第五章 平面电磁波

1、第五章 平面电磁波,本章内容 5.1平面正弦电磁波在理想介质中传播 5.2平面正弦电磁波在导电介质中的传播 5.3良导体的趋肤效应和表面阻抗 5.4电磁波的色散和群速度 5.5电磁波的极化 5.6平面正弦电磁波对平面分界面的垂直入射 5.7平面正弦电磁波对理想导体平面的斜入射 5.8平面正弦电磁波对理想介质分界面的斜入射,5.1平面正弦电磁波在理想介质中传播,1. 波动方程及其求解方法,在4.2节已经给出了在均匀、各向同性、无损耗媒质的无源区域的波动方程,(5.1.1) (5.1.2),在直角坐标系中，电场强度E为,(5.1.3),把式（5.1.3）代入到式（5.1.1）中得到三个形式完全相同

2、的标量偏微分方程,式中,把上述三个标量偏微分方程求解后即得出电场强度E。,2. 平面电磁波,（5.1.4）,对于均匀平面电磁波，设电场只有Ex一个分量并随z方向一维变化，则式（5.1.4）简化为,其通解为,3. 平面正弦电磁波,如果平面正弦电磁波沿z轴正向传播，则 Ex（z,t）=Exmcos（t-kz）,如果平面电磁波沿z轴正向传播，则,考虑到传播方向，磁场强度可写成矢量形式，即,例5.1在自由空间中，E（z,t）=ey103sin(t-z)（V/m） 试求H（z,t）。,解: 很显然,下面通过判断给出H（z,t）的方向，由E（z,t）表达式可知，电磁波是沿着z轴正向传播，电磁波的传播方向即

3、是坡印廷矢量S的方向，由S=EH，可以判断磁场应为-ex方向，所以,4. 平面正弦电磁波的特性,（1） 行波特性 （2） 横波特性 （3） 特性参量 周期T、频率f、角频率 速度v、波长、波数k,例5.1.2 均匀平面正弦波在各向同性的均匀理想介质中沿x轴正向传播，介质的特性参数为r=4、r=1，=0。电磁波的频率为100MHz，电场强度的幅值为104V/m，电场沿x方向，且当t=0，z=1/8m时，电场强度等于其幅值。试求： （1） 波速、波数和波长； （2） 电场强度矢量E（z,t）； （3） 磁场强度矢量H（z，t）。 解（1）,（2）E（z,t）=exEx 式（5.1.15）是初相为0

4、的表达式，如果初值不为0，其表达式为,当t=0,z=1/8m时，Ex=Exm，即,所以,（3） 介质的本征阻抗,所以,5.2平面正弦电磁波在导电介质中的传播,1. 复介电常数,引入复介电常数后，无源导电介质的麦克斯韦方程为,2. 导电介质中的电场强度,电场强度的瞬时值表达式为,导电媒质电场强度的传播规律： （1） 导电介质中电场强度是按照e-z衰减的，是表示单位距离衰减程度的系数，称为电磁波的衰减系数。电导率越大，就是越大，衰减就越快。 （2） 表示单位距离落后的相位，称为电磁波的相位系数。与理想介质不同，导电介质的相位系数不再是常数，而是与、都有关系的一个系数。,3. 导电介质中的磁场强度,

5、磁场强度的瞬时值表达式为,磁场强度除衰减系数和相位系数与电场强度有相同的规律外，还具有如下规律： （1） 磁场强度的振幅与1/|c|有关，它不仅取决于 还取决于导电介质电导率的大小。 （2） 磁场与电场不再是同相的，而是磁场比电场滞后 角。这一点通过图5.2.1可以定性地看出。,图5.2.1 导电媒质中平面正弦波的电场和磁场,4. 关于导电介质的讨论,（1） 低损耗介质 在/1情况下对式（5.2.15）进行近似估算,而相位系数近似为 复本征阻抗为,（2） 良导体,在/1情况下对式（5.2.15）和式（5.2.16）进行估算,复本征阻抗为,例5.2.1 频率为550kHz的平面波在有损媒质中传播

6、，已知媒质的损耗角正切tan=/=0.02，相对介电常数r=2.5。求平面波的衰减系数、相位系数和相速度。 解:,5.3良导体的趋肤效应和表面阻抗,良导体中电场强度和磁场强度的瞬时值,由于 很大，电磁波进入良导体很短的距离，场的幅值就很小，这种现象称为趋肤效应。 趋肤效应可以用趋肤深度来描述，通常也称为穿透深度，它定义为： 场进入有损介质后幅值衰减为原来的1/e的深度，即,所以对于良导体有,由于良导体= ,而=2/，可以得出趋肤深度和波长的关系为 =/2 对于良导体而言，在直流或低频下工作，整个导体截面都有电流流过； 但是在高频下工作时，由于趋肤效应，导体中的电流将集中在靠近表面的薄层上，随着

7、深度的增加，导体内部的电流密度迅速减小，如图5.3.1所示。把J=E代入到式（5.2.13）得,图5.3.1 良导体中电流密度分布示意图,可见，在高频情况下再沿用原来的电阻或阻抗的概念是不行的，于是定义导电媒质的表面阻抗率为,式中Et是导电介质表面的切向电场，即当z=0时的Ex值，Ex=J0/。,Js是导电介质表面上单位宽度，深度为无限大（实际上良导体只在很小深度有趋肤电流）的截面上流过的电流，即,所以,式中，rs=/称为表面电阻率； xs=/称为表面电抗率。,对于良导体,例5.3.1 已知铜的电导率为=5.80107S/m，求半径为2mm的铜导线当f=1MHz时单位长度的表面电阻。 解: 铜

8、的表面电阻率为,表面电阻与表面电阻率的关系为 Rs=rsl/w 式中，l为导体的长度，本题为1个单位长度； w为宽度，本题w=2r。 所以,下面再来计算一下直流电阻R0的大小,可见，高频时良导体的表面电阻远大于直流电阻，为了减小电阻只有增加导体的表面积。,例5.3.2 频率为10MHz的平面波在金属铜里传播，已知铜的参量为r1，r1，=5.8107（S/m）。已知金属表面的磁场强度幅值为Hym0=0.1（A/m）。 求:（1） 金属铜内的衰减系数、相位系数以及相速度vp和波长； （2） 金属铜内的复本征阻抗c及金属表面的电场强度幅值Exmo； （3） 趋肤深度及表面阻抗率zs； （4） 金属铜

9、的电场强度瞬时值、磁场强度瞬时值及进入导体的能流密度Sav。 解: (1),可见，电磁波在良导体中的传播速度是很慢的，远远小于光速。 =vp/f=1.313104（m）,进入导体内的功率密度可由复坡印廷矢量S=EH*求出,当z=0时,例5.3.3 平面波从自由空间入射到海水中，海水的参量为=4S/m,r=80，r=1。电磁波的频率为： f=30Hz； f=30MHz。 试求进入海水的深度h等于多少时，电场强度的幅值仅剩海水表面幅值的10%。 解：,（1） 当f=30Hz时,显然是良导体,所以海底广泛使用低频无线电通信（频率通常为40Hz10kHz）或声呐。 （2） 当f=30MHz时，/30，

10、仍然为良导体 由e-h=10%得h=-ln0.1/=0.1058（m） 可见，f=30MHz的高频电磁波进入海水深度仅0.105m，其幅度只剩下10%，衰减极快。,5.4电磁波的色散和群速度,电磁波的色散 电磁波的相速度,可见，导电介质的相速度随频率不同而有所改变。在低损耗介质中,所以，由于频率引而起的相速度差别不大。 再来看良导体中的相速,可见，良导体中v与 成正比。因此良导体的色散非常严重。,那么电磁波的色散对信号的传输有什么影响呢？ 前面几节讨论的是单一频率的均匀平面电磁波。而信号是不同频率的谐波叠加而成，单一频率的均匀平面谐波不能携带任何信号。这样信号在有损介质中传播，就会使某些频率的

11、谐波相速度增大，另一些频率的谐波相速度减小。如果信号从z=0出发，就会使某些频率的谐波先到达距离z=L处，另一些频率的谐波后到达z=L处。所以信号在有损介质中传输，会引起色散失真，如图5.4.1所示。,从图中可以看出，z=0处波形很窄，波形在传输到z=L处被展宽，这会产生信号的失真。失真较严重时，两列脉冲交叠在一起，信号也就不能正常传输了。,图5.4.1 信号在有损介质中传输的色散失真,2. 电磁波的群速度 在有损介质中电磁波信号的传播速度，实际上就是多种频率叠加而形成的波包的传播速度，通常称为群速度vg。群速度vg与相速度不同，相速度vp是电磁波等相面的传播速度。 通信信号在有损介质中传播时

12、，相对于载波信号，信号的带宽都很窄，是窄带信号，设携窄带信号的平面电磁波，沿z轴正向传播的载波频率为0，则可以用泰勒级数在0附近展开,(5.4.4),现在讨论一种最简单的情况，在信号中，取0-和0+两个分量，相应的相位系数为0-和0+，因为是窄带信号，所以0,0，则电场强度的表达式为,则合成电磁波的场强表达式为,信号可以看成是以角频率0向z方向传播的行波，而振幅按cos（t-z）缓慢变化，如图5.4.2所示。,(5.4.5),按照相速度和群速度的概念，载波的相速度为 (5.4.6) 而包络向前行进的速度是群速度vg，由（t-z)为常数得 vg=dz/dt=/ (5.4.7) 当0时vg=d/d

13、 (5.4.8) 对窄带信号，信号包络在传播过程中畸变很小，群速度vg才有意义。,图5.4.2 合成电磁波的波形,3. 电磁波群速度和相速度之间的关系 对于0为载波的窄带信号，把式（5.4.4）取前两项代入到式（5.4.8）中得,并把=/vp代入上式得,(5.4.9),从式（5.4.9）可知： 当dvp/d=0时，vg=vp，这是无色散情况；,电磁波通过有损介质总是要发生色散的，这必然导致信号发生失真，工程技术人员可以采取一些措施来补修。如光信号在光导纤维中传播，要产生正常色散，那么工程技术人员可以设计出反常色散光纤进行补偿，也可以采用对信号均衡补偿的方法。,5.5电磁波的极化,前几节讨论了均

14、匀平面正弦平面波，在自由空间，如果电场的方向固定为x方向，电场强度矢量的瞬时值为 E=excos（t-kz）（5.5.1） 这是一种特殊情况，即电场强度矢量E的端点轨迹始终为保持在x方向的直线。 通常场矢量随时间变化时，端点的轨迹为直线的波称为线极化波。 如果场矢量端点的轨迹为圆的波称为圆极化波； 如果场矢量端点的轨迹为椭圆的波则称为椭圆极化波。,讨论电磁波的极化是有实际意义的，它可以说明怎样设置天线才能得到最有效的接收等问题。在现代通信中广泛采用了圆极化空间电磁波，在铁氧体器件中也是利用了圆极化的磁场。 在一般情况下，对于沿z轴方向传播的均匀平面波，电场强度矢量E有两个分量Ex和Ey，它们的

15、频率传播方向均是相同的，电场强度矢量的表达式为,式中,所以电场强度矢量的两个分量的瞬时值为,显然，电磁波的极化形式与这个平面电磁波的两个分量的振幅和相位有关，下面分三种情况讨论。,（1） 线极化波,显然，合成电磁波虽然电场强度的大小是随时间位置变化的，但其矢量端点始终是一条直线，这条直线与x轴正向夹角是一个常数见图5.5.1a）,当Ex和Ey反相时，即 时合成波也为线极化波，此时电磁波的电场强度矢量与x轴正向夹角也是一个常数见图5.5.1（b）。,(a)同相时 (b)反相时 图5.5.1 线极化波,（2） 圆极化波 当Exm=Eym=Em， 时，则式（5.5.3）和式（5.5.4）变为,消去t

16、得,这是一个圆的方程，即合成波的电场强度矢量E的端点的轨迹是一个圆。E的模和幅角分别为,即,为了分析简便令z=0，如果 ，则矢量E将以角速度在xoy平面上沿逆时针方向旋转，如图5.5.2（a）所示； 如果 ，则E将以在xoy平面上沿顺时针方向旋转，如图5.5.2（b）所示。,右旋圆极化 (b) 左旋圆极化 图5.5.2 圆极化波,（3） 椭圆极化波,更一般的情况是Ex和Ey及和为任意关系。对式（5.5.3）和式（5.4.4）消去t得,上式是以Ex和Ey为变量的椭圆方程。即电场强度矢量的端点是椭圆，所以称为椭圆极化波。 线极化波和圆极化波可以看做椭圆极化波的特例。,例5.5.1判断下列平面电磁波

17、的极化形式。,所以电磁波是沿着z轴负方向传播，Ex和Ey的相差为，故为线极化波在二、四象限。,（2） 可得,写成瞬时值,所以电磁波是沿z轴正方向传播，Ex与Ey的相差为/2，故为右旋圆极化波。,5.6平面正弦电磁波对平面分界面的垂直入射,1. 对理想导体平面分界面的垂直入射,平面正弦电磁波垂直入射到理想导体的平面分界面上，如图5.6.1（a）所示。设它的传播方向是z轴方向，电场强度方向为x轴方向，则入射波的电场强度可表示为 （5.6.1） 相应的磁场强度为 (5.6.2),在理想导体分界面处发生反射，如图5.6.1（b）所示，显然反射波的传播方向为z轴的负方向,设反射波,的电场强度方向仍为x轴

18、方向，则反射波的电场强度可表示为 相应的磁场强度为,反射波和入射波在理想介质里形成合成波，合成的电磁场为,图5.6.1平面正弦波对理想导体分界面的垂直入射,2. 对理想介质平面分界面的垂直入射,现有两种理想介质，介质1的参数为1、1，介质2的参数为2、2。平面正弦电磁波从介质1垂直入射到介质2的平面分界面，如图5.6.3所示。,图5.6.3平面正弦波垂直入射到两种理想介质的平面分界面,在理想介质1中的合成电场和磁场为,在理想介质2中合成波的电场和磁场的表达式为,例5.6.1 频率为f=300MHz的线极化平面波，其电场强度幅值Em=2V/m，从空气垂直入射到r=4，r=1的理想介质平面上（坐标

19、设定与图5.6.3相同）。 求： （1） 反射系数和透射系数； （2） 入射波、反射波和透射波的电场和磁场的瞬时值表达式（取初相=0）； （3） 入射功率、反射功率和折射功率。 解（1）,所以,例5.6.2 一右旋极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度的复数表达式为 （1） 求出反射波的表达式并确定其极化方式； （2） 求板上的感应面电流； （3） 写出合成波电场强度的瞬时表达式。 解（1） 设反射波的电场强度为 利用边界条件 得Erx=-E0，Ery=jE0则Er=E0（-ex+jey）ejkz 由于 ,所以它是左旋极化波。,（2） 先求出入射波和反射波的磁场强度,所以合成波的

20、磁场为H1=Hi+Hr 导体面上的感应面电流为,合成波电场为,所以其瞬时值为（E0为电场强度的有效值）,5.7平面正弦电磁波对理想导体平面的斜入射,波矢量k 在理想介质中，如果电磁波向空间某一方向传播，那么相移常数就是矢量，称为波矢量k。电磁波在理想介质中传播的表达式为 E=E0e-jkr （5.7.1） 式中E0为复振幅。 引入波矢量k,有时会给分析带来方便，实际上波矢量k的方向就是波的传播方向。 在直角坐标系中k和r分别表示为 所以有 （5.7.2）,下面讲解极化波的问题。因为极化波形式不同，其规律也不相同。线极化波和分界面的法线与入射波射线构成的平面关系有两种情况。一种情况是电场强度矢量

21、平行于入射面，称为平行极化波； 另一种情况是电场强度矢量垂直于入射面，称为垂直极化波。 2. 平行极化波对理想导体平面的斜入射,图5.7.1平行极化波对理想导体平面的斜入射,如图5.12所示，分析平行极化波对理想导体平面的斜入射问题，建立直角坐标系。入射线与分界面法线的夹角称为入射角，设入射角为i，则,式中,得,相应的磁场为,反射线与分界面法线的夹角称为反射角，设反射角为r，则反射波表示为,合成波的电场和磁场,3. 垂直极化波对理想导体平面的斜入射 利用图5.7.2来分析垂直极化波对理想导体平面的斜入射问题，分析方法类似于平行极化波。可以得到反射定律仍然成立,图5.7.2 垂直极化波对理想导体

22、平面的斜入射,合成波的电场和磁场为,例5.7.1 有一正弦均匀平面波从空气斜入射到z=0的理想导体平面上，其电场强度的复数表达式为 Ei=ey10e-j（6x+8z）（V/m） 求： （1） 波长和频率； （2） 电场强度的瞬时值表达式Ei（t）和磁场 强度的瞬时值表达式Hi（t）； （3） 入射角i； （4） 反射波的Er和Hr； （5） 合成波的总电场E1和总磁场H1。,解：,得,所以 ，,5.8 平面正弦电磁波对理想介质分界面的 斜入射,1. 相位匹配条件和斯奈尔折射定律,如图5.8.1 所示，平面电磁波向理想介质分界面z=0处斜入射，将产生反射波和透射波（折射波），则入射波、反射波和透

23、射波的电场强度矢量分别表示为,在分界面z=0处两侧电场强度的切向分量应连续, E1t=E2t,故有,又多加下角标t表示切向分量,不同的x和y都成立，所以,这个结论称为相位匹配条件,图 5.8.1,斯奈尔折射定律,2. 平行极化波对理想介质分界面的斜入射,平行极化波对理想介质分界面的斜入射，如图5.8.2所示,图5.8.2平行极化波对理想介质分界面的斜入射,在图5.8.2所示的直角坐标系中，入射波的电场和磁场为,反射波的电场和磁场为（已经考虑了反射定律）,透射波的电场和磁场为,平行极化波的菲涅尔公式,3. 垂直极化波对理想介质分界面的斜入射,垂直极化波理想介质分界面的斜入射如图5.8.3所示,图5.8.3垂直极化波对理想介质分界面的斜入射,仿照水平极化波的求解方法，对图5.8.3所示的直角坐标系，写出入射波、反射波和透射波的表达式，然后在z=0处应用边界条件，并利用反射定律和折射定律可得垂直极化波的反射系数R和透射系数T。,以上两式称为垂直极化波的菲涅尔公式,4. 全反射和临界角,从折射定律式（5.8.10）可知，当理想介质1的介电常数1大于理想介质2的介电常数2时，就会有折射角t大于入射角i 当i为某个角度c时，t90，此时就不再有折射线了，这个角度称为临界角c,当满足ic时，