3.2.2复数代数形式的乘除运算.ppt

1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算,ac+ad+bc+bd,a2-b2,a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,主题1复数的乘法 1.类比多项式的运算，试计算(1+i)(1+2i)的值. 提示：(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=-1+3i.,2.多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则？ 提示：多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部.,结论： 1.复数代数形式的乘法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)，则z1z2=(a+bi)(c+di)=_.,(ac-bd)+(ad+bc)i,2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3

2、C，有,z2z1,z1z2+z1z3,【对点训练】 1.(2018全国卷II)i(2+3i)=() A.3-2iB.3+2i C.-3-2iD.-3+2i 【解析】选D.i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.,2.复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【解析】选B.z=i+i2=-1+i的对应点为(-1，1)，此点位于第二象限.,主题2共轭复数与复数的除法 1.复数z1=a+bi与z2=a-bi(a，bR)中实部与虚部有什么关系？ 提示：两复数实部相等，虚部互为相反数. 2.试求z1=a+bi，z2=a-bi(a

3、，bR)的积. 提示：z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2.,3.如何将(1+2i)(3+4i)转化为两复数的乘积？ 提示：(1+2i)(3+4i)=(1+2i) = (1+2i) =(1+2i) =(1+2i),结论： 1.共轭复数的定义 当两个复数实部_，虚部互为_时， 这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数记作 且z =|z|2=| |2.,相等,相反数,2.复数除法的法则 (a+bi)(c+di)= =_ (c+di0).,【对点训练】 1.已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=() A.-2-iB.-2+i C.2-iD.2+i 【解析】选C.因为z-1= =1-i，

4、所以z=2-i.,2.(2018天津高考)i是虚数单位，复数 =_. 【解析】 答案：4-i,类型一复数代数形式的乘除运算 【典例1】(1)(2018全国卷I)设z= +2i， 则|z|=() A.0B. C.1D.,(2)(2018江苏高考)若复数z满足iz=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为_.,【解析】(1)选C.因为 = +2i=i， 所以|z|= =1.,(2)设z=a+bi，则i(a+bi) =ai+bi2=ai-b=1+2i， 故a=2，b=-1，故z=2-i，实部为2. 答案：2,【方法总结】复数乘除运算的常用技巧 (1)按照复数的乘法法则 三个或三个以上的复数相乘可按从

5、左到右的顺序运算或利用结合律运算. 混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算.,(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与实数中的“分母有理化”类似.,(3)运算顺序：复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减).如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.,【跟踪训练】已知复数z=1-i，则 等于() A.2iB.-2iC.2D.-2,【解析】选B.方法一：因为z=1-i， 所以 方法二：由已知得z-1=-

6、i， 而,【补偿训练】(2018天津高二检测)i是虚数单位， 若 =a+bi(a，bR)，则ab的值是() A.-15B.3C.-3D.15,【解析】选C. 所以a=-1，b=3，ab=-3.,类型二共轭复数及其应用 【典例2】(1)(2018北京高考)在复平面内， 复数 的共轭复数对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限,(2)若f(z)=2z+ -3i，f( +i)=6-3i，求f(-z).,【解题指南】(1)先分母实数化，再求其共轭复数. (2)利用f(z)把f( +i)表示出来，设z=a+bi(a，bR)， 再利用复数相等求出a和b，进而求出f(-z).,【

7、解析】(1)选D.复数z= 所以z的共轭复数 对应的点为 位于第四象限.,(2)因为f(z)=2z+ -3i， 所以f( +i)=2( +i)+( )-3i =2 +2i+z-i-3i=2 +z-2i. 又因为f( +i)=6-3i， 所以2 +z-2i=6-3i.,设z=a+bi(a，bR)， 则 =a-bi， 所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i， 即3a-bi=6-i.,由复数相等的定义，得 解得 所以z=2+i， 故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.,【方法总结】共轭复数的应用 (1)化标准形式：求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形式，

8、得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数.,(2)实数化：进行复数除法运算时，主要采用分母实 数化的方法，其实质就是将分式的分子、分母同乘以 分母的共轭复数，根据公式z =|z|2=| |2进行化 简并计算.,【跟踪训练】(2018浙江高考)复数 (i为虚数 单位)的共轭复数是() A.1+iB.1-i C.-1+iD.-1-i,【解析】选B. 所以其共轭复数为1-i.,【补偿训练】如果复数z满足关系式z+| |=2+i， 那么z等于_.,【解析】设z=a+bi(a，bR)，则 =a-bi， | |= ， 所以a+bi+ =2+i， 所以得： 解得 所以z= +i. 答案： +i,类型三i的乘

9、方的周期性及应用 【典例3】(1)i为虚数单位，i607的共轭复数为() A.iB.-iC.1D.-1 (2)计算i1+i2+i3+i2 018=_.,【解题指南】(1)利用复数的四则运算及共轭复数的概念. (2)利用i的乘方的周期性进行计算.,【解析】(1)选A.因为i607=i4151+3=i3=-i， 所以其共轭复数为i. (2)方法一：原式=,方法二：因为i1+i2+i3+i4=0， 所以in+in+1+in+2+in+3=0(nN)， 所以i1+i2+i3+i2 016+i2 017+i2 018 =(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+ +(i2 013+i2 0

10、14+i2 015+i2 016)+i2 017+i2 018=i-1. 答案：i-1,【方法总结】简化复数运算的常用结论 in(nN*)的周期性 计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方，in有如下性质：i1=i，i2=-1，i3=ii2=-i，i4=i3i=-i2=1，从而对于任何nN*，有i4n+1=i4ni=(i4)ni=i，,同理可证i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+4=1， 这就是说，如果nN*，那么有i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+4=1. 注意：(1)上述公式中，说明in(nN*)具有周期性，且最小正周期是4. (2)n可推广到整数集.,(3)

11、4k(kZ)是in(nN*)的周期. 显然in+in+1+in+2+in+3=0(nN*). 因为in(nN*)具有周期性，解题时要灵活运用， 或适当变形，创造条件转化为i的计算.一般地， 有(1i)2=2i，,【跟踪训练】计算 的结果为() A.iB.-iC.1D.-1,【解析】选D.,拓展类型：复数的综合应用 【典例】(1)若等比数列zn中，z1=1，z2=a+bi， z3=b+ai(a，bR且a0).则a=_，b=_. (2)设z是虚数，=z+ 是实数，且-12， 求|z|的值及z的实部的取值范围.,【解题指南】(1)根据等比数列的性质列等式， 由复数相等列方程组计算. (2)按常规解法，设z=x+yi(x，yR)，化简 =z+ ，找出实部、虚部可以列出的等量关系式 求解.,【解析】(1)因为z1，z2，z3成等比数列， 所以 =z1z3，即(a+bi)2=b+ai. 所以a2-b2+2abi=b+ai， 所以 (a0)，解得 答案：,(2)因为z是虚数，所以可设z=x+yi，x，yR， 且y0. 所以=z+ =x+yi+,因为是实数且y0，所以y- =0，所以 x2+y2=1，即|z|=1.此时=2x.因为-12， 所以-12x2，从而有- x1，即z的实部的取值 范围是