数学建模课件.ppt

1、第一章建立数学模型，1.1从真实物体到数学模型1.2数学建模的意义1.3数学建模的例子1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特征和分类1.6如何学习数学建模，玩具，照片，飞机，火箭模型，物理模型，水箱中的船，风洞中的飞机，物理模型，地图，电路图，分子结构图，符号模型，以及模型是为了某种目的而简化，抽象和提炼一部分客观事物的原型的替代品。模型反映了人们在原型中需要的特征。1.1从实物到数学模型，我们常见的模型，你们遇到的数学模型，“航行问题”，用X表示船速，用Y表示船速，并列出方程式：甲：船速为20公里/小时，甲、乙双方的距离为750公里。船舶从甲方航行到乙方需要30小时，逆水航行需要50小

2、时。这艘船的速度是多少？X=20 y=5，建立航行问题数学模型的基本步骤，并作出简化假设(船速和水速是常数)；用符号表示相关量(x，y代表船速和水速)；用物理学定律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)来列出数学公式(二元线性方程)；得到数学解(x=20，y=5)；回答原来的问题(船的速度是20公里/小时)。数学模型和数学建模，对于一个真实的对象，为了一个特定的目的，根据其内在的规律，做出必要的简化假设，并使用适当的数学工具来获得一个数学结构。建立数学模型的全过程(包括表达、求解、解释、检验等。)，数学模型，数学建模，1.2数学建模的意义，电子计算机的出现和迅速发展；数学以前所未有的广度和深度渗透

3、到所有领域。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模在一般工程和技术领域仍然有很大的用处。数学建模几乎是高科技领域不可或缺的工具；数学进入了一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的具体应用，分析与设计，预测与决策，控制与优化，规划与管理，数学建模，计算机技术，知识经济，1.3数学建模实例，1.3.1椅子能稳定在不平坦的地面上吗，问题分析，模型假设，通常三只脚接触地面，四只脚稳定地接触地面，四条腿长度相同，椅子与地面点接触。地面高度连续变化，可视为数学连续曲面；地面相对平坦，因此椅子至少有三英尺可以同时接触地面的任何位置。椅子位置和四只脚落地之间的关系

4、用数学语言表达。椅子位置由正方形的对称性(椅子脚的连线)和对角线与X轴之间的角度来表示。距离是一个函数，四个距离(四英尺)，A和C英尺与地面之间的距离之和(F)，以及B和D英尺与地面之间的距离之和(G)。正方形ABCD围绕O点旋转，椅子位置和四英尺落地之间的关系用数学语言表示。f()和G()是连续函数。对于任何一个，F()和G()中至少有一个是0。数学问题，众所周知，F()和G()是连续函数；F() g()=0表示任何。g(0)=0，f(0) 0。证明了存在0，所以f(0)=g(0)=0。模型是由地面构成的，地面是一个连续的曲面，椅子在任何位置至少有三英尺接触地面。对模型进行了求解，给出了一种

5、简单而粗略的证明方法，即将椅子旋转900，对角的交流和直流互换。从g(0)=0，f(0) 0，f(/2)=0，g(/2)0。让h()=f()g()，然后h(0)0和h(/2)0。从F和G的连续性，我们知道H是一个连续函数。根据连续函数，因此，f(0)=g(0)=0。评论和思考，建模的关键，假设的本质和非本质，四条腿的长方形椅子的研究，以及f()、g()的确定，1.3.2商人如何安全过河，问题(拼图游戏)，三个商人和三个跟随者，以及跟随者在河中的秘密，问题分析，多步决策过程，决策的每一步(从岸到岸或从岸到岸)， 要求船上人员在安全的前提下通过有限的步骤过河(海峡两岸的追随者不超过商人的数量)。模

6、型组成，第一次渡河前该岸上的商人人数xk，第一次渡河前该岸上的追随者人数YK，XK，YK=0，1，K=1，2，SK=(xk，yk)，S=(x，y) x=0，y=0，1，2，3；x=3，y=0，1，2，3；X=y=1，2，S允许状态集，在英国的第kth渡轮上的商数，在vk的第kth渡轮上的追随者数，dk=(英国，vk)决策，D=(u，v) u v=1，2允许决策集，英国，vk=0，1，2；K=1，2，sk 1=sk dk，(-1)k，状态转移定律，dkD(k=1，2，n)，skS，并根据从s1=(3，3)到sn 1=(0，0)的转移定律，多步决策问题，模型求解，穷举法K奇，向左下移；k偶数，向右

7、移动。s1，sn 1，d1，d11给出一个安全的过江方案，注释和思考，标准化的方法，便于推广，考虑到四个商人各带一个跟随者的情况，允许状态，S=(x，y) x=0，y=0，1，2，3；x=3，y=0，1，2，3；X=y=1，2，背景，世界人口增长概况，中国人口增长概况，研究人口变化规律，控制人口过度增长，1.3.3如何预测人口增长，马尔萨斯提出了指数增长模型(1798)，常用的计算公式是，x(t)时间t的人口，基本假设是33，360人口的(相对)增长率R为常数。K以后，随着时间的增加，人口按照指数规律无限增长。指数增长模型的应用和局限性与19世纪前一些欧洲地区的人口统计数据是一致的。它适用于1

8、9世纪后移居加拿大的欧洲移民的后代，可用于短期人口增长预测，这不符合19世纪后大多数地区的人口增长规律，也不能预测长期人口增长过程。Logistic模型中，人口增长到一定数量后增长率下降的原因是：资源、环境等因素延缓了人口增长，且延缓效果随着人口的增加而增加。假设R的固有增长率(X很小)，xm的人口容量(资源和环境能够容纳的最大数量)，S曲线，X先快后慢。停滞增长模型(Logistic模型)、参数估计、指数增长模型或停滞增长模型对于人口预测，我们必须首先估计模型参数R或R、xm，并利用统计数据用最小二乘法进行拟合，例如，美国人口数据(以百万计)、专家估计、停滞增长模型(Logistic模型)、

9、模型检验，并利用该模型计算2000年美国人口，与实际数据进行比较。实际价值为2.814亿英镑。应用该模型对2010年美国人口进行预测，并在加入2000年人口数据后对模型参数进行重新估计。Logistic模型在经济领域的应用(如耐用消费品的销售量)，Logistic模型，数学建模的基本方法，机理分析，检验分析，根据对客观事物特征的理解，找出反映内在机理的定量规律，把对象看作一个“黑箱”，通过对实测数据的统计分析，找出与数据最吻合的模型。机制分析没有统一的方法，主要是通过案例学习。以下建模主要是指机理分析。将二者结合起来，通过机理分析建立模型结构，通过试验分析确定模型参数，1.4数学建模的方法和步

10、骤，数学建模的一般步骤，模型的准确准备，了解实际背景，明确建模目的，收集相关信息，掌握对象特征，形成清晰的问题，根据问题特征和建模目的做出合理简化的假设，在合理性和简化之间做出折衷，建模，用数学语言和符号描述问题，发挥想象力，运用类比法， 尽可能采用简单的数学工具，数学建模的一般步骤，模型求解，各种数学方法，软件和计算机技术，如结果的误差分析，统计分析，模型对数据的稳定性分析，模型分析，模型检验，与实际现象和数据的比较，检查模型的合理性和适用性，其应用，数学建模的一般步骤，数学建模的全过程，现实对象的信息，数学模型， 现实物体和数学模型的解，(归纳)，(演绎)，表达，求解，解释和验证，根据建模目的和信息将实际问题转化为数学问题，并选择合适的数学方法获得数学模型的解。 将用数学语言表达的解翻译回实际对象，并用真实对象、实践、真实世界、数学世界的信息测试该解，1.5数学模型的特征和分类、其保真度和可行性、其渐进性、其健壮性、其可移植性、其非预制性、其组织性、其技术性、其局限性、其特征和其特征人口、交通、经济、生态、数学方法、初等数学