第3章-幂级数展开分解.ppt

1、1、求幂级数收敛半径的方法 2、复变函数泰勒展开条件与展开方法 3、复变函数洛朗展开条件与展开方法 4、极点阶的确定,第三章 幂级数展开,重点内容,3.1 复数项级数,一、复数项级数定义及其收敛判据,复数项级数定义：,每一项均为复数,说明：,实数项级数是复数项级数的特例,一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论,2、复数项级数的收敛判据-Cauchy收敛判据,（1）实数项级数的收敛定义,.,极限S称为级数的和.,反之，称为发散。,则称级数 收敛。,（2） 复数项级数的收敛定义,.,则称级数 收敛。,极限S称为级数的和.,反之，称为发散。,（3）实数项级数Cauchy收敛原理,成立。,对于任意

2、的自然数p 都有：,证明见高等数学教材。,（4）复数项级数Cauchy收敛原理,说明nN后面项的和为一小数，则级数收敛。,证明略,成立。,对于任意的自然数p 都有：,二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质,1、 绝对收敛, 绝对收敛的定义,，,充分条件,常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛,或写为 、 、, 性质：,c.改变绝对收敛级数各项的先后次序其和不变。,成立。,则称级数 为一致收敛。,2、一致收敛, 一致收敛的定义,如果级数定义在区域B（或某曲线l）上，则在区域 B（或l）上的各点z，对于给定的小正数，存在与z无 关的正整数N,使得n N时，对于任意的自然数p恒有：, 性质：,b、

3、在B上一致收敛的级数的每一项都是B上的连续函数， 则级数的和也是B上的连续函数。 在l上一致收敛的级数的每一项都是l上的连续函数，则 级数的和也是l上的连续函数,而且级数可以沿l逐项积分。,c、在 中一致收敛的级数的每一项都在 中单值解析，则 级数的和也是 中的单值解析函数，其各阶导数可由级数 逐项求导得到，且导数的级数在 内的任意一个闭区域中 一致收敛。,a、一致收敛是对B或l而言，或者说是对复函数而言的。,三、级数绝对收敛性的常用判别法：,达朗贝尔（dAlembent） 判别法,对于级数,如果（至少当n充分大时）,柯西(Cauchy)判别法,高斯（Gauss）判别法,如果（至少当n充分大时

4、）,其中p1，而n 是有界的。,3.2 幂级数,一、幂级数表示,其中 都是复常数，这样的级数称为以z0为 中心的幂级数。,二、幂级数的收敛半径及其求法：,1、收敛半径R：,应用正项级数的比值判别法可知,如果,则幂级数绝对收敛。否则发散。,引入记号R，,以为圆心作一个半径为的圆，幂级数在圆的内部绝对收敛，在圆外发散。这个圆称为幂级数的收敛圆，它的半径称为收敛半径。,1 幂级数绝对收敛；若1则发散。,收敛半径为,对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）,2、Cauchy法求收敛半径,应用正项级数的根值判别法可知,如果,解：,级数的和为（几何级数）,令,解,收敛半径为,级数为,级数的和为

5、,例3 求下列级数的收敛半径；,解：,，这是实数项级数，为收敛级数（P 级数）。,z=1时，级数为,2）,在收敛圆周上,当z=0时，级数为：,当z=2时，级数为:,-调和级数，级数发散,-交错级数，由莱布尼茨准则知级数收敛,三、幂级数性质,1、级数在收敛圆内绝对且一致收敛,证明,由,2、级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点）,证明,该级数在 上仍一致收敛，可以沿 逐项积分，再应用 Cauchy公式，有,取 内任一点z，用 同乘以等式两边，,这就是说，幂级数的和可以用连续函数的回路积分来表示，而连续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次。所以，幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数。,3、幂级数在

6、收敛圆内部可以逐项求导任意多次。,1、解析函数在收敛圆内可以展开幂级数,证明,f(z)在CR内解析，则应用Cauchy公式，在CR内有,3.3 泰勒级数展开,、解析函数以幂级数展开问题,由（3.2.7）有,应用Cauchy公式，逐项积分，有,解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数。,1）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是 唯一的。（证明略）,2）若函数f(z)在收敛圆上或外部不解析，则函数与展开 的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。,2、说明,二、解析函数展为泰勒级数举例,1、直接展开法：,解：,也是解析的，而,故有：,收敛半径：,（1）,在整个复平面上解析的，在,的邻域上解析，,

7、解：,同理：,请同学们自己证明。,解：,2、间接展开法,f(z)=ln(1+z),解,3.4 解析延拓,一、问题的提出与解析延拓的概念,1、问题的提出,上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在 点不解析，但上式右端泰勒级数只在 区 域解析，这样，我们可以说有两个函数：,两函数的关系：,函数 的解析区域大于 的解析区域,在小区域上,能否通过 找到 呢？,2.解析延拓：,若已知f(z)在某个邻域b上解析，若能找到另一个函 数F(z)，使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的， 并且在区域b上等同于f(z)，这一过程称为解析延拓。,解析延拓就是使得解析函数定义域扩大。,二、解析延拓的方法：

8、,利用泰勒级数方法进行。选区域b的内点z0，在z0的邻域上把解析函数展开。如果这收敛区域有一部分超出b，函数f(z)定义域就扩大了一步，再在超出部分的区域选定一点为中心展开，这样反复下去就可以找到函数所有的解析区域了。,三.函数解析延拓的唯一性,函数f (z)通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数 是唯一的。,证明,3.5 洛朗级数展开,一、洛朗级数的定义,含有负幂的幂级数称为洛朗级数。,二、洛朗级数的收敛环,洛朗级数通常有两部分组成：,解析部分：,主要部分：,对主要部分做复数代换,在z平面的问题转化为在内讨论。,在平面内看来，它也是泰勒级数，收敛半径为,收敛域即：,回到z平面上，收敛域为,解

9、析部分和主要部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。,三、洛朗定理,有时需要讨论一个函数在它的奇点附近的性质，需要把函数展开为幂级数进行讨论。在这种情况下，显然不能做泰勒展开，而洛朗级数将解决这一问题。,1.洛朗定理：,f(z)可展为幂级数：,证明,取 比外境界线稍小， 比内境界线稍大，以不考虑圆周上的问题。,由复通区域的Cauchy公式，有,对于第一项有,所以有,（3）如果只有环心是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小。 这时的展开称为孤立奇点 的邻域内展开。,四、函数的洛朗展开法：,几点说明 （1）洛朗级数既可以在奇点附近展开，也可以在非奇点附 近展开。,解：z=0处是函数的奇点，其余在复平

10、面上收敛， 则收敛域为,解：函数f(z)存在两个奇点：z=1，z=2，函数在上述两环域 中均解析。级数中心均指定为z=1。,例3 求ctgz在z=0的邻域内的洛朗展开。,解：用待定系数法。,ctgz是奇函数，设,有,由此推得：,解,函数有两个奇点 z=0 , z=-1。函数在给定的区域解析。,对于D1区域：,对于D2区域，请同学们自己求解。,3.6 孤立奇点的分类,一、孤立奇点与非孤立奇点,函数f(z)在z0不可导，而在z0点的邻域内处处可导，此,z0称为f(z)的孤立奇点。,2.非孤立奇点：,一点使f(z)在该点处不可导，此点称为非孤立奇点。,1.孤立奇点：,函数f(z)在z0的邻域内除在z

11、0点不可导以外，还至少存在,解,注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.,因此，z=0是这两个函数的孤立奇点。,不再有其它奇点。,解,函数的奇点为,因为,（1）可去奇点：,该点称为可去奇点。,幂项）：,二、孤立奇点的分类及性质：,1.孤立奇点的分类：,说明:,据此显然有,是有限的。即函数在可去奇点的领域上是有界的。,不再是函数 的奇点。可去奇点今后将不作为奇点看待。,可去奇点的判定, 由定义判断:, 判断极限,若极限存在且为有限值,如果补充定义:,时,级数中不含负幂项,所以,解,解,无负幂项,另解,（2）极点：,（只有有限项负幂项），z0称为极点，m称为极点的阶。,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且, 由定义判别, 由定义的等价形式判别,解,是解析函数。,解,所以,的奇点, 如果是极点, 指出它的级数。,（3）本性奇点,例如，,含有无穷多个z 的负幂项,所以z=0为本性奇点，,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为 有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,如果 且 ，那么 级数 收敛.,交错级数的收敛准则(莱布尼兹准则)：,返回,函数f (z