/c0,?,还能怎样表示？,例题 已知a, b是椭圆 上两点，f1 是左焦点, 若 |af1|+|bf1|=12a/5(), ab中点到左准线距离3/2, 求椭圆方程.,它是一个什么问题？求什么？ 解几题, 求椭圆方程, 实际求a. a, b 怎么表示？ 设a(x1, y1), b(x2, y2). 此椭圆有什么性质(基本量)? 长半轴为a; b = 3a/5; c = a; 式是什么? 是a, b到左焦点f2 距离之和. ab中点怎么表示？ 还能怎么表示?

29、x0=(x1+x2)/2, y0=(y1+y2)/2.,有哪些材料？理解题意。,m 到左准线距离还能怎么表示? m到左准线距离横坐标作差. x0 + 5a/4 = 3/2.,设m(x0, y0).,左准线怎么表示? 左准线方程: x=-a2/c,画图,=-5a/4,e = c/a = .,用中点公式：,(又表示中点),椭圆第一定义: |af1|+|af2|=2a, |bf1|+|bf2|=2a. 椭圆第二定义: 前已得左准线方程 x=-5a/4 由a点有: |af1| / (x1+5a/4) = e = , 化简得 |af1|= x1+a 由b点有: |bf1| / (x2+5a/4) = e

30、 = , 化简得 |bf1|= x2+a 这些结论有什么关系?可推出什么? 得 |af1|+|bf1|= (x1+x2)+2a 还有什么条件没有用上？ 已知 |af1|+|bf1| = 12a/5 得 (x1+x2) +2a = 12a/5,化简得 x1+x2= a/2 前已得中点m 的x0两种表示： x0 =(x1+x2)/2, x0 +5a/4=3/2, 得 x1+x2= 3-5a/2 得 3-5a/2 =a/2, 解得 a = 1 . 椭圆方程是 .,有哪些工具？ 怎么表示？,已知：a,b是实数,函数 f (x)=x3+ax, g(x)=x2+bx, f (x)和g(x)分别是 f(x)

31、, g(x)导函数, 若f (x)g(x)0在区间i 上恒成立, 就称f(x)与g(x)在i上单调一致.,它是一个什么问题？求什么? 是多项式函数代数证明题, 与导函数性质有关; (2)求区间长度|b-a|的最大值.,(1) b是什么? 导函数 f (x)和g(x)怎么表示? f (x)=3x2+a 和 g(x)=2x+b f (x)g(x)0 是什么?具体化.,得 (3x2+a)(2x+b)0, 即 (3x2+a)(2x+b)0 在 i 上恒成立. 这句话是什么(意思)？ 即在-1, +)中任取一个数代入, 不等式都成立. 取特殊值 x=-1 代入, 得 (3+a)(-2+b)0, (3+a

32、)？(b-2)？ 得 b-20, b2. 即,b是 g(x)常数项.,(1)a0, 求参数b的取值范围;,具体化看一看。,由此可推出什么?,由a0, 知 3+a0;,b2, +),理解题意：它是什么?怎么表示?具体化.理清楚写下来. (2012-19),(1)设a0, i=-1, +), 求 b 的取值范围;,(2)设a0, ba, i是以 a, b 为端点的开区间, 求|b-a| 的最大值。,i是a, b为端点开区间. 表示什么? 区间i 开的, a, b为左右端点, 不定. (3x2+a)(2x+b)0 在ia, b恒成立.,(2)求区间长度|b-a|的最大值.,现a0, 那b是什么? b

33、0? b0? 不妨先假设一种情况。设b0, 由 a0, b0, 得 ab0 b0, 则b为右端点. 有什么性质? 在(a, b)上 f (x)g(x)0 恒成立, 具体化, 推出什么结论?取特殊值. 取0(a, b)，则 f (0)g(0)0， 得 f (0)g(0)=ab0, 与矛盾。 即 b0不可能，所以 b0 。,a0, b0, i (-, 0.(负半轴) 此时 f (x), g(x)有什么性质? x0, 则g (x)=2x+b0 那 f (x)有什么性质？即 f (x)0呢？还是f (x)0呢? f (x)在零点两侧异号，所以 先求零点：x=?时， f (x)=0。 f (x)=3x2

34、+a=0, 解得 x= (零点) 点c(- , 0)是 (-, 0上分段点； 分段点表示什么？ (-, 0被分两段.,|b-a|的最大值是什么意思？ 即 a, b的最大值与最小值的差.,若-x- (右端点) 则 f (x)0; (如图) 由得, f (x)g(x)0， 不满足 f (x)g(x)0. 若- x0 (左)， 则 f (x)0，由式得， f (x)g(x)0; (满足条件) 所以 (- , 0 为左端点。 这个结论还表示什么(意思)? 同时有 a、b- 。,已得结论 g (x)=2x+b0.,a- ，则 a2-a/3 ， 解得 -a0; b- , 得 b- ， 即 -b0; 于是

35、|a-b|， 且当a=-，b=0时等号成立。,当a=-，b=0时， 任取x-, 0), 即 -x0， 代入, 得 f (x)g (x)=6x(x2-), x0，x2-0， f (x)g(x)0。 所以 |a-b| 的最大值为。,在ia, b上f (x)g(x)0恒成立.,证明了必要性,要证充分性,将代入,简 单 的 线 性 规 划 问 题,情境问题：某工厂生产两种产品，生产1t甲种产品需要原料4 t，产生的利润 2万元；生产1 t 乙种产品需要原料1 t，产生的利润1万元受生产能力限制, 最多生产甲种产品和乙种产品各2 t现库存原料8 t. 问甲、乙两种产品各生产多少吨可使工厂获得最大利润？求

36、最大利润,一、创设情境 提出问题,1. 建立数学模型： 这是一个什么问题？是一个与工业生产利润有关的应用问题. 求什么？ 甲、乙两种产品各生产多少吨可获得最大利润？求最大利润.,原料(t) 利润(万元) 最大产量(t) 甲产品(1t) 4 2 2 乙产品(1t) 1 1 2 产品利润=每吨利润产量) 总利润 = 甲利润 + 乙利润 设：生产甲 x t，生产乙 y t，利润为 z z = 2x + y,有哪些材料？有哪些已知条件？ 材料很多, 怎样才能理清楚?(列表) 哪些对象？哪些数量？ 能列出表格描述问题的条件吗？ 甲、乙的利润各怎么计算？ 总利润是什么？ 总利润怎么计算？,利润可以无限大吗

37、？ 为什么？ 有哪些限制条件？ 限制条件怎样表示？,4x+y8 x0 x2 , y0 y2,数学问题：,名词：z=2x+y 称为“目标函数”； 不等式组称为“约束条件”,提出问题：现在已经得到了一个数学问题，接下来你会怎么想？ 这个问题怎么解决呢？提出本节课的问题.,现在得到一个纯粹的数学问题.,还不行吧？为什么？,1. 探索约束条件的几何意义 这个约束条件还能怎样表示？ 它有其它表达形式吗？ 不等式组是什么表达形式？(代数) 它有几何表示形式吗？(平面区域) 能把这个平面区域画出来吗？,二、探索题意 寻找思路,现在可以求利润 z 的最大值了吗？,对目标函数 z = 2x+y来说, 这个平面区

38、域 表示什么？,表示目标函数 z = 2x+y 中 x, y取值范围.,满足z = 2x+y的点(x，y)在平面区域内.,已知 求 z = 2x+y 的最大值,约束条件,目标函数,在这些直线中，方程里的 z 在哪里？ (每条直线, z有各自对应的值) 这说明 z 的几何意义是什么？ (直线在y轴上的截距),2. 探索目标函数的几何意义 接下来你想知道什么？ 约束条件的几何意义是平面 区域，那你会想到什么？ 目标函数z = 2x+y的几何意义 是什么？ (直线) 把z = 2x+y看成直线, 那它的 斜率是什么？(-2) 为什么? 这个直线方程还可以写成什 么形式?(y=-2x+z) (斜率是-

39、2) 它是一条直线吗？ (无数条, 一组直线) 这组直线有什么共同特点？ (斜率相同) 斜率相同说明什么？ 它们是什么样的直线？ (平行直线) 能画出这组平行直线吗？,3. 探索目标函数在约束条件下最值问题 这组直线中每一条都满足要求吗？ 哪些满足，哪些不满足？ (直线需要与可行域相交) 现在应该怎样找 z 的 最大值呢？ (直线与可行域相交； 直线在 y 轴上截距最大) 何时最大？(经过两直线 交点(1.5, 2)时最大) 最大值为多少？(z =6),线性规划问题: 问题新, 方法新,1、回顾解决问题的过程，归纳是如何求目标函数的最大值？ (1)找到约束条件和目标函数；(找) (2)画约束条

40、件的平面区域，画目标函数所表示的平行直线 l；(画) (3)在平面区域内平移直线 l 到 z 取得最值的位置；(移) (4)求出该位置的点的坐标(x，y)；(求) (5)将(x，y)代入目标函数z=2x+y，解出z的值(解) 2、回顾解决问题的过程，总结解题是怎样进行的？ (1)实际问题数学问题； (2)代数问题几何问题； (3)利用几何意义解决问题,三、回顾过程 归纳方法,2011年江苏省高考第20题解题教学,设数列an的 首项 a1=1，前 n 项和为 sn。已知 对任意整数 k, 当 nk 时，sn+k+sn-k =2(sn+sk) 都成立。,这是一个什么问题? 要求什么? 数列问题,

41、与数列前n项和有关;,a2 =2, a3=4, a4=6, a5=8。,nk, sn+k+sn-k=2(sn+sk)(). (1)中，这个()式表示什么？ k=1, n1, 有sn+1+sn-1=2(sn+s1) 下标间什么关系?还可怎么表示? sn+1sn(snsn-1)=2s1=2a1=2， 还能怎么表示?项的关系具体化. 得 an+1-an=2， 表示什么？ 相邻两项之差是常数2，公差=2.,nk, sn+k+sn-k=2(sn+sk) () (2)中，这个()式表示什么？ n4, 有sn+3+sn-3=2(sn+s3) 还能怎么表示? 改变n有什么结果？ 有 s(n+1)+3+s(n+

42、1)-3=2(s(n+1)+s3) 即 sn+4+sn-2=2(sn+1+s3) n5，sn+4+sn-4=2(sn+s4) 中途结论有什么关系？,(1)求数列第5项;,(2)求通项公式.,(1)设k=1, a2=2，求a5的值；,(2)设k3，4, 求数列an的通项。,如 nn+1 会怎么样?,有什么关系？具体化。 -, n4, an+4-an-3=2a4 它表示什么？还能怎么表示? 改变n有什么结果?(nn+1?) 由，有a(n+1)+4-a(n+1)-3=2a4 即 an+5-an-2=2a4 -, an-2+an-3=2(an+1-a4) -, an+5-an+4=an-2-an-3

43、+，得 an+4+an-2=2an+1 还能怎么表示？ 即 an+1-an-2=an+4-an+1 ,sn+3+sn-3=2(sn+s3) sn+4+sn-2=2(sn+1+s3) sn+4+sn-4=2(sn+s4) ,由具体化, 设 n5, a3-a2=d1 a4-a3=d2 a5-a4=d3 a6-a5=d4 a7-a6=d5 a8-a7=d6 a9-a8=d7 a10-a9 =a3-a2 =d1=d8 a11-a10 = a4-a3=d2=d9 a12-a11=a5-a4=d3=d10 a13-a12=a6-a5=d4=d11 a14-a13=a7-a6=d5=d12,由具体化, 设

44、n4 a5-a2=a8-a5 a6-a3=a9-a6 a7-a4=a10-a7 a8-a5=a11-a8 a9-a6=a12-a9 a10-a7=a13-a10 a11-a8=a14-a11,如何用它们? 还缺少什么? d1=d7=d 两组式子下标有什么关系？ a5-a2=a8-a5 是什么?看(),尝试, 尝试, 再尝试.,+,+,可推出什么?,(),(),d1+d2+d3,d4+d5+d6,d7+d1+d2,d3+d4+d5,d1+d2+d3=d4+d5+d6 d2+d3+d4=d5+d6+d7 d3+d4+d5=d6+d7+d1 d4+d5+d6=d7+d1+d2 d5+d6+d7=d1

45、+d2+d3 d6+d7+d1=d2+d3+d4 d7+d1+d2=d3+d4+d5,解方程组由得 d3=d7 : d1=d4, : d2=d5 : d3=d6, 得d3=d6=d7 代入: d2=d3=d5=d6=d7 代入: d5=d1=d4, 从而 d1=d2=d3=d4=d5=d6=d7=d an等差数列, 首项a2.,由 an+5-an+4=an-2-an-3=d，n=4时， 得 a9-a8=a2-a1=d，即an为等差数列, 首项a1，通项公式为 an=1+d(n-1). 缺d=？怎么求？什么条件可利用？ 仅有 sn+k+sn-k=2(sn+sk)() ()式还能怎么表示? 下标间什么关系?各项能否重新组合? 由(), (sn+k-sn)-(sn-sn-k)=2sk, 具体化. k=3时, (sn+3-s