高三数学一轮复习第九章平面解析几何第七节抛物线课件理.ppt

1、理数 课标版,第七节抛物线,1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内. (2)与一个定点F和一条定直线l距离相等. (3)l不经过点F.,教材研读,2.抛物线的标准方程与几何性质,1.抛物线y=x2的准线方程为() A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2 答案A由y=x2得x2=4y,所以抛物线的准线方程为y=-1.,2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是() A.B.C.D.0 答案B设M(x,y),且抛物线方程可化为x2=y,则必有|MF|=y+=y+ =1,所以y=.,3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准

2、线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为() A.-B.-1C.-D.- 答案C由点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,得焦点F(2,0),kAF=-,故选C.,4.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB的中点C的横坐标是. 答案 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又p=1,所以x1+x2=3,所以点C的横坐标是=.,5.顶点在原点,对称轴是y轴,并且经过点P(-4,-2)的抛物线方程是. 答案x2=-8y 解析设抛物线的方程为x2=my,将点P(-4,-2)代入x2=my,得m=-8,所以抛物线方程是x2=-8y.,考

3、点一抛物线的定义及其应用 典例1(1)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是() A.B.2C.D.3 (2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|(F为抛物线的焦点)的最小值为.,考点突破,答案(1)B(2)4 解析(1)由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F,则F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.,(2)如图,过B作BQ垂直于

4、准线交准线于点Q,交抛物线于点P1,连接P1F.抛物线的准线方程为x=-1,则|BQ|=4. 易知|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.|PB|+|PF|的最小值为4.,方法技巧 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”使问题得解. 转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.,1-1已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() A.B.3C.D. 答案A抛物线y2=

5、2x的焦点为F,由抛物线的定义知点P到焦点,F的距离等于它到准线的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=, 选A.,1-2设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=. 答案8 解析分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|

6、BN|=2|PQ|=8(由P(2,1)及抛物线x2=12y的准线方程为y=-3可知|PQ|=4).,考点二抛物线的标准方程及性质 典例2(1)(2016河南中原名校联考)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为4,则抛物 线的方程为() A.y2=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2= (2)(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的 距离为() A.2B.4C.6D.8,答案(1)B(2)B 解析(1)设M(x,

7、y)(x0),因为|OF|=,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,由抛物线,定义知x+=2p,所以x=p,所以y=p,又MFO的面积为4,所以 p=4,解得p=4(p=-4舍去).所以抛物线的方程为y2=8x. (2)不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|OD|, 得+8=+5,解得p=4.故选B.,方法技巧 (1)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). (2)抛物线的标准方程有四种不同的形式,焦点到准线的距离为p,顶点到准线、焦点的距离为,通径长为2p. 2-1已知抛物线C与双曲线x2-

8、y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是() A.y2=2xB.y2=2x C.y2=4xD.y2=4x 答案D因为双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线方程为y2=2px,(p0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.,2-2过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为() A.B.C.D.2 答案C设A(x1,y1),B(x2,y2), 不妨令y10,y20, 如图所示,l为抛物线的准线,过A作AC垂直于直线l,垂足为C,则|AF|=|AC|=x1+1=3, x1=2,y1=2. 由题意设直线AB的方程

9、为x-1=ty,由消去x,并整理得y2-4ty-4=0, y1y2=-4. y2=-, SAOB=1|y1-y2|=,故选C.,考点三直线与抛物线的位置关系 典例3已知曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程; (2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线,都有0), 化简得y2=4x(x0). (2)存在.理由如下: 设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 设l的方程为x=ty+m(tR),由得y2-4ty-4m=0, 于是=16(t2+m)0, ,=

10、(x1-1,y1),=(x2-1,y2),0(x1-1)(x2-1)+y1y20 x1x2-(x1+x2)+1+y1y20 +y1y2-+10,+y1y2-(y1+y2)2-2y1y2+10, 将代入,并整理得,m2-6m+14t2,对于任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式对于一切实数t成立等价于m2-6m+10,解得3-2m3+2.,由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有0,且m的取值范围是(3-2,3+2).,方法技巧 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到一元二次方程的根与系数的关系进行解题; (2)

11、有关直线与抛物线相交的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接用公式|AB|=|xA|+|xB|+p或|AB|=|yA|+|yB|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式; (3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时,一般采用“设而不求,整体代入”的解法. 提醒:涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.,3-1已知抛物线y2=2px(p0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,=12. (1)求抛物线的方程; (2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程. 解析(1)显然直线l的斜率存在. 设l:x=my-2,代入y2=2px中,得y2-2pmy+4p=0.(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=2pm,y1y2=4p, 则x1x2=4.,因为=12, 所以x1x2+y1y2=12, 即4+4p=12,解得p=2, 故抛